二次函数与几何证明(老师).docx

一、 二次函数与线段问题例1、图，抛物线y=a（xh）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C（1）求此抛物线的解析式（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标解：（1）抛物线y=a（xh）2+k顶点坐标为B（1，2），y=a（x1）2+2，抛物线经过点A（0，1），a（01）2+2=1，a=1，此抛物线的解析式为y=（x1）2+2或y=x2+2x+1；（2）A（0，1），C（1，0），OA=OC，OAC是等腰直角三角形过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线，l与抛物线的交点即为点P如图，直线l的解析式为y=x，解方程组，得，（不合题意舍去），点P的坐标为（，）；（3）点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点由（1）知，点C的坐标为（1，0）设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得，直线AC的解析式为y=x+1设与AC平行的直线的解析式为y=x+m解方程组，代入消元，得x2+2x+1=x+m，此点与AC距离最远，直线y=x+m与抛物线有且只有一个交点，即方程x2+2x+1=x+m有两个相等的实数根整理方程得：x23x+m1=0，=94（m1）=0，解之得m=则x23x+1=0，解之得x1=x2=，此时y=第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（，）里、如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC在x轴下方的抛物线上求一点M，使AMC与ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|ANCN|探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由解答：解：（1）抛物线y=ax2x+2经过点B（3，0），9a3+2=0，解得a=，y=x2x+2，y=x2x+2=（x2+3x）+2=（x+）2+，顶点坐标为（，）；（2）抛物线y=x2x+2的对称轴为直线x=，与x轴交于点A和点B，点B的坐标为（3，0），点A的坐标为（6，0）又当x=0时，y=2，C点坐标为（0，2）设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得，直线AC的解析式为y=x+2SAMC=SABC，点B与点M到AC的距离相等，又点B与点M都在AC的下方，BMAC，设直线BM的解析式为y=x+n，将点B（3，0）代入，得3+n=0，解得n=1，直线BM的解析式为y=x1由，解得，M点的坐标是（9，4）；（3）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|ANCN|的值最大理由如下：抛物线y=x2x+2与x轴交于点A和点B，点A和点B关于抛物线的对称轴对称连接BC并延长，交直线x=于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|ANCN|=|BNCN|=BC最大设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3，0），C（0，2）两点的坐标代入，得，直线BC的解析式为y=x+2，当x=时，y=（）+2=3，点N的坐标为（，3），d的最大值为BC=二、与三角形的存在性问题例3、）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（1.0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DEx轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题2364070专题：压轴题分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据SPAC=SPAN+SPCN就可以表示出PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：以A为直角顶点；以D为直角顶点；以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可解答：解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x1），将C点坐标（0，3）代入，得：a（0+3）（01）=3，解得 a=1，则y=（x+3）（x1）=x2+2x3，所以抛物线的解析式为：y=x2+2x3；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得，解得，直线AC的解析式为：y=x3设P点坐标为（x，x2+2x3），则点N的坐标为（x，x3），PN=PENE=（x2+2x3）+（x3）=x23xSPAC=SPAN+SPCN，S=PNOA=3（x23x）=（x+）2+，当x=时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）；（3）在y轴上是存在点M，能够使得ADM是直角三角形理由如下：y=x2+2x3=y=（x+1）24，顶点D的坐标为（1，4），A（3，0），AD2=（1+3）2+（40）2=20设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：当A为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，所以点M的坐标为（0，）；当D为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t0）2，解得t=，所以点M的坐标为（0，）；当M为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=1或3，所以点M的坐标为（0，1）或（0，3）；综上可知，在y轴上存在点M，能够使得ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）例4、如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由解答：解：（1）由题意得，解得：b=2，c=3，则解析式为：y=x2+2x3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x2+2x3，解得x=1或x=3，由题意点A（3，0），AC=，CD=，AD=，由AC2+CD2=AD2，所以ACD为直角三角形；（3）A（3，0），B（1，0），AB=4，点E在抛物线的对称轴上，点E的横坐标为1，当AB为平行四边形的一边时，EF=AB=4，F的横坐标为3或5，把x=3或5分别代入y=x2+2x3，得到F的坐标为（3，12）或（5，12）；当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分，F点必在对称轴上，即F点与D点重合，F（1，4）所有满足条件的点F的坐标为（3，12），（5，12），（1，4）练习1、如图，直线AC分别交x轴y轴于点A（8，0）、C，抛物线 