数学建模 题目A：卫星监控地球问题.doc

论文题目：卫星监控地球问题 卫星监控地球问题摘要：本文依据空间第一型曲面积分，三角形相似原理以及物理学中的开普勒第三定律可知，在只考虑卫星轨道为严格的圆形或椭圆形时，并且任意时刻卫星只能监控到所在点切平面上空区域的前提下，根据卫星环绕地球轨道的不同，本着“卫星全程监控地球”这一原则，我们在问题分析时形象地将在任意一刻卫星监视地球的情况运用matlab作图法表示出来，再建立相应的数学模型，很好的解决了间谍卫星对地球的监控面积问题。对于问题1，在卫星距地表a km时的任意时刻卫星所监视的面积，我们简单从地球沿严格圆轨道运行分析。得出如下结论：（1） 卫星在距地球表高为a时监视地球的面积为：（2）卫星在距地球表高为a时监视地球的总面积为： （3）当卫星距地球表面高为900km时卫星监视地球的面积为： （4）当卫星距地球表面高为900km时卫星监视地球的总面积为： 对于问题二，我们经过认真分析后得出，在求解当卫星环绕地球一周所监视的总面积占地球总面积的40%时，我们仍然认为卫星绕地轨道为圆形，同时本着“卫星全程监控地球”这一原则，再结合问题一中第一部分的求解公式得出，再进行建模求解。卫星绕地球旋转一周所监视地球的总俯视面积达到地球表面积的40%时，卫星的高度要达到： 对于问题三，将卫星与地球整体模型二维化，建立三角形相似模型，并用此方法求解。所以解得卫星在绕地球运行的一个周期内看到除两极之外的整个地球时，卫星距地高度为： 对于问题四，首先，通过互联网收集了物理学中关于开普勒第三定律的相关资料，建立开普勒第三定律模型，将卫星在一定高度上的可监视区域投影到地球上，画出卫星在椭圆轨道上运行时平面图形；其次，以赤道所在直线为x轴和垂直于赤道过卫星椭圆轨道焦点的中心处的直线为y轴，建立平面直角坐标系；再次，将其转换为极坐标系，求得卫星绕地旋转的角速度；最后，在平面直角坐标系中，运用两点间距离公式结合第一问中当据地表为一定高度时卫星的监控面积，确定了当卫星运行轨道是椭圆时卫星在任意时刻监控地球的面积为： 以及卫星绕地球一周的总面积： 最后，通过对模型优缺点的评价和分析，进一步对模型的改进和推广做了阐述，并更接近实际的给出了改进模型的具体几点改进思路和方法。关键词：监测面积；第一型曲面积分；三角形相似；开普勒第三定律；matlab作图法。15一 问题的重述近年来，随着世界人口的不断增长、陆地资源的日益短缺和人类对海洋科学研究的不断深入，加上陆地面积仅约占地球表面积的三分之一这一残酷现实，人们越来越认识到海洋资源对其生存和发展的重要性，逐步加大了对于海洋资源的开发规模。海洋也是沿海国家的天然门户和安全屏障，是发展海军的重要前提，是隐蔽战略核力，是战时重要的交通运输线.。但是海洋中只有很小一部分能够通过船只或陆地进行监控，为了更好的监控海洋，无疑卫星是个很好的工具。在当今社会，卫星在国民经济和国防建设中起着越来越重要的作用，保卫国家主权与领土完整，保卫支撑国家经济可持续发展的海洋资源，维护海洋权益，维护可持续发展和生存空间的质量等卫星都功不可没。中国伟大的航海家郑和曾说过：“国家欲富强，不可置海洋于不顾，财富取之于海，危险亦来自海上。” 间谍卫星。这颗卫星携带的广角高分辨率摄像机直接将“视线”内地球上的每一点的图像都返回地面接收站。为此卫星对地球进行跟踪测控，应该对以下问题进行研究：1 在任意时刻，卫星所监视的面积有多大？卫星绕地球旋转一周所能监视的总面积是多少？当卫星距地高度为900km时，给出具体结果。2 卫星的高度要达到多少才能在绕地球旋转一周时，俯视面积达到地球表面积的40%？3 假设我们希望在绕地球运行的一个周期内看到除两极之外的整个地球，设两极地冠高为500km，问高度是多少？4 若卫星轨道是一个椭圆，能否建立t 时刻卫星监视地球表面的公式及卫星绕地球一周其总面积公式？二 问题的分析本题在卫星携带广角分辨率摄像机直接将“视线”范围内地球上每一点的图像(如图1)都返回地面接收站的条件下，前三个问假设地球是球体和卫星的轨道是圆形，求解卫星的高度与监测面积的关系。第四问在前三问的模型基础上，通过查找资料和有关数据，建立开普勒第三定律模型求得其解。图1对于问题1，按卫星运行轨道不同可以分为圆形轨道和椭圆形轨道两种，由于椭圆形轨道我们会在第四问中进行研究，所以在前三问中我们主要讨论卫星在圆形轨道下的监测情况。若卫星是地球同步卫星，则卫星绕地球一周所监视到的总面积和在任意时刻监视到的面积是相同的，此部分求解详见附录二。若卫星不是地球同步卫星，则当卫星处于一个固定轨道的时候，在任意时刻它所监视的面积大小是固定的，并且卫星上的广角摄像机所监视的“视线”与地球表面相切，所以第一问的前半部分可以归结为对球冠面积的求解。