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第8章相量法 8 1复数 8 2正弦量 8 3相量法的基础 8 4电路定律的相量形式 8 1复数 相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简便有效的方法 应用相量法 需要用到复数的运算 1 复数的表示形式 1 代数形式 在数学中虚单位常用i表示 如F a bi 但由于在电路中已用i表示电流 故虚单位改用j表示 实部 虚部 复数可用复平面上的向量表示 2 三角形式 3 指数形式 4 极坐标形式 平行四边形法则 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 2 复数的运算 1 加减运算 复数的加减运算采用代数形式较为简便 或在复平面中使用平行四边形法则 2 乘法运算 a 代数形式 b 指数形式 即复数乘积的模等于各复数模的积 其辐角等于各复数辐角的和 c 极坐标形式 可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便 3 除法运算 a 代数形式 b 指数形式 c 极坐标形式 可见复数的除法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便 4 相等运算 在复数运算中常有两个复数相等的运算 两个复数相等必须满足两个条件 复数的实部 虚部分别对应相等 或者复数的模和辐角分别对应相等 即若 3 旋转因子 根据欧拉公式可得ej 2 j e j 2 j ej 1 因此 j 和 1 都可以看成旋转因子 若一个复数乘以j 等于在复平面上把该复数逆时针旋转 2 若一个复数除以j 等于把该复数乘以 j 则等于在复平面上把该复数顺时针旋转 2 复数的乘 除运算表示为模的放大或缩小 辐角表示为逆时针旋转或顺时针旋转 复数ej 1 是一个模等于1 辐角为 的复数 任意复数F1 F1 ej 1乘以ej 等于把复数F1逆时针旋转一个角度 而F1的模值不变 所以ej 称为旋转因子 8 2正弦量 1 正弦量的定义 电路中按正弦规律变化的电压或电流 统称为正弦量 对正弦量的数学描述 可以采用sin函数 也可采用cos函数 但在用相量法进行分析时 要注意采用的是哪一种形式 不要两者同时混用 本书采用cos函数 2 正弦量的三要素 设右图中正弦电流i的数学表达式为 则式中的3个常数Im 和 i 称为正弦量的三要素 1 振幅Im Im称为正弦量的振幅 亦即正弦量的最大值imax 时 正弦量有最小值imin Im imax imin 2Im称为正弦量的峰 峰值 2 角频率 随时间变化的角度 t i 为正弦量的相位 或相角 为正弦量的角频率 是正弦量的相位随时间变化的角速度 即 角频率的单位为rad s 它与正弦量的周期T和频率f之间的关系为 频率f的单位为1 s 称为Hz 赫兹 我国工业用电的频率为50Hz 正弦量在t 0时刻的相位 称为正弦量的初相位 简称初相 即 3 初相 位 i 初相的单位用弧度或度表示 通常取 i 1800 它与计时零点有关 对任一正弦量 初相是允许任意指定的 但对于一个电路中的许多相关的正弦量 它们只能相对于一个共同的计时零点确定各自的相位 正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据 3 正弦波 正弦量随时间变化的图形称为正弦波 4 正弦量的重要性质 正弦量乘以常数 正弦量的微分 积分 同频率正弦量的代数和等运算 其结果仍为一个同频率的正弦量 例如 5 正弦量的有效值 工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应换算为在效应上与之相等的直流量 以衡量和比较周期电流或电压的效应 这一直流量就称为周期量的有效值 用相对应的大写字母表示 其定义如下 周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根 对周期电流有 当电流i有为正弦量时 有 上式表明 正弦量的最大值与其有效值之间有倍的关系 且正弦量的有效值与正弦量的频率和初相无关 正弦量i常写成如下形式 则式中的3个常数I i也称为正弦量的三要素 工程中使用的交流电气设备铭牌上标出的额定电流 电压的数值 交流电流表 电压表表面上标出的数字都是有效值 6 两个同频率正弦量之间的相位差 设两个同频率正弦量u和i分别为 两个同频率正弦量之间的相位差等于它们相位相减的结果 在主值范围内取值 设 表示电压u和电流i之间的相位差 则 上式表明 