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函数建模在中考试题中的应用及思考广东省东莞市常平中学初中部 李元珍【摘要】 函数建模就是通过探索实际应用问题中的数量关系和变化规律，从中抽象出函数模型，并运用函数的知识解决实际问题的过程。本文归纳、分析了近五年广东部分地区中考试题中几种常见的函数建模类型，结合本人在日常教学中的实际体验，对初中课堂教学渗透函数建模思想的有效性提出个人感悟和思考。【关键词】 新课程标准；函数建模；中考试题；教学思考 2011版新课程标准提出：“为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识”。模型思想就是让学生感知、体会和深入理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。函数是刻画现实世界数量之间变化规律的一种重要的数学模型，初中阶段的函数内容有一次函数、反比例函数、二次函数等。函数建模教学，就是指引学生通过从实际生活背景中抽象出数学问题，构建函数模型，运用函数知识解决实际问题。通过过程体验，进一步提升数学学习能力，培养应用意识和创新意识，使学生适应未来学习、生活和工作的需要。1 回顾近年中考，揽函数建模概况 我省现行的初中毕业生学业考试功能之一就是对教师专业水平、教学质量进行评估。认真分析中考题所涉及的数学思想、解决问题方法等诸多问题，能让我们一线教师更深层次的领悟新课标理念，调整教学策略，在实际工作中少走弯路，提高课堂教学质效。笔者以近五年广东七个地市中考数学试题为例进行统计分析，发现涉及函数建模的试题如下表：建模题型中考年份等量关系建模图形特征建模表格信息建模几何关系建模地区题号分值地区题号分值地区题号分值地区题号分值2007年佛山2110东莞2292412深圳2382008年佛山228湛江2610广州2514佛山2410深圳2210东莞2292009年河源209茂名2110深圳229湛江2712东莞229湛江28122010年深圳218湛江2712广州2514河源1872011年佛山2410深圳229东莞229分析发现，函数建模问题在中考中频频出现，特别是几何关系建模问题，已经成为重点考察的数学思想之一，所占分值居高不下，是名符其实的高频考点。可以说，这充分体现了新课标关于函数模型在解决实际问题的应用理念。2 剖析建模试题，厘常见问题类型虽然各地中考中函数建模问题所涉及的现实背景有所不相同，各具新意，但考察的范围主要集中在解决实际问题和综合运用知识能力两个重分值板块中。在近几年全国各地的中考中，涉及函数建模试题主要有以下几种类型：类型一：从恒等关系出发，在变量之间寻求建模函数是刻画现实世界中数量变化规律的数学模型。在实际问题中，数量之间虽然存在着变化，但不是杂乱无章的变，是有序的变、有规律的变，且在变中相互牵制。变量间的这些矛盾完全可以通过某种恒等关系来体现，所以从恒等关系出发分析问题，就一定能找出其蕴含的函数模型。例1 (2011黄冈)今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨现从A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米(1)设从A水库调往甲地的水量为x万吨，完成下表：水量/万吨调入地调出地甲乙总计Ax14B14总计151328(2)请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小(调运量调运水的重量调运的距离，单位：万吨千米)分析：题中的恒等关系式有：A水库运往甲地的水的吨数+A水库运往乙地的水的吨数=14吨；B水库运往甲地的水的吨数+B水库运往乙地的水的吨数=14吨；A水库运往甲地的水的吨数+B水库运往甲地的水的吨数=15吨；A水库运往乙地的水的吨数+B水库运往乙地的水的吨数=13吨。填表得：水量/万吨调入地调出地甲乙总计Ax14-x14B15-xx-114总计151328根据“总调运量=A水库运往甲地的调运量+ A水库运往乙地的调运量+B水库运往甲地的调运量+ B水库运往乙地的调运量“，得：y=50x+30（14-x）+60（15-x）+ 45（x-1）=5x+1275（1x14） 。根据一次函数的性质，当k0时,y随x的增大而增大，所以当x=1时，y=1280为函数的最小值。从上述例题可以看出，解决该类型问题的关键是：审清题意，抓住主要因素，舍弃次要因素，简化问题，找准各变量间的恒等关系从而建立数学模型，再运用函数知识解决实际问题。类型二：从表象特征入手，在图象迁徙中建模图象能客观而直接在反映事物变化的趋势，试题信息以图象的形式呈现是近年中考试卷中出镜率最高的一类。初中阶段要求掌握的一次函数、二次函数、反比例函数图象分别对应直线、抛物线、双曲线等图象。例2 （2010达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？分析：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以设，由点（0,4）与（7,46）求得：（0x7），爆炸后浓度成反比例下降，设，由点（7,46）求得：（x7）.(2)当y=34时，由解得，x=5撤离的最长时间为7-5=2（小时）撤离的最小速度为32=1.5（km/h）(3)当y=4时，由得，x=80.5, 80.5-7=73.5(小时)矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井。从上述例题可以看出，若题目信息以图象形式呈现，可直接根据图象类型设出对应的函数解析式，再利用图象中点的信息确定系数，最后回到运用函数知识解决实际问题上来。类型三：从表格数据切入，在信息变化中建模表格的优势是能准确反映变量间的对应关系及变化的趋势。中考试题中以表格形式呈现题目信息的实际问题也比较常见。