探究性学习的案例

精品文档探究性学习的案例以解析几何常规题的探究为例 按照数学课程标准的要求，数学教材建设要落实实践育人，以数学知识的学习为载体，依据发展学生核心素养的要求选择和组织学习素材，并通过情境创设和任务驱动（问题解决）等方式，精心设计系列学习和实践活动，让学生在学习和应用数学知识的过程中发展核心素养，形成理性思维，培养创新精神和实践能力。探究性学习成为改进学生学习方式的重要途径。探究性学习以数学核心概念及其反映的基本思想为纽带，通过类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，使不同内容相互沟通，从而加深对数学的整体性认识，使学生建立功能优良迁移能力强的数学认知结构。在探究性学习中信息技术作为数学学习的重要认知工具，将发挥巨大的作用，它可以使学生对于原来的常规问题可以作进一步深入的研究和探索，教师也可以将原来的确定问题改进为探索性、专题性、拓展性问题，供学生进行学习。例1 已知椭圆C：(ab0)的离心率为过点A（0，1）任意作直线交椭圆C于P，Q两点，当x轴时，PQ。（1） 求椭圆方程；（2） 求PQ的最大值；以Q为圆心，为半径作圆，M，N是圆Q上任意两点，求PMN面积S的最大值。分析：(1)通过SOLVE（）命令，求得椭圆方程：x26+y24=1;设直线方程为y=kx+1, (2)代数方法：设|PQ|=d, 圆的两条弦MN与M1N1满足|MN|=|M1N1|，设QRMN，QR1M1N1，垂足分别为R，R1且R在PQ的延长线上，PHM1N1,垂足为H，则|QR|=|QR1|，因此，|PR|=|PQ|+|QR|=|PQ|+|QR1|PH|，这说明当MN与PQ垂直时，PMN面积S的有最大值。设|QR|=x，则PR=x+d,MR=274-x2,SPMN=x+d274-x2,显然当d最大,即d=32时, PMN面积S的有最大值,此时SPMN=x+32274-x2.利用TI图形计算器的CAS功能，可求得面积的最大值为4558。（3）几何方法由图形分析可知，当过点M的圆的切线平行于PN，且过点N的圆的切线平行于PM时，即四边形PMPN是菱形时，PMN面积S的取得最大值。设M（x0,y0）,因圆Q的方程为：x+3222+y-12=274,则过点M的切线方程为：x0+322x+322+y0-1y-1=274,求出此切线与直线y=1交点的P坐标,利用四边形PMPN是菱形的条件，求出x0的值为x0=-924,便可求得面积的最大值。例2 设动点A，B均在双曲线C：（）的右支上，点O为坐标原点，双曲线的离心率为e。A若，则存在最大值B若，则存在最大值 C若，则存在最小值D若，则存在最小值分析：1.基于GEOGEBRA的问题解决策略：（1） 画出一个双曲线c；（2） 画出这个双曲线的渐近线：Asymptotec;（3） 测量其中一条渐近线的斜率：Slopa;（4） 计算双曲线的离心率：Eccentricityc（5） 在右支上任意取两点，记为A，B,计算点A的横坐标p=x(A)；（6） 作出向量OA，OB；（7） 计算向量OA，OB的数量积，记为q；（8） 画出点P=（p,q），以A为控制点，构造点P的轨迹；（9） 改变双曲线的形状用以调整离心率，拖动点B，观察点P的轨迹，判断OAOB是否存在最大值或最小值。2当时，你能求出OAOB的最小值吗？ 要使OAOB最小，若OB不变，则使OA在OB上的射影最小，观察可知：当过点A且垂直于向量OB的直线是双曲线的切线时，OAOB最小。变动向量OB的位置可知，当A，B两点都位于双曲线的右顶点时，OAOB最小，最小值为a2. 3你能否证明你通过观察所得到的结论？ 例3 已知椭圆C1：x24+y23=1，圆C2：x2+y2=127.直线L与圆C2相切，且交椭圆C1于AB两点，求|AB|的取值范围；常规问题的改编：（1）已知椭圆C1：x24+y23=1，圆C2：x2+y2=127.直线L与圆C2相切，且交椭圆C1于AB两点，|AB|是否存在最大值与最小值？（2）若存在最大值与最值小值，它们分别是多少？（近似值与精确值）（3）当|AB|取得最大值与最小值时，直线L的位置是怎样的？有无规律？（4）能否将结果一般化？即已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)，圆C2：x2+y2=r2(0rb)直线L与圆C2相切，且交椭圆C1于AB两点，求|AB|的取值范围并总结出一般的规律。（5）当brb0），圆C2：x2+y2=r2(0rb)，思考上述问题。在GEOGEBRA环境下：（1） 作出椭圆C1与圆C2；（2） 圆上取一点D，测量出D点的横坐标:b=x(D)，作出过点D的切线a；（3） 求出切线a与椭圆的两个交点A，B，并测量AB间的距离：e=DistanceA,B（4） 作出点P=(b,e)，以A为控制点，作出点P的轨迹；（5） 拖动D点观察e的值与P点在轨迹上运动的位置，当圆的半径r比较小的时候，切线L垂直于x轴时，|AB|取得最小值；当圆的半径r比较大的时候，切线L平行于x轴时，|AB|取得最小值，因此|AB|的最小值只可能在两种位置上取到。存在产生这两种情况的某个分界点（6） |AB|的最大值只可能存在于两种位置，当即切线L当圆的半径r比较小的时候，切线L平行于x轴时，|AB|取得最大值；当圆的半径r比较大的时候，点D在圆与坐标轴交点以外的某个点处，|AB|取得最大值。也存在产生这两种情况的分界点。4逻辑论证猜想借助TI图形计算器的计算我们证明了：（1） 当22brb时，ABmax=abr；当0r22b时，ABmax=2abb2-r2；（2） 当aba2+b2rb时，ABmin=2abb2-r2；当0raba2+b2时，ABmin=2baa2-r25当bra 时，上述结论将会发生怎样的变化？通过GEOGEBRA的分析可