函数的定义域与值域、单调性与奇偶性、三角函数典型例题.doc

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：换元法（ 注意新元的取值范围）待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）整体代换（配凑法）构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。2. 求函数的定义域求用解析式yf（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法： （3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：两个增（减）函数的和为_；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是_；奇函数在对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_的单调性；互为反函数的两个函数在各自定义域上有_的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。5. 函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x） 与f（x）的关系。f（x） f（x）0f（x） f（x） f（x）为偶函数；f（x）+f（x）0f（x） f（x） f（x）为奇函数。判别方法：定义法，图象法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。6. 周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）f（x），则T为函数f（x）的周期。其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）f（xa），则2a为函数f（x）的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。二、典型例题分析例1. 若集合Aa1，a2，a3，Bb1，b2 求从集合A到集合B的映射的个数。分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例，集合Aa1，a2，a3中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N2228个。例2. 线段|BC|4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设|AM|y，|AB|x，求yf（x）的函数表达式及这函数的定义域。解：1若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，x222+y24ycosAMB （6x）222+y24ycos（180AMB） + x2+（6x）22y2+8 y2x26x+14又 x26x+14（x3）2+5恒正，又三点A、B、C能构成三角形1x52若三点A、B、C共线，由题意可知，x+46x，x1 或4+6xx x5综上所述： 说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。例3. 设f（x）为定义在R上的偶函数，当x1时，yf（x）的图象是经过点（2，0），斜率为1的射线，又在yf（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（1，1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式，并在图中作出其图象。 解：（1）当x1时，设f（x）x+b射线过点（2，0） 02+b即b2，f（x）x+2 （2）当1x1时，设f（x）ax2+2 抛物线过点（1，1），1a（1）2+2，即a1f（x）x2+2 （3）当x1时，f（x）x+2综上可知：f（x）作图由读者来完成。例4. 求下列函数的定义域（1） （2）解：（1）x4或x1且x3，即函数的定义域为（，3）（3，1）4，+（2），则 00，b0）是奇函数，当x0时，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）0，b0，x0，f（x）2，当且仅当x时等号成立，于是22，ab2，由f（1）得即，2b25b+20，解得b2，又bN，b1，a1，f（x）x+ （2）设存在一点（x0，y0）在yf（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2x0，y0）也在yf（x）的图象上，则消去y0得x022x010，x01 yf（x）的图象上存在两点（1+，2），（1，2）关于（1，0）对称 例10. 已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在0，+）上是增函数，是否存在实数m，使f（cos23）+f（4m2mcos）f（0）对所有0，都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由 解：f（x）是R上的奇函数，且在0，+）上是增函数，f（x）是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f（cos23）f（2mcos4m），即cos232mcos4m，即cos2mcos+2m20 设tcos，则问题等价地转化为函数g（t）t2mt+2m2（t）2+2m2在0，1上的值恒为正，又转化为函数g（t）在0，1上的最小值为正 当0，即m0m1与m042m4+2，421，即m2时，g（1）m10m1 m2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m42 另法（仅限当m能够解出的情况）cos2mcos+2m20对于0，恒成立，等价于m（2cos2）/（2cos） 对于0，恒成立当0，时，（2cos2）/（2cos） 42，m42 例11. 设a为实数，记函数f（x）a的最大值为g（a）。（1）设t，求t的取值范围并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）；（3）求满足g（a）g（）的所有实数a.解：（1）t要使t有意义，必须有1+x0且1x0，即1x1.t22+22，4，t0 t的取值范围是，2由得x21m（t）a（t2）tat2+ta， t，2 （2）由题意知g（a）即为函数m（t）at2+ta， t，2的最大值.注意到直线t是抛物线m（t）at2+ta的对称轴，分下列情况讨论.当a0时，函数ym（t）， t，2的图像是开口向上的抛物线的一段，由t0知m（t）在，2上单调递增，g（a）m（2）a+2.当a0时，m（t）t， t，2， g（a）2. 当a时，g（a）a+2，当时，a，所以，g（a）2.因此当a时，g（a） .当a0时，0，由g（a）g（）知a+2+2解得a1.当a0时，1，因此a1或1，从而g（a）或g（）.要使g（a）g（），必须有a或，即a此时g（a）g（）.综上知，满足g（a）g（）的所有实数a为：a或a1.【模拟试题】（一）选择题1. 设f（x）是（，+）上的奇函数，f（x+2）f（x），当0x1时，f（x）x，则f（7 5）等于（ ）A. 0.5B. 0.5C. 1.5D. 1.52. 已知定义域为（1，1）的奇函数yf（x）又是减函数，且f（a3）+f（9a2）1时f（x）等于（ ）A. f（x）（x+3）21B. f（x）（x3）21C. f（x）（x3）2+1D. f（x）（x1）215. 函数的值域是 （ ）A. （，1） B. 1，+C. （0，1）D. 0，16. 的值域是 （ ）A. y2 B. y2 C. yR D. y0（二）填空题7. 若f（x）为奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（3）0，则xf（x）0，b0）是奇函数，当x0时，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）0，b0，x0，f（x）2，当且仅当x时等号成立，于是22，ab2，由f（1）得即，2b25b+20，解得b2，又bN，b1，a1，f（x）x+。