数列通项公式的求法小结.doc

数列通项公式的求法小结摘要：数列是高中数学中很重要的内容之一，是高考的热点；数列通项的求法是数列的重要内容，是高考的亮点。本文对几类常见的数列求通项问题进行了探讨。关键词：数列通项公式求法数列在高考数学试卷中占有重要的地位，求数列的通项公式是苏教版必修5数列这一章的重要内容，也是高考常见的考点。在近年的高考中，数列与函数、方程、不等式、导数等知识联系，且多以“把关题”的姿态出现。不管命题形式如何变化，解决数列问题的前提多是确定通项公式。数列中蕴含着丰厚的数学思想，而数列的通项问题具有很强的逻辑性，是考查逻辑推理和化归能力的好素材，既可考查等价转化与化归这一数学思想，又能反映考生对等差数列,等比数列理解的深度，具有一定的技巧性。下面谈谈几种常见的数列求通项公式的几种方法.一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例1等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式解：设数列公差为成等比数列，即，得，由得：，点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、累加法求形如an-an-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，n1得到n1个式子累加求得通项。例2已知数列an中，a1=1，对任意自然数n都有，求解：由已知得，以上式子累加，利用得-=，点评：累加法是反复利用递推关系得到n1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n1项的和，要注意求和的技巧三、累乘法对形如的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，n1得到n1个式子累乘求得通项。例3已知数列中，前项和与的关系是，求通项公式解：当n2由得两式相减得：，将上面n1个等式相乘得：当n=1时结论成立点评：累乘法是反复利用递推关系得到n1个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n1项的积，要注意求积的技巧 四、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例4已知数列的前项和满足求数列的通项公式；解：当时当时，有，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并五、迭代法求形如(其中为常数) 的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。例5已知数列an满足a1=1，且an+1 =+1，求解：an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+31+1=3n-1a1+3n-21+3n-31+31+1=点评：因为运用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误，导致走进死胡同六、讨论法在有些数列问题中，有时要对n的奇偶性进行分类讨论以方便问题的处理。例6已知数列an中，a1=1且anan+1=2，求通项公式解：由anan+1=2及an+1an+2=2，两式相除，得=，则a1,a3,a5,a2n-1，和a2,a4,a6,a2n，都是公比为的等比数列，又a1=1,a2=，则：（1）当n为奇数时，；（2）当n为偶数时，综合得点评：对n的奇偶性进行分类讨论的另一种情形是题目中含有时，分n为奇偶即可自然引出讨论分类讨论相当于增加条件,变不定为确定注意最后能合写时一定要合并。这是近年高考的新热点，如05年高考江西卷文科第21题七、化归法想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法同时，这也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。例7已知数列满足求an解：当两边同除以，即成立，首项为5，公差为4的等差数列点评：本题借助为等差数列得到了的通项公式，是典型的化归法常用的化归还有取对数化归，待定系数化归等，一般化归为等比数列或等差数列的问题，是高考中的常见方法八、“归纳猜想证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳猜想证明”法例8若数列满足：计算a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式，并证明你的结论解：a2=2a1+32=21+32，a3=2（21+32）+321=221+2321，a4=2（221+2321）+322=231+3322；猜想an=2n1+（n1）32n2=2n2（3n1）；用数学归纳法证明：1当n=1时，a1=21=1，结论正确；2假设n=k时，ak=2k2（3k1）正确，当n=k+1时，=结论正确；由1、2知对nN*有点评：利用“归纳猜想证明”法时要小心猜测，切莫猜错，否则前功尽弃；用数学归纳法证明时要注意格式完整，一定要使用归纳假设九、待定系数法（构造法）求递推式如（p、q为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解，相当如换元法。例9已知数列an满足a1=1，且an+1 =+2，求解：设，则，为等比数列，点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列an+1+=p(an+)来求得,也可用“归纳猜想证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型例10已知数列满足求an解：将两边同除，得，变形为设，则令，得条件可化成，数列为首项，为公差的等比数列因，所以=得=点评：递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型例11已知数列满足求an解：设展开后，得由，解得，条件可以化为得数列为首项，为公比的等比数列，问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得点评：递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数s、t由求出，从而化归为上述已知题型 以上求数列通项公式的方法，究其本质是利用等差数列与等比数列的相关知识时，由于题设条件给出的形式和结构不同而产生的。递推数列的题型多样，往往可以通过适当的策略将问题化为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳的方法，可由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明。求数列通项公式的通法体现的是转化与化归的数学思想方法，即将不熟悉形式转化为熟悉的。因此，仔细辨析递推关系的特征，准确选择适当的方法是