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不等式 小结与复习【知识归类】 （一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：.(2)传递性：.(3)加法法则：；.(4)乘法法则：；.(5)倒数法则：.(6)乘方法则：.(7)开方法则：.2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法3、应用不等式性质证明.（二）一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法.一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R （三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点，从的正负即可判断0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点）.3、线性规划的有关概念线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.（四）基本不等式1、如果是正数，那么2、基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”.二元一次不等式组与简单的线性规划问题例1画出不等式2+y-60表示的平面区域.解：先画直线2+y-6=0（画成虚线）.取原点（0，0），代入2+y-6,20+0-6=-60,原点在2+y-60表示的平面区域内，不等式2+y-60表示的区域如图：点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是_(t2/3)_.画出不等式组表示的平面区域.解：不等式-y+50表示直线-y+5=0上及右下方的点的集合，+y0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域:例2设满足约束条件：，分别求（1）；（2）；（3）；（4）的最大值与最小值。例3某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.求该企业可获得最大利润。4.某厂生产A与B两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤A产品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B产品需要电力3千瓦、煤2吨.但该厂的电力供应不得超过100千瓦，煤最多只有120吨.问如何安排生产计划以取得最大产值?5某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？答案例2解：（1）先作可行域，如下图所示中的区域，且求得、作出直线，再将直线平移，当的平行线过点B时，可使达到最小值；当的平行线过点A时，可使达到最大值。故，（2）同上，作出直线，再将直线平移，当的平行线过点C时，可使达到最小值；当的平行线过点A时，可使达到最大值。则，（3）表示区域内的点到原点的距离。则落在点时，最小，落在点时，最大，故，（4）表示区域内的点与点连线的斜率。则落在点时，最小，落在点时，最大，故，例3.解析 设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系： A原料 B原料甲产品吨 3 2乙产品吨 3（3，4）（0，6）O（，0）913 则有： ，目标函数 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当3，4时可获得最大利润为27万元。4解:设生产A与B两种产品分别为x公斤，y公斤，总产值为Z元。则且作可行域：作直线l：600x+400y=0，即直线l：3x+2y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A，且与原点距离最大，此时z=600x+400y取最大值.解方程组,得A的坐标为x=20，y=20答：生产A产品20公斤、B产品20公斤才能才能使产值最大。5解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得 或即 0100200300100200300400500yxlM目标函数为 线性约束条件为作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线，即平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取 得最大值联立解得点的坐标为 （元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元基础过关1不等式6x2x20的解集是()A.B. C.D.2不等式2的解集为()Ax|x2 BR C Dx|x23一元二次方程ax2bxc0的根为2，1，则当a0时，不等式ax2bxc0的解集为()Ax|x2 Bx|x1或x2 Cx|1x0的解集为R，则m的取值范围是_6不等式1x22x12的解集是_7解下列不等式：(1)x43x2100的解集为x|x，其中0，a0的解集二、能力提升9在R上定义运算“”：abab2ab，则满足x(x2)f(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(3,1)(2，) C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)11已知x1是不等式k2x26kx80的解，则k的取值范围是_12解关于x的一元二次不等式：ax2(a1)x10.答案1B2.A3.D4.B5.2m2 6x|3x2或0x17解(1)原不等式的解集为x|x(2)原不等式的解集为x|2x1或1x28解、为方程ax2bxc0的两根，.a0同解变形为x2x10.由根与系数的关系将、代入，得x2()x10.即0，由0.所以不等式cx2bxa0的解集为.9B10.A11.k2或k412解ax2(a1)x10(ax1)(x1)0.当a0时，不等式的解集为x|x；当1a0时，不等式的解集为x|x1；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为不等式一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分1. 不等式组表示的平面区域是（）2. 目标函数，将其看成直线方程时，的意义是（）A.该直线的横截距B.该直线的纵截距C.该直线纵截距的一半的相反数D.该直线纵截距的两倍的相反数3. 若，满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.4. 方程在上有实根，则的取值范围是（）A.B.C.D.5. 某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总体）的最低产量是（）A.100台B.120台C.150台D.180台二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.6. 不等式的解集是 .7. 若，则、的大小关系是 .8. 已知点和点在直线的两侧，则的取值范围是.三、解答题：本大题共3小题，满分40分，第9小题12分，第10.11小题各14分. 解答须写出文字说明.证明过程或演算步骤9求下列函数的最值.（1）已知，求的最大值；（2）已知，求的最小值；（3）已知，求的最大值.10. 已知，求的范围.11. 又一年冬天即将来临，学校小卖部准备制订新一年的热饮销售计划. 根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出热饮800杯，且热饮单价每提高1毛时，日销售量就降低20杯. 若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的热饮日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？参考答案：15 BCDDC6. 7.