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文档简介

一、 选择题（8道，每题3分，共24分）1、已知方程组Ax=b，高斯消去算法公式得以实现的前提条件是（B）。 ，,， A、 B、 C、 D、2、已知n阶方程组Ax=b，当矩阵A满足( A )时，A存在唯一的Doolittle分解。A、各界顺序主子式都不为零 B、 C、A为奇异矩阵 D、 3、已知n阶方程组Ax=b，A为对称正定矩阵，A可分解为A=L*D*U，则以下结论成立的是（D）。D为正定矩阵 A还有其他分解方式A、B、 C、 D、4、对于任意的向量，其p阶范数是（C）。（其中）A、 B、 C、 D、5、已知矩阵A是n阶方阵，为矩阵A的元素，是的最大特征值，则A的Frobenius范数是（A）。A、B、 C、 D、6、已知方程组Ax=b，下面说法正确的是（C）。雅可比迭代过程收敛 高斯-赛德尔迭代过程收敛 雅可比迭代过程发散 高斯-赛德尔迭代过程发散A、 B、 C、 D、7、设方程组迭代过程为，若B满足（D）时，该迭代公式收敛。A、 B、 C、 D、8、已知方程组迭代过程为，且，欲使初始误差小于，则迭代次数应该至少为（B）次。A、 B、 C、 D、二、 填空题（4道，每空3分，共12分）9、已知方程组Ax=b，其中，可以对A进行杜利特尔分解，则t应满足条件 。10、常用向量，之间的大小关系是。11、设矩阵，则 8 ， 10 。12、已知方程组Ax=b，系数矩阵A为实对称正定矩阵，则当松弛因子满足 时，解Ax=b的SOR迭代过程收敛。三、 证明题（2道，每题7分，共14分）13、已知是的一种范数，A为n阶非奇异矩阵，定义，求证：仍然是一种范数。证明：非负性对任何非零向量，则，由于是的一种范数，从而； 齐次性，三角不等式 当时，综上可知，仍然是一种范数。14、设方程组迭代过程为，当时，求证：该迭代公式收敛，且满足误差估计式证明：由可知，当时，则，即该迭代公式收敛。 由题意知 ，递推可得 ，当正整数时，有四、 解答题（5道，每题10分，共50分）15、对矩阵作LU分解。解：由题意知则 ； ； 所以，16、用列主元的三角分解法求解方程组。解：由于，则解方程组得解方程组得17、设方程组，其精确解为，如果方程组右端有微小的波动，求由此引起的解向量的相对误差。解：矩阵，可以求得A的逆矩阵，则 则误差估计式为如下所示： 18、已知方程组，写出雅可比迭代公式和高斯-赛德尔迭代公式；证明雅可比迭代法发散而高斯-赛德尔迭代法收敛。解：原方程组等价为： 构造雅可比迭代公式为：构造高斯-赛德尔迭代公式由题意知 对于雅可比迭代法，迭代矩阵,设E为单位矩阵，解方程得，1/2，1/2，-1， 其谱半径为,不小于1，所以雅可比迭代法发散。 对于高斯-赛德尔迭代法，迭代矩阵为设E为单位矩阵，解方程得，1/2，1/2，0，其谱半径为，所以高斯-赛德尔迭代法收敛。19、已知方程组，系数矩阵，为实数。求当满足什么条件时，A是正定矩阵，高斯-赛德尔迭代法收敛。解
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