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函数y=Asin() 的图象(1)教学设计授课班级 高一（3）班 授课教师 王勇 授课时间: 2003/3/19教材分析：1 教材的地位和作用：本节课选自人教版高中试验本代数第一册（下）P59页4.9 函数y=Asin(x+)的图象，这节内容分三节课完成，本节课是第一节，只讲例题1、2（P59- P62第四段），它是在前面学习了正弦函数和余弦函数的图象和性质的基础上对正弦函数图象的深化和拓展，由此进一步理解正弦函数的性质，同时，它也是掌握其它三角函数的图象及性质的基础，并可广泛应用于物理学和生产实际，因此这节课的内容是本章的重点、难点之一。2 教学重点和难点：根据本节课教材的地位和作用，结合大纲要求，确定如下重点和难点：（1）用五点法作函数y=sin(x) (A=1,0,且1, =0)的简图。 （2）函数y=Asinx (A0,且A1)、y=sinx（0,且1）的图象与函数y=sinx的图象变换关系。3 教学方法：体验探究法和形象探究法。学情分析:学生已经学习了作正弦曲线y = sinx的图象和五点画简图法,掌握了函数y=sinx的性质和函数y=Asin(x+) (A0,且A1,0,且1)的周期、最值的求法，并且有了一定的读图能力，能根据图象抽象概括出一些简单的性质。经过高一上学期的学习后，已基本上适应高中数学的学习方法，有一定的自学能力，但逻辑推理能力比较薄弱，这给这节课中关于y=sinx（0,且1）图象变换的任意性的推证带来思维阻碍。设计理念: 根据“诱思探究教学”中提出的教学模式，设计的教学过程，遵循“探索研究运用”亦即“观察思维迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究图象作图方法和图象与图象之间的变换关系，让学生动脑思和究，动手探，教师的“诱”要在点上，在精不用多。整个教学过程始终贯穿“体验为红线，思维为主攻”，学生的学习目的要达到“探索得资料，研究获本质”。学习目标分析:（1） 知识目标 掌握用五点法作函数 y=sinx (A=1,0,且1, =0)的简图，能从图象观察推证函数y=sinx与y=Asinx(A0,且A1)、y=sinx（0,且1）之间的图象变换关系。（2） 能力目标 提高抽象概括的思维能力，用五点法作正弦函数图象的能力和用换元思想、数形结合的方法解决数学问题的能力，培养数学化归的思想。（3） 思想目标 要认识到正弦函数的图象和性质来源于人类生产实践的需要，是客观实际的抽象，同时又广泛应用于客观实际，树立实践第一的唯物观点。教学媒体设计: 用物理的横波演示仪演示在某一时刻的波的图象；用flash软件制作图象变换的动态过程，课件主体用PowerPoint软件做成；利用实物投影仪当堂呈示学生的练习。教学过程设计及分析：一、 课前准备：1、让学生做作业：P56/3（3）、P57/1（3）-画出函数y=2sinx与y=sinx,在R上的简图。（做在统一的作业纸上）这是前一节内容的练习题，也是这节课要讲的例1，为这节课的顺利开展作好铺堑。2、预先做准备好一张练习纸，以便让学生在堂上做例题2。二、复习：1 用五点法画函数y=sinx在0，2上的简图时五个特殊点的坐标是 （学生回答，老师在黑板上预先画好的坐标轴上标出，并作出简图）（点评：这一道复习题，可让学生在后段的学习中由此旧知识类比得新知识）2 说出下列函数的周期、最大值、最小值： 周期 最大值 最小值（1）y = 2sinx 2 2 -2（2）y = sin2x 1 -1( 3) y = sinx （0） 1 -1 (4) y = Asin(x+)(A0,0) A -A 三、导入新课函数y = Asin(x+)的图象和性质与物理学和日常生活的联系比较紧密，如物理学中的振动,振动向外传播就会形成波，而波在某一时刻的图象的函数解析式就是形如：y = Asin(x+)。这时教师用物理科的横波演示仪演示横波,让学生观察横波在某一时刻的图象既象正弦曲线又不完全是正弦曲线，激成学生的好奇心，和学习新知的欲望。（点评：学生对此演示很感兴趣,把学生的注意力很快集中起来了）(出示课题:4.9 函数y = Asin(x+)的图象)四、新课这节课要学习两种较特殊的情形的函数的图象作法:（一）学习类型一、函数y = Asinx (A0,且A1, =1,=0)的图象。例1:画出函数y=2sinx，xR与函数y=sinx,xR的简图。这是上节课的练习题，课前布置学生做作业，新课一开始老师用实物投影仪投影学生的作业,并进行简单点评:大家是根据五点法先画出两函数在0，2也就是一个周期长区间上的简图, 而五个点的横坐标是0，, ,2，正是五点法画函数y = sinx简图时五个点的横坐标.再根据周期性进行左右扩展,得两函数在R上的简图。（二）学习并掌握类型一的函数与正弦曲线之间的变换关系，老师可设置三个渐进的问题：问题一：由函数y = sinx的图象如何得到函数y = 2sinx的图象？ 问题二：由函数y = sinx的图象如何得到函数y =sinx的图象？问题三：一般地，由函数y = sinx的图象如何得到函数y =Asinx， (A0,且A1)的图象？对问题一，大多数学生可能答：把图象上下拉长2倍得到。老师这时要根据函数解析式引导学生把问题具体到图象上的点来分析：实际上对同一个横坐标x0，函数y = sinx的图象上对应点的纵坐标是sinx0 ,而函数y = 2sinx图象上的相应点的纵坐标为2sinx0,刚好两倍。因此准确的说法是:把函数y = sinx的图象上的所有点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）就可得到函数y = 2sinx的图象。老师借助电脑课件动态演示变换过程。（点评：老师指投影的学生作业分析上过程，后电脑演示伸缩变换的动态过程,此动画由flash软件做成，动态效果形象、生动，从而把抽象的结论变得直观而且具体，加深了学生的感观认知，形成抽象的思维）对问题二和三，则由学生根据问题一的解决方法，类比思考，得到答案。