刚体定轴转动.doc

第三章 刚体定轴转动基 本 要 求一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度、角加速度的概念及运动学公式。二、理解转动惯量的物理意义，并会计算简单形体对某轴的转动惯量。三、掌握刚体的定轴转动定律及应用。四、会计算刚体的转动动能及重力势能，能正确应用转动动能定理和机械能守恒定律。五、会计算冲量矩、刚体对固定轴的角动量，能正确应用角动量定理和角动量守恒定律。内 容 提 要一、刚体的运动形式刚体 任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变，有关质点系的规律都可用于刚体。刚体的平动 在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。平动是刚体的基本运动形式之一，刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。刚体的转动 如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，称刚体的转动。转动也是刚体的基本运动形式之一。转动中最基本的是定轴转动，即运动中各质点均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。一般运动 刚体不受任何限制的任意运动,称为刚体的一般运动，它可视为平动和转动的叠加。3. 刚体转动的描述角速度矢量 角速度的方向：在转轴上画一有向线段，其长度按一定比例代表角速度的大小，它的方向与刚体转动方向之间的关系按右手螺旋定则来确定，即使右手螺旋转动的方向和刚体的转动方向一致，则螺旋前进的方向就是角速度的方向。角加速度矢量 定轴转动时，刚体上各点都绕同一轴作圆周运动，任一点的线速度与角速度的关系为：二、刚体的转动惯量和转动动能转动惯量 刚体转动惯性大小的量度。质量连续分布刚体的转动惯量：转动动能 三、刚体的定轴转动定律转动刚体的第一定律 一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩等于零时，它将保持原有的角速度不变。转动刚体的第二定律 刚体转动的角加速度与合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。四、力矩的功力矩 力矩的大小： 其中称力臂，为与之间的夹角。力矩的功 力矩的空间积累效应。变力矩的功 五、刚体定轴转动中的动能定理合外力矩对绕定轴转动的刚体做作功的代数和等于刚体转动动能的增量。 或 六、刚体的重力势能刚体在重力场中，具有重力势能。刚体的重力势能为： 为质心的高度。七、冲量矩和角动量冲量矩 力矩对时间的积累效应。角动量 ，方向与角速度方向一致。质点的角动量 ，其中m、v、r分别为质点的质量、速度与转轴到速度方向的距离。质点作匀速率圆周运动时，角动量的大小、方向均不变。八、刚体定轴转动的角动量定理刚体受到合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量。九、刚体定轴转动的角动量守恒定律当刚体受到的合外力矩为0时，刚体的角动量守恒。即若M外=0，则I=常数。角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速、低速范围均适用。解题方法与例题分析一、转动惯量的计算 mC图31非连续刚体的转动惯量由求和法计算，连续刚体的转动惯量由积分法计算。对于有些问题，利用转动惯量的叠加性和平行轴定理计算比较方便。例1 计算质量为m，半径为R的均匀圆盘绕中心轴C的转动惯量。解 在离转轴至处取一小环，面积为，质量为，其中为圆盘的质量面密度由转动惯量的定义CAm图32例2 计算质量为m，长为l的均匀杆绕轴C和轴A的转动惯量。解 在杆上取一长度元dx，离转轴的距离为x，质量为dm=dx，其中为杆的质量线密度=m/l，由转动惯量的定义对C轴：对A轴：图33二、力矩的计算例3 一匀质细杆长为l，质量为m，在摩擦系数为的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩M阻。 解 杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大。在杆上离转轴的距离为x处取一长度为dx的质元，质元质量，其中为杆的质量线密度。则质元所受阻力矩为细杆所受的阻力矩为由细杆质量 有 三、应用转动定律的解题方法解题步骤：1.确定研究对象；2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）；3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程，并列出角量与线量关系)。 例4 长为l，质量为m的细杆，初始时的角速度为0，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间t后杆静止，求摩擦力矩M阻。