高考证明不等式的不等式方法.doc

2013届高三广东仲元中学培优训练 高考中证明不等式常见技巧 广东仲元中学高三数学组证明不等式的方法，除了常用的比较（作差以及作商）法之外，还有一些技巧，下面举例给予说明。一、 构造函数思路：为了证明在集合D上成立，可以构造函数，研究函数的单调性，从而得到所需要的不等式。例1：（2009年广东理科试题）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（）求数列的通项公式； （）证明：简解： （）,. （）, 即需要证明：（将所要证明的不等式进行等价变形，指出最终需要证明的不等式，这是分步得分的有效途径。） 设,，那么只需证明即可。（换元法是高考重点考察的数学方法，善于换元，可以大大简化运算。）构造函数：,再研究函数的单调性以及最值即可。熟记几个比较重要的不等式：，例2：设函数 （）研究函数的极值点； （）当p0时，若对任意的x0，恒有，求p的取值范围； （）证明：简解：（I）当 上无极值点 当时，有唯一的极大值点 （）的取值范围为1，+ （） 分析：不等式左侧为项和，右侧为一个式子，可以通过放缩将右侧的式子拆分成项和。令，由（）知，（这是经常使用的一个不等式），（换元是关键） ,（将放缩成为使用裂项法奠定了基础）反思：（综合测试3）已知函数，数列满足 （）略 （）略 （）求证：简解： 此不等式左侧为个式子相乘，而右侧为一个式子，参考例2的思路，即可。（）递减，即也就是， 于是，即， 故反思：（综合测试8） 设数列、 （1）求数列的通项公式； （2）对一切成立； （3）记数列、简解：（1） （2）先用分析法“追根溯源”（“追根溯源”是证明不等式的常见思路，这样就可以找到关键所在）下面只需证明即可，此不等式为前面所言的一个简单变形而已。 (2008年广州一模) 已知函数（为自然对数的底）（1）求函数的最小值；（2）若，证明：第二问: 根据基本不等式再放缩即可 由于,令,则,即令,以上诸式相加即可.（二）数学归纳法数学归纳法证明不等式要注意格式的规范性。例3：（2009年广东理科试题）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（）求数列的通项公式；（）证明：简解：这里只证明第（）的左侧。 :, 当时, ,命题成立; 假设时,命题成立,即, 则当时, ,故 当时,命题成立 故成立. 有些不等式的证明若使用数学归纳法，将会比较困难。如：（广州市2010年高三调研测试）（本小题满分14分）设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足 ，N，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和简解：（1）（2）（N）（3）证明：由（2）知，则 所以需要证明，此不等式若使用数学归纳法，将很困难。（三）放缩法放缩法不仅是一种独立的方法，而是证明不等式的一种技巧。例4：（2010年五校合作自主选拔通用基础测试）函数，设证明：思路分析：所证明不等式的右侧为，可以联系到一个等比数列的通项。所以将适当放大。下面分析常数应该是多少。不等式是可以迭代的：所以那么只要证明即可，这可以用数学归纳法证明。请自己完成。此外，迭代的方法也是相当重要的,是高考试题中经常出现的方法!例5：（2009年重庆文科试题） 已知（）求的值；（）设为数列的前项和，求证：；（）求证：思路分析：（）（）略（）所证明不等式的左侧为，其中的并不是连续的两项，所以需要将中间的项补齐，利用三角不等式。当时，有，以下略。在放缩进行不等式的证明时，有时候要把握放缩的“火候”，例如证明：（），所以 若从第2项开始放大，只能证明出一个比较“宽松”的命题，只有从第3项开始放大，才会得到需要的结果。 （四）绝对值不等式的证明绝对值不等式的证明除了使用前面所言的三角不等式之外，还有另外一些办法。例6：（2010年全国高中数学竞赛一试）已知函数当时，,试求的最大值简解：，将用表示即可。，则，以下略。这是一种变量置换，在不等式证明中比较常见。以上是不等式证明中的一些常用方法与技巧，要举一反三，不能照搬硬套，无招胜有招才是最高境界。练习1：（2006年广东高考试题）是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：对任意的，都有；存在常数，使得对任意的，都有.设，任取，令，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式练习2：（2001年全国高考试题） 已知，是正整数，且. (I) 证明 ； (II) 证明 .（本问请思考两种方法） 练习3：（综合测试1）已知函数.（1）求函数在上的最大值、最小值；（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；（3）求证：N*）.练习4：已知函数，求证：练习5：，求证：练习6：已知，函数。 当，有。（1）证明：；（2）证明：当时，。练习7：数列中，对一切正整数有。求证：对一切正整数都成立。练习8：（2009年陕西高考）已知数列满足：。证明：练习9：设，求证：练习10：（2010年韶关模拟试题）已知数列满足。（1） 求证数列是等比数列，并求