然后让学生看书上对此问题的表述P60页第四到第五段。（学生还不能完全放开，回答问题不够大胆，老师要抓紧机会给予表扬和肯定，鼓励学生大胆表达自己的见解）老师再次用电脑演示动态变换的过程。将所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的A倍并在电脑中显示问题三的结论：(1)y=sinx y=Asinx 的图象 的图象 （点评：新知识的学习遵循由特殊到一般，再到应用的认知规律，同时也培养了学生由特殊情况归纳出一般性结论的抽象概括能力。由于这类型的学习并不是这节课的难点，所以老师可以让学生自主探究得到结论）（三）学习类型二：函数y = sinx(0,且1，A=1，=0)的图象。例2：画出函数y=sin2x（）与函数y=sinx（）的简图.由学生先思考、讨论：根据五点法画函数y=sin2x（）的简图，怎样找到五个特殊点？然后让学生自由回答。发现学生（或部分）学生思维有阻碍时，老师再进行诱导：大家对函数y = sinx的五点作简图法已比较熟悉了，那么函数y=sin2x与函数y = sinx有没有关系呢？（点评：这个问题使学生由旧知识类比得到新知识）学生可以联系到上一节内容中我们在用五点法画函数y = sin（x+）的图象和推导函数y = Asin(x+)的周期时曾用到数学换元的思想，从而找到两个函数与函数y = sinx 的关系：函数y=sin2x与函数y=sinx中的2x和x替换了函数y = sinx 的x，问题即可迎刃而解：只要令2x、x分别等于0，, ,2，再求出相应的x的值，就可以确定五个特殊点的坐标，再让学生在练习纸上完成作图。（同桌的同学可以讨论，老师在旁边巡视，进行个别辅导。发现做得好的学生，及时表扬）用实物投影仪投影学生答案，并纠正错误，在电脑中显示正确的解题过程。（四）学习并掌握类型二的函数与正弦曲线之间的变换关系。老师可同样设置几个渐进的问题：问题一：由函数y = sinx （）的图象如何得到函数y=sin2x（）的图象？学生的思维活跃起来，这时老师可让学生尽情发挥，让他们在发表自己的见解时互相纠正和完善答案。（有些学生会说周期变了，但大多数学生会说是将图象压缩为原来的一半，这些都不重要，关键是让学生体验到自己有成功，也有不足）最后生：把函数y = sinx的图象上的所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，就得到函数y=sin2x图象。问题二：你是根据什么理由得到这个结论的呢？老师协助学生根据一个周期的图象上的特殊点分析如何得到此结论：把函数y = sinx的图象上的第五个点（2，0）的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变就可以得到函数y=sin2x图象上相应的第五个点（，0），同理：第四个点第一个点也有同样的变换。最后归纳出：把函数y = sinx的图象上的五个特殊点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标不变，就得到函数y=sin2x图象上相应的五个特殊点。问题三：同学们，对函数y = sinx的图象上的任意一点是否都有同样的变换情况？（点评：问题设置恰到好处，学生一直处于“动脑思”“动眼看”的活动中，精神高度集中，这也是老师能顺利完成教学任务的关键）这是本节课学生的难点，老师再次把学生从热烈的讨论、争辨中拉回到沉思中来，课堂上静悄悄的。为了排除学生的思维阻碍，老师可进行点拨：对函数y = sinx的图象上的任意一点，设坐标为（x0,sinx0）,当横坐标缩短为原来的，即x0，纵坐标不变时得到点（x0,sinx0），而对函数y=sin2x图象上横坐标为x0的点，纵坐标刚好是y=sin(2*x0)= sinx0，因此点（x0,sinx0）在函数y=sin2x图象上。这表明了函数y = sinx的图象上的任意一点, 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变就可得到函数y=sin2x图象的点。（老师在黑板上分析，再在电脑中借助彩图显示此分析过程）师：所以把函数y = sinx的图象上的所有点的生：横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变就可得到函数y=sin2x图象。老师在电脑中显示答案，同时演示延展图（即几个周期的图象）的动态变换过程。 （点评：不同的函数曲线用不同的颜色加以区分，但一定要注意颜色要和谐，否则会适得其反，搞得学生眼花缭乱）问题四：由函数y = sinx 图象如何得到函数y=sinx的图象？学生可继续运用类比方法得到答案：把函数y = sinx的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变就可得到函数y=sinx的图象，老师演示延展图的动态变换过程。问题五：一般地，怎样由函数y = sinx 图象得到函数y=sinx(0,且1)的图象？学生很快得到答案：把函数y = sinx的图象上的所有点的横坐标伸长（01）为原来的倍，纵坐标不变就可得到函数y=sinx的图象。（五）练习：1、书上P66页/3（由学生口答）2、书上P66页/1（3）（由于时间关系，这个练习最后没有完成）（六）小结：这节课，我们主要学习了：（由学生回顾归纳，老师再利用电脑课件显示）一、函数y=sinx (A=1,0,且1, =0)的图象的五点作简图法。将所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的A倍二、以及y=Asinx (A0,且A1,=1，=0)和y=sinx (A=1,0,且1, =0)的图象与函数y=sinx的图象间的变换关系： 将所有点的纵坐标不变横坐标变为原来的倍(1)y=sinx y=Asinx 的图象 的图象 (2)y=sinx y=sinx 的图象 的图象课