分段函数.doc

分段函数的教学实录北京工大附中 叶欣教学目标：1、 通过分析分段函数的基本性质进一步巩固基本函数的性质，提高对函数的认识；2、 通过利用分类的思想把分段函数转化为基本函数去研究，再对所得结果进行整合，来渗透分类整合的思想和转化方法；3、 通过利用函数的图象突破难点直观分析函数的性质，来提高数形结合解决问题的能力；4、 通过利用函数思想解决方程、不等式等问题，提高学生综合分析问题的能力，进一步渗透函数思想；5、 通过对解析式的理解联想猜想合情推理，培养学生猜想论证的能力，培养学生的创新意识教学重点：分段函数的性质教学难点：分段函数的单调性教学方法：引导探究式教学用具：计算机教学过程：师：前面我们复习了一次、二次、指、对函数等基本函数，它们共同的特征是用一个解析式来表达的，还有一类函数：在定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，它们就是我们常见的分段函数，本节我们就来复习分段函数（给出课题）师：数学与我们的生活息息相关，下面我们来看一个有关学校预防流感的问题：请同学们认真读题后尝试解决相应问题例1、(07-湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。说明：安排此例题的目的有两个：（1）现在高考比较注重考查学生解决实际问题的能力，而且此题所设置的情景贴近学生的实际生活，可以让学生感受到数学在实际生活中的应用价值；（2）此题属于易做易错题，通过对此题的解决可以让学生感悟解决实际问题的方法图和应注意的事项（读懂题；读懂图）（给2分钟左右的时间，让学生独立完成解题过程；通过提问，让学生简单说明解题的思路、过程及结果；）师：（叫一个同学来回答问题）你第一问写的解析式是什么？生：师：自变量的取值范围是什么？把问题回答完整生：（学生开始小声议论，回答问题的学生有些茫然，迟疑了一会儿还是坐下了）师：别的同学有补充吗？（叫了一位举手的同学）生：应该是（学生又开始小声议论）师：为什么写出的是一个分段函数？生：因为图中给的是两段（没有抓住本质）师：反比例函数的图象也是两段，但写出的解析式是一个还是再读一下题意、读一下图图中两段图象反应的分别是什么过程？与分别是什么关系？生：第一段是药物释放过程中，含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；第二段是药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），哦，给解析式了（学生发现了自己的错误）师：要求的是什么时候的关系式？生：从药物释放开始的，包含了两个过程，y与t的关系不同，所以写出的应是分段函数解析式第二个不对应是（议论声又起，该生迟疑）好像能a求出用点（0.1，1），求出a =0.1师：给出完整答案生：师：实际问题是高考考查的重点，关键是要读懂题、读懂图师：（叫一个同学来回答问题）第二问怎么分析？答案是什么？ 生：因为当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，所以，解出，因此应是0.6师：分析得非常清楚！解决实际问题时，要读懂题、读懂图，要能从图中提炼有用信息，本题从图中读出特殊点的坐标、每段解析式对应的自变量的取值范围，其实从图中还能读出定义域、值域、单调性等师：下面我们来看一道与分段函数的单调性有关的问题，请同学们看例.例2、（06-北京）已知是上的减函数，那么的取值范围是（）A B C D 说明：安排此例题的目：让学生明确解决有关分段函数单调性问题，利用一般利用函数图象直观解决，突出数形结合思想（给分钟左右的时间，让学生独立完成解题过程；教师巡视；）师：（叫一个同学来回答问题）你如何解决这个题目？生：应该两段都是减函数，选B（把分段函数当作两个函数做，这是学生最容易出的错误）师：有不同意见吗？（叫了一位举手的同学）生：应该把：“1”代入两个解析式，第一个的值大于或等于第一个的值，选C（教师用几何画板演示图象的不同位置，学生指明图（3）是在上的减函数，并用单调性的定义进行了解释） （1） （2） （3）师：根据这道题总结一下，解决有关分段函数的单调性的问题应注意什么？生：画图师：解决有关分段函数单调性问题，一般利用函数图象直观解决；特别注意分段点处的极限值与函数值的关系师：本题可能出现的三种位置中，一种是连续的，另两个都不连续，那么如何判断分段函数是否连续？生：看分段点处的左右极限值和函数值相等师：下面我们解决一下分段函数与其他知识的综合应用问题：例3、已知函数f (x) =（1）不等式x 1，则h(x)4，（其中等号当x=2时成立）.若x1，则h(x)0，（其中等号当x=0时成立）. 当x=1时，h(x)=1函数h(x)的值域是(-，014,+ ).（由于时间的问题第三问留给学生课后思考，第二问还有学生提出用导数方法解决也留给学生课后思考）师：回顾本节我们解决的问题，我们用了哪些方法？有哪些需要注意的？同学们有何收获？生：解决有关分段函数的问题可以分类讨论，可以借助函数图象师：很好！抓住了问题的本质！ 实质上我们解决与分段函数有关的问题，应注意两点：1、在解决分段函数问题时，通常利用分类讨论的方法转化为基本函数解决，再对所得结果进行整合，体现了分类整合的思想；2、利用函数图象可以直观分析函数的性质，有利于解决相关的方程、不等式等问题，体现了数形结合思想、函数思想.作业：函数练习四教学设计：一、关于教学内容的选择：分段函数在最近几年的高考试题中出现得较多，新课程中对分段函数也进行了定义（在函数的定义域内，对于x的不同自变量的取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数），而现在高考正慢慢向新课程过渡，这引起我们在高考复习中对分段函数的重视，另外分段函数也是培养学生数学思想，渗透数学方法较好的一个素材，因此本节课选取了分段函数作为本节课的研究课题。二、关于教学目标的制定：数学的教学应以培养学生的思维能力为核心，培养思维品质一方面要求学生在解题过程中展开一系列的思维活动，另一方面则要求学生充分注意到数学思想方法对解题思路探索的指导作用。本节课的内容可以使学生在知识、方法和能力方面都得到一定的提高。经过学生积极主动的学习是可以完成上述教学目标所制定的任务的。三、关于例题的选择：现在注重考查学生解决实际问题能力，所以例1选取了一个实际问题；例2是有关分段函数单调性的问题，目的是要让学生明确有关问题一般应利用函数图象直观解决，突出数形结合思想；例3选取的是分段函数与不等式、方程的相关问题，目的是突出分类整合、数形结合、函数思想，提高学生综合分析问题的能力；例4选取的是05年上海高考题，目的是学生明确如何写出分段函数的解析式，明确如何求分段函数的值域；通过对解析式的理解，联想、猜想、合情推理，培养学生猜想论证的能力，培养学生的创新意识.三、关于教学方法的选择 高三第二轮复习应主要让学生动脑、动手，因此本节课采取引导探究的教学方式，即先让学生独立探索解题思路、再表达交流和评价反思教学反思：