线路测量中的正反算问题及编程方法.doc

线路测量中的正反算问题及编程方法汪相艮（山东省铁道战备舟桥处栈桥段，山东 齐河 251100）2009-4-8摘要：文章提出了线路测量中正反算问题的新概念，给出正反算问题的统一数学解算模型和计算器程序代码。关键词：线路测量；正反算问题；解算模型；编程中图分类号：TPl83文献标识码：A文章编号：1009-2374（2009）07-0021-02一、正反算问题的概念随着全站仪、RTK技术、线路计算理论及计算机的广泛应用，线路测设已逐渐由原来的基于局部坐标系的图形关系放样法如偏角法、切线支距法、弦线支距法等，过渡为基于与线路控制相统一的线路坐标系的坐标放样法。这种坐标放样法的前提是依据放样点在线路中的相对关系计算出其在线路统一坐标系中的坐标。依据的相对关系通常可以描述为：如图1所示，放样点P距线路曲线元起点A的曲线长L及放样点P至线路中线的垂距D。已知L和D计算P点在线路坐标系中统一坐标的过程称为线路的正算问题，其数学模型可概括为：XP=fX（L，D，XA，YA， A）XP =fY（L，D，XA，YA， A） 式（1）表明正算过程是以L，D为引数的，当然其前提是该线路的曲线元是已知的，或者说其在线路统一坐标系中的位置是固定的，即其起点坐标XA，YA及其方位角A是已知的。同时也必然隐含着曲线元本身的形状是一定的，例如若是圆曲线时，其半径R是已知的；若是 缓和曲线时，其R和LS是已知的。图1 放样点或测量点与线路中线的相对关系线路中的反算问题则是上述正算问题的逆过程，即已知线路中线外一点P在线路统一坐标系中的坐标P（XP ，XP），计算出P至曲线元起点的曲线长L及P距中线的垂距D，其数学模型概括为：L=fL（XP， XP，XA，YA， A）D =fD（XP， XP，XA，YA， A） 式（2）反算过程是以XP，XP为引数的，其他含义与正算是相同的。二、正反算问题的统一解算模型实际线路构形尽管很多，但都是由直线、圆曲线和缓和曲线的不同组合构成。给出适合于各种构形的正反算问题的统一解算模型，必须先找出能代表三种曲线单元的统一曲线单元曲线元。曲线元具有三种曲线单元的共性，即其曲率随弧长作线形变化。曲线元可以代表三种曲线单元中的任意一种，这样，依据曲线元所推出的正反算问题的解算模型，必然成为适合于各种线路构形的统一结算模型。比较现行的教科书可知，统一模型具有概括性强、适用性广、公式形式简洁、计算精度高等特点。（一）正算问题的统一解算模型如前所述，正算问题是以弧长L和垂距D为引数计算曲线元外任意点P在线路统一坐标系中坐标的过程，前提是已知曲线元本身的参数及确定曲线元在线路坐标系中位置的参数。如图1，需已知下列参数：曲线元起点A的曲率KA，终点B的曲率KB，曲线元的弧长LS，曲线元起点A在线路坐标系中的坐标值XA，YA，起点A在线路坐标系中的切线方位角A，表示曲线元偏向的符号函数=1，表示边桩点P边向的符号函数=1。它们的取值规定如下：当曲线元左偏时，取-1，当曲线元右偏时，取+1；当边桩点位于曲线元的坐标计算方向左边时取-1，当P位于右边时取+1。文献2应用数值积分的Gause-Legendre公式给出了曲线元上任意一点P的坐标计算公式及其切线方位角计算通式：X=XA+LRicosA+（KAViL+KABVi2 L2/（2LS） i=14； Y=YA+LRisinA+（KAViL+KABVi2 L2/（2LS）i=14； =A+（KAL+KABL2/（2LS） （4）式中，KAB= KB- KA，Ri及Vi为常数，其值为：R1= R4= 0.1739274226，R2= R3= 0.3260725774 V1= 0.0694318442，V2= 0.3300094782 V3= 0.6699905218 ，V4= 0.9305681558则已知L，D计算P点坐标的统一数学模型为X=XA+LRicosA+（KAViL+KABVi2 L2/（2LS）DsinA+（KAL+KAB L2/（2LS） i=14Y=YA+LRisinA+（KAViL+KABVi2 L2/（2LS） DcosA+（KAL+KABL2/（2LS） i=14； 各符号说明：（XA， YA）A点的坐标；LP点相对于A点的里程增量；KA曲线元起点A的曲率；KB曲线元重点B的曲率；LS曲线元的弧长；A起点A在线路坐标系中的切线方位角；曲线元偏向的符号函数，曲线左偏取负号，右偏取正号；桩点P边向的符号函数，P点位于坐标计算方向左边时取负号，右边取正号；DP点至P点的距离。（二）反算问题的统一解算模型如前所述，反算问题是以P点在线路坐标系中的坐标XP， XP为引数计算弧长L和垂距D的过程。除已知XP， XP外，其他参数与正算相同，但边向符号函数却不适应反算问题，因坐标点P的边向在计算L和D之前也是个未知数。换句话说，反算问题除要解出L和D外，还有判断P点边向的任务。如果在解算L和D过程中，注意到D的正负号，则根据解出的D值符号可很容易的判断出P点的边向。如图1，虽然通过曲线元上的法线有无数多个，但通过P点的法线却是唯一的，根据这一特性解求L和D较之通常使用的联立曲线方程的方法要巧妙得多。