数学空间几何体的三视图和直观图

空间几何体的三视图和直观图 1 多面体的结构特征 1 棱柱 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 且其余 每相邻两个面的交线都互相平行 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱 底面是正多边形的直棱 柱叫做正棱柱 2 棱锥 有一个面是多边形 而其余各面都是有一个公共顶 点的三角形 如果棱锥的底面是正多边形 并且水平放置 它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上 则这个棱锥叫做正棱锥 3 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截 截面和底面间的部分 2 旋转体的几何特征 1 圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴 将矩形旋转一 周而形成的曲面所围成的几何体 2 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴 将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 3 圆台 类似于棱台 圆台可看作是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 底面与截面之间的部分 类似于圆锥的形成过程 圆台还可以看作是一直角梯形绕垂直于底的腰所在的直线旋转 其余各边旋转形成的曲面围成的几何体 4 球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴 半圆面旋转一周 形成的几何体 3 用斜二测画法画水平放置的平面图形 1 步骤 画轴 取点 成图 2 图形中平行于x轴的线段 在直观图中仍平行于x 轴且长度保持不变 平行于y轴的线段 在直观图中仍平行于y 轴且长度变为原来的一半 与坐标轴不平行的线段 可通过确定端点的办法来解决 3 画空间图形的直观图时 只需增加一个竖直的z 轴 图形中平行于z轴的线段 在直观图中仍平行于z 轴且长度保持不变 三视图的定义 4 三视图的定义 1 俯视图 一个投影面水平放置 叫做水平射影面 投影到 这个平面内的图形叫做俯视图 2 主视图 一个投影面放置在正前方 这个投影面叫做直立投影面 投影到这个平面内的图形叫做主视图 正视图 3 左视图 和直立 水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面 通常把这个平面放置在直立投影面的右面 投影到这个平面内的图形叫做侧视图 左视图 5 三视图的排列规则 长对正 高平齐 宽相等 1 如图13 1 1 这是一幅电热水壶的主视图 则它的俯视 图是 图13 1 1 2 下列命题正确的是 A 棱柱的底面一定是平行四边形B 棱锥的底面一定是三角形C 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 3 下面说法正确的是 A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形B 两条相交直线的直观图可能是平行直线C 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D 平行四边形的直观图仍是平行四边形 4 如图13 1 2 已知底面为正方形的四棱锥 其一条侧棱 垂直于底面 那么该四棱锥的三视图是 图13 1 2 5 小华拿一个矩形木框在阳光下玩 矩形木框在地面上形成 的投影不可能是 考点1空间几何体的结构特征例1 如图13 1 3 模块 均由4个棱长为1的小正方体构成 模块 由15个棱长为1的小正方体构成 现从模块 中选出三个放到模块 上 使得模块 成为一个棱长为3 的大正方体 则下列选择方案中 能够完成任务的为 图13 1 3 A 模块 C 模块 B 模块 D 模块 在正方体上任意选择4个顶点 它们可能是如下各种几何体的4个顶点 这些几何形体是 写出所有正确结论的编号 矩形 不是矩形的平行四边形 有三个面为等腰直角三角形 有一个面为等边三角形的四面体 每个面都是等边三角形的四面体 每个面都是直角三角形的四面体 互动探究 1 2011年广东 正五棱柱中 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线 那么一个正五棱柱对角线 的条数共有 A 20条 B 15条 C 12条 D 10条 考点2 几何体的三视图 例2 2010年广东 如图13 1 4 ABC为三角形 AA 则多面体 ABC A B C 的正视图 也称主视图 是 图13 1 4 画三视图应遵循 长对正 高平齐 宽相等 的原则 即 正 俯视图一样长 正 侧视图一样高 俯 侧视图一样宽 看得见的线条为实线 被遮挡的为虚线 互动探究 2 2011年江西 将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体如 图13 1 5所示 则该几何体的左视图为 3 2011年全国 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如图13 1 6所示 则相应的侧视图可以为 图13 1 6 考点3 几何体的直观图 例3 对一个三角形采用斜二测画法作其直观图时 其直观图 的面积是原三角形面积的 倍 用斜二测画法画直观图 关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法 而其中的关键是确定多边形顶点的位置 将直观图还原为其空间几何体时 应抓住斜二测画法的规则 1 要明确柱体 锥体 台体和球的定义 定义是处理问题的关键 认识和把握空间几何体的结构特征是认识几何体的基础 2 旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的 一定要清楚圆柱 圆锥 圆台和球分别是由哪一种平面图形旋转形成的 从而掌握旋转体中各元素的关系 也就掌握了它们各自的性质 4 圆锥的母线l 高h和底面圆的半径R组成直角三角形 圆锥的计算一般归结为解这个直角三角形 特别是关系式l2 h2 R2 5 圆台的母线l 高h和上 下底面圆的半径r R组成直角梯形 圆台的计算一般归结为解这个直角梯形 特别是关系式l2 h2 R r 2 6 球的截面性质 球的截面是圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆 被不经过球心的平面截得的圆叫做