三重积分的计算方法.doc

三重积分的计算方法三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分，再做二重积分，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。如果先做二重积分再做定积分，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面之间，即，过z作平行于xoy面的平面截，截面。区域的边界曲面都是z的函数。计算区域上的二重积分，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且的面积容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）D是圆域（或其部分），且被积函数形如时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如时，可选择球面坐标系计算。1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）： 是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算。因而中只要, 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或时，可考虑用柱面坐标计算。历年真题1、计算三重积分，其中为平面与三个坐标面围成的闭区域。【解析】“投影法” （1）画出及在xoy面投影域D. （2）“穿线”X型 D：（3） “截面法”（1）画出。（2） 过点z作垂直于z轴的平面截得。是两直角边为x,y的直角三角形，（3）计算 2、计算，其中是和z=1围成的闭区域。【解析】 “投影法”（1）画出及在xoy面投影域D. 由消去z，得即D： （2）“穿线”， X型 D： （3）计算“截面法”（1）画出。 （2） 过点z作垂直于z轴的平面截得： 用柱坐标计算 （3）计算3、化三重积分为三次积分，其中：所围成的闭区域。【解析】（1）画出及在xoy面上的投影域D. 由 消去z，得即D： （2）“穿线” X型 D：（3）计算 4、计算，其中为所围成的闭区域。【解析】“投影法”（1）画出及在xoy面投影域D， 用柱坐标计算 由 化的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r(2)解 D： 即“穿线” (3)计算 。“截面法”(1)画出。如图：由围成。 (2) 由z=r与z=2围成； ，： ： 由z=2与z=围成； ，：(3)计算 = 5、计算，其中由不等式，所确定。【解析】用球坐标计算。由