（2）设存在一点（x0，y0）在yf（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2x0，y0）也在yf（x）图象上，则消去y0得x022x010，x01。 yf（x）图象上存在两点（1+，2），（1，2）关于（1，0）对。14. （1）证明：yf（x）是以5为周期的周期函数，f（4）f（45）f（1），又yf（x）（1x1）是奇函数，f（1）f（1）f（4），f（1）+f（4）0 （2）解：当x1，4时，由题意，可设f（x）a（x2）25（a0），由f（1）+f（4）0得a（12）25+a（42）250，解得a2，f（x）2（x2）25（1x4） （3）解：yf（x）（1x1）是奇函数，f（0）f（0），f（0）0，又yf（x） （0x1）是一次函数，可设f（x）kx（0x1），f（1）2（12）253， f（1）k1k，k3 当0x1时，f（x）3x，当1x0时，f（x）3x，当4x6时，1x51，f（x）f（x5）3（x5）3x+15，当6x9时，1x54，f（x）f（x5）2（x5）2252（x7）25 f（x） 三角函数典型例题1 设锐角的内角的对边分别为,.()求的大小;()求的取值范围.【解析】:()由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得.().2 在中,角A BC的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C()求角B的大小;20070316 ()设且的最大值是5,求k的值.【解析】:(I)(2a-c)cosB=bcosC,(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)A+B+C=,2sinAcosB=sinA 0A,sinA0.cosB=. 0B1,t=1时,取最大值.依题意得,-2+4k+1=5,k=.3 在中,角所对的边分别为,.I.试判断的形状; II.若的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.,所以此三角形为直角三角形.II.,当且仅当时取等号,此时面积的最大值为.4 在中,a、b、c分别是角A BC的对边,C=2A,(1)求的值;(2)若,求边AC的长【解析】:(1)(2) 又 由解得a=4,c=6,即AC边的长为5.5 已知在中,且与是方程的两个根.()求的值;()若AB,求BC的长.【解析】:()由所给条件,方程的两根. (),.由()知,为三角形的内角, ,为三角形的内角, 由正弦定理得: .6 在中,已知内角A BC所对的边分别为a、b、c,向量,且(I)求锐角B的大小;(II)如果,求的面积的最大值【解析】:(1) 2sinB(2cos2-1)=-cos2B2sinBcosB=-cos2B tan2B=-02B,2B=,锐角B=(2)由tan2B=- B=或当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)ABC的面积SABC= acsinB=acABC的面积最大值为当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+ac2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)ac4(2-)ABC的面积SABC= acsinB=ac 2-ABC的面积最大值为2-7 在中,角A BC所对的边分别是a,b,c,且(1)求的值;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB= +cos2B= (2)由 b=2, +=ac+42ac,得ac, SABC=acsinB(a=c时取等号)故SABC的最大值为8 已知,求的值【解析】;9 已知(I)化简(II)若是第三象限角,且,求的值【解析】 10已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1) 的最小正周期 由题意得即 的单调增区间为 (2)先把图象上所有点向左平移个单位长度, 得到的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度, 就得到的图象 11已知,(1)求的单调递减区间(2)若函数与关于直线对称,求当时,的最大值【解析】:(1) 当时,单调递减 解得:时,单调递减 (2)函数与关于直线对称 时, 12已知,求下列各式的值;(1);(2)【解析】: (1) (2) 13设向量,函数(I)求函数的最大值与最小正周期;(II)求使不等式成立的的取值集合【解析】14已知向量,与为共线向量,且()求的值;()求的值.【解析】:() 与为共线向量, ,即 () , , 又, 因此, 15如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=0.1km试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,1.414,2.449) 【解析】:在中,=30,=60-=30,所以CD=AC=0.1又=180-60-60=60,故CB是底边AD的中垂线,所以BD=BA 在中, 即AB=因此,故 BD的距离约为0.33km 16已知函数(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.()求的解析式;()当,求的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】： (1)由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即,由点在图像上的故 又(2)当=,即时,取得最大值2;当即时,取得最小值-1,故的值域为-1,2 17如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知,于A处测得水深,于B处测得水深,于C处测得水深,求DEF的余弦值 【解析】:作交BE于N,交CF于M., , 在中,由余弦定理, 18已知，求（1）（2）（3）【解析】：（1） 19已知函数（， ，）的一段图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间。【解析】：（1）由图象可知： ； ，又为“五点画法”中的第二点 所求函数解析式为：（2）当时，单调递增20已知的内角A BC所对边分别为a、b、c，设向量，且.（）求的值；（）求的最大值.【解析】（）由，得即 也即 21已知函数，求：（1）函数的定义域和值域； （2）写出函数的单调递增区间。【解析】: （）函数的定义域 函数的值域为 （）令得函数的单调递增区间是 22如图为一个观览车示意图该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈途中与地面垂直以为始边，逆时针转动角到设点与地面距离为（1）求与的函数解析式；（2）设从开始转动，经过80秒到达，求. 【解析】：（1），（2），(m)23设函数（1）求函数上的单调递增区间；（2）当的取值范围。【解析】：（1）， （2）当，24已知函数，（1）求的最大值和最小值；（2）在上恒成立，求实数的取值范围【解析】（） 又，即，（），且，即的取值范围是25在锐角ABC中,角A BC的对边分别为a、b、c,已知(I)求角A;(II)若a=2,求ABC面积S的最大值【解析】:(I)由已知得 又在锐角ABC中,所以A=60,不说明是锐角ABC中,扣1分 (II)因为a=2,A=60所以 而 又 所以ABC面积S的最大值等于 26甲船由A岛出发向北偏东45的方向作匀速直线航行,速度为15浬/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40浬处的B岛出发,朝北偏东(的方向作匀速直线航行,速度为10 浬/小时.(如图所示)()求出发后3小时两船相距多少浬?()求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?【解析】:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面