首先在A与P点间取一近似点，通过判断P点到该点法线的垂距是否为0，来确定又一近似点的位置；再判断P点到该新近似点法线的垂距是否为0。通过类似的循环，即可求出弧长L，从而求得垂距D。关于这一解算方法的原理及解算过程，文献4已有详细叙述，这里仅列出反算问题的统一解算模型。 1先由式（6）求得P点到起点A法线的垂距的绝对值d1：d1=|（ YP -YA）sinA+（ XP -XA）cosA| （6）2以d1作为L的初值，即以d1代替式（3）中的L，求得曲线元上一点P1的坐标（XP1， YP1）。3由式（7）求得P点到P1点法线的垂距d2：d2=（ YP -YP1） sinA+（KAd1+KAB d12/（2LS）+（ XP -XP1） cosA+（KAd1+KAB d12/（2LS） （7）4以（d1+d2）作为L的新值，即可由式（3）又求得曲线元上更接近P点的新点P2的坐标（XP2， YP2）。5用XP2， YP2及（d1+d2）分别替代式（7）中的XP1， YP1及d1，即可又算得P点到P2点法线的垂距d3。6如果|d3|0.001m，则L=di，i=13，否则重复上述过程，直至|dn|0.001m，则有L=di i=1n。7由L并按式（3）算得P（X P， Y P），垂距D可由式（8）求得：D=（ Y P- Y P）/cosA+（KAL+KAB L2/（2LS） （8）8据D的正负号依据“左负右正”规则可判断出P点相对于曲线元的边向。在已知P点和P点坐标情况下不用距离反算公式求D，而用公式（8）求D，是因为使用式（8）可同时判断出P点的边向。三、卡西欧fx-5800P编程实现线路测量正算和反算问题fx-5800P计算器与4000系列卡西欧计算器相比有很多改进，编程语句更为丰富，特别是增加了And和Or逻辑运算子命令，使得程序结构接近计算机高级语言如C语言等，依据以上正反算数学模型的分析，分三个程序编辑成如下程序代码：1主程序（XLZFS）1.SZXY： 2.XYSZ： N?N： X0?U： Y0?V： S0?O：F0?G： LS?H：R0?P： RN?R： XIANXING?Q：P（-1）C：（P-R）（2HPR）D：180E：If N=1：Then Goto 1：Else Goto 2：IfEndLbl 1： S?S： Z?Z：Abs（S-O）W：Prog SUB1： XS：XYS：YFS：F-90FGoto 1Lbl 2： X?X： Y?Y：XI：YJ：Prog SUB2： S：O+WSZ：ZGoto 22正算子程序（SUB2）0.1739274226A：0.3260725774B：0.0694318442K：0.3300094782L：1-LF：1-KM：U+W（Acos（G+QEKW（C+KWD）+Bcos（G+QELW（C+LWD）+Bcos（G+QEFW（C+FWD）+Acos（G+QEMW（C+MWD） X：V+W（Asin（G+QEKW（C+KWD）+Bsin（G+QELW（C+LWD）+Bsin（G+QEFW（C+FWD）+Asin（G+QEMW（C+MWD） Y：G+QEW（C+WD）+90F：X+Zcos（F） X：Y+Zsin（F） Y3反算子程序（SUB2）G-90T：Abs（Y-V）cos（T）-（X-U）sin（T） W：0Z：Lbl 0：Prog SUB1：T+QEW（C+WD） L：（J-Y）cos（L）-（I-X）sin（L） Z：If Abs（Z）10（-6）：Then Goto 1：Else W+ZW：Goto 0：IfEndLbl 1：0Z：Prog SUB1：（J-Y）sin（F） Z4使用说明：（1）面对大里程方向 Q=-1表示线元左偏，Q=1表示线元右偏，Q=0表示线元为直线；（2）偏距Z=0表示在中线上，Z=负值表示在中线左侧，Z=正值表示在中线右侧；（3）线元为直线时，起讫点曲率半径无限大，用10（45）代替曲率半径的规定：10（45） 10（45），直线10（45） 圆半径，完整缓和曲线圆半径圆半径，圆曲线不完整缓和曲线与直线相接处的半径为设计值，与圆半径相接处的半径为圆半径；（5）输入与显示说明：1.SZXY，2.XYSZ，N?输入1表示正算，输入2表示反算。X0? Y0? S0? F0? LS? R0? RN?输入线元起点坐标、里程、切线方位角、线元长度、起讫点半径，Q? 输入线元左右偏标志（左偏Q=-1，右偏Q=1，直线段Q=0），S?Z? 正算时输入的里程、偏距，X?Y? 反算时输入的坐标（6）特别说明：S0、X0 、Y0、F0、LS、R0、RN、Q可单独编成子程序，免去程序运行时输入众多参数的麻烦和避免输错数据。线路测量的正反算问题是线路设计、施工、验收全过程客观存在的基本问题，明确提出线路测量的正反算概念和解算模型，对于线路测量有着重要的意义，加强正反算问题统一模型的研究，对于线路测设的数字化和自动化都有着积极的作用。正反算是一个问题的两个方面，虽然计算过程互为互逆，但在实际中的应用却联系的十分紧密，甚至相互交叉。相信随着对线路测量正反算问题研究的不断深入，将会进一步拓展