同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差 为一个与时间无关的常数 电路中常采用 超前 和 滞后 来说明两个同频率正弦量相位比较的结果 同频率正弦量的相位差可通过观察波形确定 在同一个周期内两个波形的极大值 或极小值 之间的角度值 1800 即为两者的相位差 超前者先达到极值点 相位差与计时零点的选取 变动无关 O 试分析图中各量的相位关系 有效值的概念也适用于任何周期性电压和电流 例如对于图 a 所示三角波形 将瞬时值表达式 得 计算结果表明该三角波形的有效值是振幅值是的倍 或者说其振幅值是有效值的倍 选讲 对于图 b 所示半波整流波形 将其瞬时值表达式 可以得到半波整流波形的有效值是振幅值的0 5倍 或者说其振幅值是有效值的2倍的结论 具体计算过程如下 选讲 8 3相量法的基础 在线性电路中 如果激励是正弦量 则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量 如果电路有多个激励且都是同一频率的正弦量 则根据线性电路的叠加性质可知 电路全部稳态响应都将是同一频率的正弦量 处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路 又称正弦电流电路 相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具 1 相量的概念 可以看出 一个实数范围内的正弦量可以和一个复数范围内的复指数函数一一对应起来 上式复指数函数中的是以正弦量的有效值为模 以初相为辐角的一个复常数 定义其为正弦量i的相量 记为 正弦量的有效值相量 正弦量的振幅相量 最大值相量 注意 正弦量的相量和它时域内的函数表达式是一一对应的关系 不是相等的关系 若已知正弦量的时域表达式 可直接写出与之对应的相量 若已知正弦量的相量 须再知道其角频率才可写出与之对应的函数表达式 相量是个复数 它在复平面上的图形称为相量图 2 旋转相量 与正弦量相对应的复指数函数在复平面上可以用旋转相量表示出来 其中复常数称为旋转相量的复振幅 ej t是一个随时间变化而以角速度 不断逆时针旋转的因子 复振幅乘以旋转因子ej t即表示复振幅在复平面上不断逆时针旋转 故称之为旋转相量 这就是复指数函数的几何意义 对于 其几何意义为 正弦电流i的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影 3 相量的运算 正弦量乘以常数 正弦量的微分 积分及同频率正弦量的代数和等运算 其结果仍为一个同频率的正弦量 其相应的相量运算如下 1 同频率正弦量的代数和 设它们的代数和为正弦量i 则 上式在任何时刻都成立 则有 2 正弦量的微分 上式表明 复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部 正弦量的导数是一个同频率的正弦量 其相量等于原正弦量的相量乘以j 即表示di dt的相量为 该相量的模为 I 辐角则超前原相量 2 对i的高阶导数dni dtn 其相量为 3 正弦量的积分 上式表明 复指数函数实部的积分等于复指数函数积分的实部 该相量的模为I 辐角则滞后原相量 2 对i的n重积分 其相量为 正弦量的积分结果为同频率的正弦量 其相量等于原正弦量的相量除以j 即表示的相量为 例1 已知 两个同频率的正弦电流分别为 解 4 相量法的应用说明 相量法是求解线性电路在正弦激励下稳态响应的有效方法 如右图电路 若 则电路方程为 该方程的特解是与us同频率的正弦量 则 8 4电路定律的相量形式 1 相量形式的基尔霍夫定律 正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都是同频率正弦量 对电路中的任一结点 或闭合面 在时域内有KCL方程 KCL方程的相量形式 对电路中任一回路 或闭合结点序列 在时域内有KVL方程 KVL方程的相量形式 2 基本元器件的相量模型及其相量形式的电压电流关系 1 电阻元件 则对电阻支路 在时域内有 幅值关系 相位关系 电压与电流同相 电阻元件的相量模型 电阻元件的相量图 2 电感元件 则对电感支路 在时域内有 幅值关系 L的量纲与电阻相同 为欧姆 0时 L 0 此时电感相当于短路 3 电容元件 则对电容支路 在时域内有 幅值关系 1 C 的量纲与电阻相同 为欧姆 0时 1 C 此时电容相当于开路 4 受控源 如果线性受控源的控制电压或电流是正弦量 则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量 例如 例2 已知右图正弦电流源is