例3 （2005临沂） 某厂从2005年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：年 度2005200620072008投入技改资金（万元）2.5344.5产品成本（元/件）7.264.54认真分析表中数据，投入技改资金（万元）与产品成本（元/件）存在某种变化规律，按照这种变化规律，若2009年已投入技改资金5万元（1）预计生产成本每件比2008年降低多少元？（2）如果打算在2009年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）分析：因为表格中2.57.2=18，36=18，44.5=18，4.54=18，所以产品成本与投入技改资金存在反比例函数关系，（1）用x表示投入技改资金，y表示产品成本，则， 当x=5时，由得，y=3.6，4-3.6=0.4(元/件)预计生产成本每件比2008年降低0.4元.（2）当y=3.2时，由得，x=5.625, 5.625-5=0.6250.63（万元）还需投入技改资金0.63万元从上述例题可以看出，每组对应值的乘积是一个定值，这类实际问题符合反比例函数特性，可建模为反比例函数解决。而很多问题可能不具备这种特性，则需要通过图象来确定，以每组对应值为有序实数对描点、连线，得到函数图象，再根据图象特征观察、尝试、检验尽可能小误差地建立恰当的函数模型。 在对解决实际问题能力的考查中，建模一次函数的题材较多，这与一次函数、一元一次方程及一元一次不等式之间可以相互转化、紧密联系分不开，知识难度适中，适合多向考查，这不但是命题专家关注的的重点地带，也应是我们一线教师必须突破的堡垒。类型四：从几何关系入手，在综合运用中建模中考中的压轴题往往是拉开考生分数差距，以利于高一级学校选拔优秀学生的最后一道屏障。压轴题具有涉及范围广、知识点多的特点，代数知识与几何知识的有机结合是这类试题的亮点之一，更是试题难点所在，因此，对考生的综合能力的要求也就更高。例 4（09年广东）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；分析：(1)易得B=C=90，DMABCNCMN=MAB (2) 即当x=2时，y取最大值，最大值为10.从上述例题可以看出，这类试题可依据面积公式、相似图形比例关系等先建立几何元素间的二次函数模型，再通过二次函数的最值性求取几何图形中面积、线段的最大值或最小值。这是中考的重要考点，在试卷中居有不可撼动的地位。通过对近年各地中考中出现的函数模型试题类型的分析，我们可以清楚地看到：运用函数建模思想能解决越来越多与人们生产、生活相关的问题考试与生产、生活越来越近。因此，在日常教学中我们一线教师有责任、有意识地帮助学生树立基本的数学思想，以严谨的思维、科学的方法、有效的策略助学生在学习的道路上越走越顺畅，越走越高远。3 传授方法步骤，浸建模思想意识新课程课标用建模思想对数学教学提出的要求，实际上反映了时代对培养学生应用意识和创新意识要求的增强。中考对课程标准贯彻的力度是有目共睹，所以在课堂教学中更应高度重视渗透建模思想，培养学生的建模能力。 3.1 学以致用申明建模意义，激发学生求知欲传统的数学教学较注重学生运算能力、逻辑思维能力，缺乏对数学思想、应用意识的培养，这在无形之中把数学与生活隔离开来。学生是为了“学数学”而学数学，感受不到数学的应用价值所在。在日常教学中渗透函数建模思想和方法不仅帮助学生更好地理解掌握数学基本知识，更能让学生体会到数学在实际生活中的应用价值所在，明确学习不仅仅是为了考试，树立正确的数学观和学以致用的学习理念，激发学习数学的兴趣。其次，函数建模思想是一种重要的数学思想，初中数学教学阶段逐步渗透数学思想方法，符合学生的认知规律，有助于提升学生的数学能力和素质。3.2 日常渗透奠基建模思想，提高学生创造力要使学生表现出良好的函数建模思想和能力，在日常教学中利用各种契机渗透建模理念：抓住概念教学契机。课本上各种函数概念的引入都是从实际问题开始的，利用好引入素材，让学生体会数学知识来源的生活性。抓住例题教学契机。教材中涉及函数应用的范例，为实际问题“数学化”提供了丰富的材料和最基本的实例，所以抓住课本素材贯彻建模决意识和方法。抓住练习的契机。习题充分挖掘课本或生活中时代感强的题材, 强化学生思维动机，激发学习兴趣，通过建模解决实际问题来体验建模思想的实用价值，逐步提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，进一步开发学生的创造潜能。3.3 师生互动达成建模共识，搭建学生智慧桥培养学生的建模能力，首先要帮助学生掌握扎实的基础知识和基本技能。如初中四种函数的解析式、性质及其图象特征等知识必须牢固掌握。其次，教师要教给学生建模的方法。建模的一般步骤为：第一步模型准备，分析实际问题蕴含的内在规律，领悟其内在的数学本质。第二步模型假设，对问题进行必要的简化，用精确的语言提出一些恰当的假设。第三步模型建立，在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系即数学模型。第四步求解，运用数学工具对模型求解。第五步模型分析，对求解的结果进行检验，将结果“翻译”回实际问题中去，检验其合理性，预测一些未知的现象，并能被实践所证明。教学中通过教师引导、学生自主探究，逐步熟悉、掌握函数建模的步骤和方法，把实际问题逐步转化为构建模型所需的基本要素。3.4 排除建模障碍，提升学生学习力教学实践发现，学生顺利掌握建模方法仍有一定的难度，主要体现在文字理解能力差，不能准确把握文字信息把生活语言转化为数学语言。其次，不能准确领悟变量间的恒等关系，对建立何种函数模型缺乏目标性。综合题型中，学生对多个知识的融会贯通、综合运用能力不足。所以，教师在准备教学的过程中不仅要做知识层面的准备，更需先备学生，预见到学生可能会存在的疑惑和难点，只有帮助学生掌握方法、提升能力，才能使学生解决建模问题的能力大大提高。在近年的教学工作中，我对函数建模问题的处理坚持理念引导为先，层层落实，扎实推进。学生对函数建模知识的学习由懵懂到清晰、从混乱到有序、从无需到渴望，对函数知识的掌握和应用得心应手。进入初三综合总复习阶段，只要稍作点拨，学生对建立函数模型解决实际问题这一数学思想就