y=x2+bx+c（a0）经过A，B两点；且OB=OC=OA，一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，交抛物线于点P，连接PB、设直线l移动的时间为t秒，（1）求抛物线解析式；（2）当0t4时，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在直线l的移动过程中，直线AC上是否存在一点Q，使得P、Q、B、A四点构成的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题2364070分析：（1）先由点A（8，0）得出OA=8，再由OB=OA=4，确定点B的坐标，然后将A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c，即可求出抛物线解析式；（2）连接OP，则S四边形PBCA=SBOP+SAOP+SAOC，再由函数的性质可求得S的最大值；（3）分两种情况讨论：以BP为平行四边形的一边；以BP为平行四边形的对角线解答：解：（1）点A（8，0），OA=8，OB=OC=OA=4，B的坐标为（0，4），将A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得抛物线解析式为y=x2+x+4；（2）当0t4时，点P在第一象限，设P（2t，y），把x=2t代入y=x2+x+4，得y=t2+3t+4，所以P（2t，t2+3t+4）如图，连接OP则S四边形PBCA=SBOP+SAOP+SAOC=42t+8（t2+3t+4）+48=4t2+16t+32（ 0t4）4t2+16t+32=4（t24t）+32=4（t2）2+48，当t=2时，四边形PBCA的面积最大，最大面积为48；（3）如图，以BP为平行四边形的一边时，BPAQ，BP=AQA（8，0），C（0，4），直线AC的解析式为y=x4，设直线BP的解析式为y=x+m，将B（0，4）代入，解得m=4，即直线BP的解析式为y=x+4解方程组，解得，P（4，6），B（0，4），BPAQ，BP=AQ，Q1（4，2），Q2（12，2）；如图，当以BP为平行四边形的对角线时，ABPQ，AB=PQ设P（x，y），可得Q（x8，y+4），点Q在直线AC上，yAC=x4，把Q（x8，y+4）代入 yAC=x4，解得：y=x12，又y=x2+x+4，x2+x+4=x12，解得x1=2+2，x2=22（不合题意，舍去）Q3（2+2，7）综上所述：P、Q、B、A四点构成的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为：Q1（4，2），Q2（12，2），Q3（2+2，7）练习2】如图，在坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx2的图象过C点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由解：（1）如答图1所示，过点C作CDx轴于点D，则CAD+ACD=90OBA+OAB=90，OAB+CAD=90，OAB=ACD，OBA=CAD在AOB与CDA中，AOBCDA（ASA）CD=OA=1，AD=OB=2，OD=OA+AD=3，C（3，1）点C（3，1）在抛物线y=x2+bx2上，1=9+3b2，解得：b=抛物线的解析式为：y=x2x2（2）在RtAOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=SABC=AB2=设直线BC的解析式为y=kx+b，B（0，2），C（3，1），解得k=，b=2，y=x+2同理求得直线AC的解析式为：y=x如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（x+2）（x）=xCEF中，EF边上的高h=ODx=3x由题意得：SCEF=SABC，即：EFh=SABC，（x）（3x）=，整理得：（3x）2=3，解得x=3或x=3+（不合题意，舍去），当直线l解析式为x=3时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分（3）存在如答图2所示，过点C作CGy轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OBOG=1过点A作APBC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形过点P作PHx轴于点H，则易证PAHBCG，PH=BG=1，AH=CG=3，OH=AHOA=2，P（2，1）抛物线解析式为：y=x2x2，当x=2时，y=1，即点P在抛物线上存在符合条件的点P，点P的坐标为（2，1）三、找规律例1、下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第个图形中一共有1个平行四边形，第个图形中一共有5个平行四边形，第个图形中一共有11个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数为A、55B、42 C、41D、29【分析】找出规律：图平行四边形有5个=1+2+2，图平行四边形有11个=1+2+3+2+3，图平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，图的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41。故选C例2、如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7叫做“正六边形的渐开线”，其中，的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，.当AB1时，l2 011等于A. B. C. D. 【分析】找出规律：每段弧的度数都等于60，的半径为n，所以l2 011=。故选B。练习1：观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第11个图形中小正方形的个数为（1）（2）（3）（4）（5）A78B66C55D50【分析】由题意得：第一个图形中小正方形的个数为1，第二个为1+2=3，第三个为1+2+3=6，第四个为1+2+3+4=10， ；第（11）个图形中小正方形的个数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66。故选B。练习2：将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆 （用含 n 的代数式表示）第1个图形 第 2 个图形 第3个图形 第 4 个图形【分析】寻找规律：第1个图形中间有212个小圆，第2个图形中间有623个小圆，第3个图形中间有1234个小圆，第4个图形中间有2045个小圆，第n个图形中间有n（n1）个小圆。共有4n（n1）个小圆。四、几何证明题例1、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G已知G为CH的中点且BEH=HEG（1）若HE=HG，求证：EBHGFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长2）解：过点H作HIEG于I，例2：已知，RtABC中，ACB=90，CAB=30分别以AB、AC为边，向形外作等边ABD和等边ACE（1）如图1，连接线段BE、CD求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F求证：F为DE中点（2）如图，作DGAE，交AB于点G，由EAC=60，CAB=30得：FAE=EAC+CAB=90，DGF=FAE=90，又ACB=90，CAB=30，ABC=60，又ABD为等边三角形，DBG=60，DB=AB，DBG=ABC=60，在DGB和ACB中，DGB=ACBDBG=ABCDB=AB，DGBACB（AAS），DG=AC，又AEC为等边三角形，AE=AC，DG=AE，在DGF和EAF中，DGF=EAFDFG=EFADG=EA，DGFEAF（AAS），DF=EF，即F为DE中点练习1：如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M（1）求证：BFC=BEA；（2）求证：AM=BG+GM证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，ABC=90，在ABE和CBF中，AB=BCABC=ABCBE=BF，ABECBF（SAS），BFC=BEA；（2）连接DG，在ABG和ADG中，AB=ADDAC=BAC=45AG=AG，ABGADG（SAS），BG=DG，2=3，BGAE，BAE+2=90，BAD=BAE+4=90，2=3=4，GMCF，BCF+1=90，又BCF+BFC=90，1=BFC=2，1=3，在ADG中，DGC=3+45，DGC也是CGH的外角，D、G、M三点