概率总复习二(09-06).doc

第五章重点：1.掌握大数定理、中心极限定理的有关概念与结论。2.了解随机变量列以概率收敛与以分布收敛的概念。3.能用独立同分布中心极限定理。及De Moivre-laplace 中心极限定理进行相应的概率的计算。内容提要1.切比雪夫不等式： 或 2*.大数定理(1).大数定理： 若 为一系列的随机变量，记 存在， 使对 ，有 则称服从大数定理(2).以概率收敛： 若有常数 ，对随机变量列及，有 则称以概率收敛于，简记为 (3).马尔柯夫大数定理：若 为一系列的随机变量，每个随机变量的方差都存在，且则服从大数定理。(4).切比雪夫大数定理：设为两两相互独立的随机变量列，每个随机变量的方差存在且有公共的上界，即 则服从大数定理。(5).贝努利大数定理：为 重贝努利试验中事件出现的次数，设每次试验中出现的概率为，则对，有(6)*.辛钦大数定理：若 为独立同分布的随机变量列，记，（）有限， 则对 ，有 三 中心极限定理1独立同分布的中心极限定理设是独立同分布的随机变量序列， 则 或 近似服从正态分布 2 De Moivre-laplace 中心极限定理 设， 则或 近似服从正态分布 例 检查员逐个地检查某种产品，每检查一只产品需要用10秒钟 . 但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟. 假设产品需要重复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.解 检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.设 X 为检查1900 个产品所用的时间(单位：秒)设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒), k = 1,2,1900 例1 设二维随机变量（X,Y）的数学期望为E(X)=-2, E(Y)=2,方差为D(X)=1 ,D(Y)=4，相关系数为，用切比雪夫不等式估计例2 设某保险公司由10,000个人参加投保，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006 , 若死亡时其家属可向保险公司索赔1000元，求（1）保险公司亏本的概率是多少。（2）该保险公司一年的利润不少于6万的概率是多少。例3 学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4.5元，5元。出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，0.2，0.5。已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。例4 某射手射靶，得十分的概率为0.5，得九分的概率为0.3，得八分的概率为0.1，得七分的概率为0.05，得六分的概率为0.05.现独立的射击100次，用中心极限定理估计总分介于900分与930分之间的概率。解 ，例5 液化气公司供应某地区10000户居民用气，客户用气情况相互独立，已知每用户每日的用气量（单位：度）在0，20上均匀分布，求 （1）这10000户居民每日用气量超过101000度的概率（2）要求以99%以上的概率保证该地区居民能正常用上液化气，公司每日只少许向该地区供应多少度液化气？第六章重点：1. 理解总体、随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念(特别注意常用的样本矩)。2. 掌握分布，分布，分布的概念、性质、分位数等相关内容。3. 掌握正态总体的常用分布。尤其注意基本定理的结论：正态总体，为其样本，则，（1），（2）（3） 与 相互独立。4另外注意：（1） ，（1*） （2） （2*） 例1 设随机变量（n1）是独立同分布的随机变量，其方差为，令，求例2 ， 是它的一个简单样本，则 服从 分布 例3 与 分别是来自正态总体 与 的样本，取何值时（1） 服从t分布 , 自由度 ， （2） 服从服从F分布,自由度 ， 例4 是来自正态总体 的样本， ， ， 证明：(1) 服从自由度为2的分布; (2) 例5 设总体，为来自此总体的样本。（1） 求的分布律。（2） 求 的分布律。（3） 求 ， 第七章重点1 点估计两种方法（矩法与极大似然估计法）的应用，点估计的评选标准（尤其无偏性与有效性）。2区间估计：主要是样本函数的选取与分位数的取法。例1 设总体的概率密度为 其中 是未知数， 为来自此总体的一个样本，试用矩法与极大似然估计法求出的估计量。例2 设总体，是来自此正态总体的一个样本，试确定 ，使 为 的无偏估计。例3 设总体的概率密度为 其中 是未知数， 为来自此总体的一个样本，（1） 求的分布函数。（2） 求统计量 的分布函数。（3） 若 作为的估计量，是否为无偏估计。（答案）例3* 设总体的概率密度为 其中 是未知数， 为来自此总体的一个样本，求 （1） 的矩估计量与极大似然估计量 （2） 问其最大似然估计量是否为无偏估计（注意例3*与例3的区别与联系）例4 设从均值为，方差为的总体中，分别抽取容量为的两个独立的样本。 分别为两样本的均值，证明对任意的常数 （），都是的无偏估计，并确定常数 ，使 达到最小。例5设 是取自正态总体 的一个样本，证明 是 的一致估计。第八章重点：1假设检验的思想、方法、一般理论，如何产生的错误等。2以正态总体参数的假设检验为重点，其中原设，备择假设的的提法，统计量的选取，拒绝域的确定等，应熟练掌握。注： 严格按下列例题模式解题，带好计算器，尽量使数据计算准确。例 某厂生产小型马达, 在其说明书上写着: 这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过0.8 安培. 现随机抽取16台马达试验, 求得平均消耗电流为0.92安培, 消耗电流的标准差为0.32安培. 假设马达所消耗的电流服从正态分布, 取显著性水平为a = 0.05, 问根据这个样本, 能否否定厂方的断言?解 H0 : m 0.8 H1 : m 0.8 选用统计量: 查表得 t 0.05(15) = 1.753, 故拒绝域为： 经计算得 故接受原假设, 即不能否定厂方断言.例 新设计的某种化学天平，其测量的误差服从正态分布，现要求 99.7% 的测量误差不超过 0.1mg, 即要求 3s 0.1。现拿它与标准天平相比，得10个误差数据，其样本方差s2 =0.0009.试问： 在a = 0.05的水平上能否认为满足设计要求？解 H0:s 1/30 H1:s 1/30拒绝域：经计算得 故，接受原假设，即在a = 0.05的水平上能认为