解 以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由匀变速转动公式：有 即 细杆绕一端的转动惯量 则摩擦阻力矩为： 例5 质量为m1和m2的两个物体跨在定滑轮上，m2放在光滑的桌面上，滑轮半径为R，质量为M。求m1下落的加速度和绳子的张力T1、T2。T1T2图34解 受力分析：以为研究对象 以为研究对象 以为研究对象 补充方程 联立上述四个方程，求解得讨论：当 M=0时（忽略滑轮质量）， 例6 如图35（a）所示，质量为m =1kg的物体悬挂在定滑轮上，滑轮的半径R = 0.2m，物体距地面的高度为h =1.5m，由静止（vo=0）下落到达地面所用的时间为t =3s。设绳轮间无相对滑动，绳不可伸长，求轮对O轴的转动惯量I 。Rthmv0= 0 （a） （b） （c）图35Rm解 受力分析，如图35（b）、（c）所示：以滑轮为研究对象 以m为研究对象 运动学关系 联立解得 四、应用转动动能定理的解题方法解题步骤：1.确定研究对象；1.2.受力分析，确定做功的力矩；3.确定始末两态的动能；4.由转动动能定理列方程求解。图36 例7 一细杆质量为m，长度为l，一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，如图36所示。求细杆摆到铅直位置时的角速度。解 以杆为研究对象，只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化，有重力矩做作功：始末两态动能为：由动能定理：即 由，有 所以 五、应用机械能守恒定律的解题方法图37 例8 如图37所示的物体系中，倔强系数为k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为R，转动惯量为I。质量为m的物体从静止开始下落，求下落高度h时物体的速度v。 解 在物体m下落过程中只有重力和弹力保守力做功，物体系机械能守恒。选择弹簧原长为弹性势能零点，物体下落h时为重力势能零点。将代入上式，求解得OOABl , m图38例9 如图38所示，均匀直杆质量为m，长为l，初始时棒水平静止。轴光滑，。求杆下摆到角时的角速度。 解 对于杆和地球系统，只有重力做功，故机械能E守恒。初态 末态 则 直杆的转动惯量为OA段和OB段转动惯量的叠加，所以 将代入，解得 六、应用角动量守恒定律的解题方法O R图39例10 如图39所示，一质量M，半径为R的圆柱，可绕固定的水平轴O自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹，水平射入静止的圆柱下部（近似看作在圆柱边缘），且停留在圆柱内（垂直于转轴）。求：（1）子弹与圆柱的角速度。（2）该系统的机械能的损失。解 （1）子弹与圆柱发生完全非弹性碰撞，角动量守恒。设子弹与圆柱碰后角速度为。 （2）损失的机械能 其中 七、综合类题目m yxhPOMR图310例11 如图310所示，一质量为m的黏土块从高度h处自由下落，黏于半径为R，质量为M=2m的均质圆盘的P点，并开始转动。已知=60，设转轴O光滑，求：（1）碰撞后的瞬间盘的角速度。（2）P转到x轴时，盘的角速度和角加速度。解 （1）由m下落过程中：有 对m +盘系统，碰撞极小，冲力远大于重力，故重力对O轴力矩可忽略，又外力对轴的力矩为零，故系统角动量守恒 又 由、得 （2）对m + M +地球系统，只有重力做功，E守恒，令P、x重合时EP = 0，则 由、得由转动定律得例12 如图311（a）所示，一均质圆柱体的质量为m1，半径为R，用细绳悬挂一质量为m2的重物，将重物由静止释放下落并带动圆柱体转动。求重物下落h高度时的速率（所有摩擦力忽略不计）。 m1，R N T m2 T h m2g m1g（a） （b）图311解 重物、圆柱体受力情况如图311（b）所示，则重物和定滑轮的运动方程分别为：又 可解出重物下降的加速度为： a为常量，即重物作匀变速运动。，而 图312例13 长为，质量为m0的细棒，可绕垂直于一端的水平轴自由转动。棒原来处于平衡状态。现有一质量为m的小球沿光滑水平面飞来，正好与棒下端相碰（设碰撞完全弹性），使杆向上摆到处，如图312所示，求小球的初速度。解 从小球和棒完全弹性碰撞上升到处，问题可分为两个过程来讨论。第一过程：小球和棒完全弹性碰撞。取小球和棒为系统，因系统所受的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒。即 又因碰撞完全弹性，因此系统的动能守恒。有 式中为小球的初速度，和分别为碰撞后小球的速度和棒的角速度。第二过程：从碰撞后棒得到角速度，到它上升到处。取棒、地球为系统，因系统中无外力和非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。即 联立、和式解得习 题一、选择题1、有两个半径相同、质量相同的细圆环，A环质量分布均匀，B环的质量分布不均匀。设它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为IA和IB，则应有 。AIAIB； BIAm2 。设绳子长度不变，且绳子和滑轮间不打滑，滑轮可视为圆盘，试求m1和m2的加速度。5、长为l，质量为m0的细棒，可绕垂直于一端的水平轴自由转动。棒原来处于