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第三章 差分方程模型1、 差分方程设有未知序列，称 （1）为阶差分方程。若有，满足则称是差分方程（1）的解，包含个任意常数的解称为（1）的通解，当为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。例1 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第月末共有对兔子，试建立关于的差分方程。解 因为第月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有这是著名的裴波那契数列。例2 汉诺塔问题将个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩上，大的在下，小的在上。现将此个盘移到空桩或上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩也可利用。设移动个盘的次数为，试建立的差分方程。解 先将桩上的个大小不同的圆盘按题设要求移到上，这需要移动次，再将上的最大盘移到上，这需要移动一次，最后将上的个盘按要求移到上，这又需要移动次。所以，差分方程为2、 差分方程的解法一.常系数线性齐次差分方程形如 （1）其中为常数，且，称为阶常系数齐次线性差分方程。方程 （2）称为差分方程（1）的特征方程。特征方程的根，称为特征根。根据特征根的不同可分为以下三种情形：（1）如果特征方程有个相异的实根，则差分方程（1）的通解为 其中为任意常数。例3 求差分方程的特解？解 特征方程为其特征根为，因此，差分方程的通解为由初始条件得，所以，差分方程满足初始条件的特解为（2）如果特征方程有一对共轭复根，其余的为相异实根 ，则差分方程（1）的通解为 其中为任意常数。例4 解差分方程解 特征方程为其特征根为，因此，差分方程的通解为（3）如果特征方程有重实根，其余的为相异实根 ，则差分方程（1）的通解为 其中为任意常数。例5 求差分方程的特解？解 特征方程为其特征根为因此，差分方程的通解为由初始条件得，所以，差分方程满足初始条件的特解为注：如果特征方程有多对共轭复根或多个重根的情形类似处理。二 常系数线性非齐次差分方程形如 （3）其中为常数，且不恒为零，称为阶常系数非齐次线性差分方程。定理 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次差分方程的特解。即其中，是对应齐次差分方程的通解 是非齐次差分方程的一个特解求非齐次差分方程的一个特解，可参照常微分非齐次方程的解法，具体如下：（1） 为的多项式如果为重特征根，则特解形式为其中待定多项式与已知多项式的次数相同。（2）或如果为重特征根，则特解形式为其中为待定系数叠加原理 设非齐次线性差分方程（4） 且分别为下列差分方程的解则是（4）的解。可推广到多个函数的情形。例6 求解汉诺塔问题解 对应的齐次方程的特征方程为通解为而，1是的0次多项式，1不是特征方程的根，所以特解形式为 非齐次方程的通解为，由初始条件得例7 解差分方程解 对应的齐次方程为 特征方程为通解为 差分方程（1）由于1不是特征方程的根，所以它的特解形式为代入差分方程（1）得 差分方程（2）由于2是特征方程的二重根，所以它的特解形式为代入差分方程（2）得 由解的结构与叠加原理得三母系数法是解差分方程初值问题（数学模型中经常出现）的一种很有效的方法，适用于解常系数差分方程，也适用于某些变系数差分方程和非线性差分方程。定义 设为一无限数列，则函数称为数列的母函数，其中变数属于0点的某个开区间。主要性质：（1）若数列和的母函数分别为和，则数列的母函数为（2）若数列的母函数为，则数列的母函数为，其中为常数（3）若数列的母函数为，则 数列的母函数为数列的母函数为数列的母函数为例8 求差分方程满足的解？解 设 则对差分方程两边乘以，然后从到求和得所以差分方程满足的解为例9 求差分方程满足的解？解 设 则对差分方程两边乘以，然后从到求和得所以差分方程满足的解为例10 求差分方程满足的解？解 设 则对差分方程两边乘以，然后从到求和得所以差分方程满足的解为例11 求差分方程满足的解？解 设 则对差分方程两边乘以，然后从到求和得由于3、 差分方程的平衡点及稳定性一一阶线性差分方程的平衡点及稳定性一阶线性常系数差分方程（1）其中，为常数，且它的平衡点由解得；当时，若（1）的通解，则是稳定的，否则是不稳定的。而（1）的通解为，所以当时，是稳定的平衡点。另一方面，也可以利用变量代换将（1）的平衡点的稳定性问题转换为的平衡点的稳定性。从而可推广到差分方程组的情形，即 设维向量与常数矩阵构成的差分方程组其平衡点稳定的条件是的特征根均有 即均在复平面的单位圆内。例12 讨论的平衡点的稳定性。解 系数矩阵特征方程为特征根为由于，所以差分方程组在平衡点是稳定的。二二阶线性差分方程的平衡点及稳定性二阶线性常系数齐次差分方程（2）的平衡点的稳定性，其特征方程为，记为特征根，当且仅当时，平衡点是稳定的。 二阶线性常系数非齐次差分方程（3）其中，（3）的平衡点的稳定性与方程（2）的平衡点稳定性相同。可以将二阶方程的上述结果推广到阶线性差分方程，即平衡点稳定的条件是特征方程（阶代数方程）的根均有。显见由于高阶方程与方程组的相互转化，所以得到的结果相同。三一阶非线性差分方程形如 （4）为一阶非线性差分方程，它的平衡点的稳定性问题，其平衡点是由代数方程解出。为分析平衡点的稳定性，将（4）的右端在平衡点作泰勒展开，只取一次项，从而（4）近似为 （5）（5）是（4）的近似线性方程，并且也是（5）的平衡点。当时，（4）与（5）的平衡点的稳定性相同。也就是说当时，（4）的平衡点的稳定性；当时，（4）的平衡点是不稳定的。例13 讨论的平衡点的稳定性。解 先求平衡点：设，令 从而有及在处有，所以在处是稳定的；在处有，所以在处是不稳定的。4、 差分方程组含有个未知函数的一阶差分方程组的一般形式为 （1）对于，满足差分方程组（1）的函数组为一阶差分方程组（1）的解。含有个任意常数的解为一阶差分方程组（1）的通解。对通解中的个任意常数赋予特定的值，此值为初始条件确定，由初始条件确定的解称为一阶差分方程组（1）的特解。为方便起见，引入向量记法（1）可写成 （2）其中，向量函数 定理 如果对及相应的均有定义，则差分方程组（2）存在唯一的解满足初始条件 其中，为常数。特别地如果差分方程组（1）中的函数关于未知函数是线性的，则差分方程组可写成 （3）其中， 且对于，则（3）式为线性差分方程组。当 即 ，为齐次线性差分方程组。否则，则为非齐次线性差分方程组。注： （1）有阶线性差分方程可化为线性差分方程组具体如下：引入新变量将阶线性差分方程化为线性差分方程组 （2）也可通过消去差分方程组中的个未知函数，将线性差分方程组化为一个阶线性差分方程，从而可求出差分方程组的解。对于非齐次线性差分方程组的特解，可以用逐步迭代法求出比如 求解线性差分方程组的初值问题 其中，是已知常向量用迭代法建立新序列 一般地，可以归纳得到 是线性差分方程组初值问题的解。显而易见，由唯一确定。特别地有当为实常矩阵时，即为常系数线性差分方程组 。它满足初值条件的解为一般情形下，运算量很大，但在某些特殊情