后半部分则可以用地球表面积减去两个球冠的面积进行计算。当卫星与地球表面的距离有具体数字的时候就能算出具体的监测面积。对于问题2,在第一问所考虑到的情况下，利用第一问的后半部分得出的卫星与地球表面距离与监测面积的关系，计算出监测面积等于地球表面积的40%时，此距离即为第二问之解。对于问题3，在第一问，第二问的模型思想基础上，通过分析得知，建立三角形相似模型，我们可以将卫星的监测区域利用三角形相似原理展开为：以平面上赤道所在直线和过平面上球心和赤道垂直的直线建立直角坐标系，根据已知球冠高度和地球半径就能求解。对于问题4,由于卫星轨道是一个椭圆，如图2(线性图)，3所示(三维图)，建立开普勒第三定律模型，再列出卫星椭圆轨道的参数方程，结合第一问的模型即能求解。图2：卫星绕地球旋转的平面椭圆轨道图3：卫星绕地球旋转的椭圆轨道三 模型假设与符号说明3.1 模型假设：假设 1：地球是一个严格的球体；假设 2：卫星与地球看成一个封闭的系统，忽略其它天体对卫星运行的影响卫星仅受地球万有引力作用；假设 3：地球质量均匀；假设 4：不考虑对卫星的发射和返航阶段的跟踪监控；假设 5：卫星绕地球一周是指绕赤道一周；假设 6：在任意时刻卫星只能监控到所在点切平面上空的区域；由于地球自转角速度等于0.000073rad/s，因此可以忽略地球自转的影响；假设 7： 当卫星的轨道是圆轨道时，卫星的轨道是以地球中心为中心的圆；假设 8： 当卫星的轨道是椭圆时，那么椭圆的一个焦点与地球的中心重合。3.2 符号说明：符号约定符号说明地球半径距地高度椭圆轨道的半长轴绕地监视一周时，俯视面积达到地表40%时，卫星距地高度截面距地心距离距地高度为时所监视的总面积距地高度为a时，卫星环绕地球一周未监视到的地球面积距地高度为a时，卫星环绕地球一周监视到的地球总面积当距地高度为900km时，卫星所监视的面积当距地高度为900km时，卫星绕地一周监视到的总面积地球半径与所截地冠高之差卫星绕地一周能监视到地球除南北极外的所有面积时的距地高度和意义相同万有引力常理地球质量与行星无关的常量，之与地球质量有关其他符号在文中用到时，另作说明。四 模型的建立与求解4.1 对于问题一模型的建立与求解首先，当卫星在监视地球时，我们从比较简单的情形来考虑，即卫星处在地球的赤道所在平面上，沿圆行轨道运行。此时，我们只需从第一型曲面积分的角度来考虑，针对第一部分，当卫星到地球表面的距离为a时。根据曲面积分思想可以认为卫星监测得的球冠即为地球被一个平面所截得到的，可以得出积分区间，根据第一型曲面积分公式可以求解当距地高度为a时所检测的面积。如图4所示，可积分为：图4图4图5如图5所示：以上就是在任意时刻，卫星所监视的面积大小及卫星绕地球旋转一周所能监视的总面积。4.2 对于问题二模型的建立与求解根据问题分析中对问题2的分析我们知道，由第一问第四项只需套用第一问的两个公式即可求得当卫星监视地球的俯视面积为地球表面积的40%时卫星的距地高度，结合图6可列式为：图64.3 对于问题三模型的建立与求解根据简单的三角形相似原理，再结合图7即可求解，算式如下：图74.4 对于问题四模型的建立与求解由于以上三问我们只考虑了当卫星环绕地球轨道为圆形时，卫星监视的面积和卫星环绕地球一周时监视的总面积，现在我们来考虑当卫星环绕地球轨道为椭圆形时，我们的分析如下：我们需在平面建立一个直角坐标系，椭圆在直角坐标系中表示如下；列出椭圆在平面直角坐标系中的方程，转换为极坐标方程，首先，证明开普勒第三定律，如图8所示：图8：卫星绕地球旋转的椭圆轨道2在上图中，A，B分别为行星运动的近日点和远日点，以Va和Vb分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见Va和Vb的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为 SA=1/2rAvA=1/2(a-c)vA1 SB=1/2rBvB=1/2(a+c)vB 根据开普勒第二定律，应有SA=SB，因此得 vB=(a-c)/(a+c)vA2 行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为 EA=1/2m(vA)2-(GMm)/rA=1/2m(vA)2-(GMm)/(a-c)3Eb=1/2m(Vb)2-(GMm)/rB=1/2m(vB)2-(GMm)/(a+c) 根据机械能守恒，应有EA=EB，故得 1/2m（vA）2-(vB)2=GMm1/(a-c)-1/(a+c)4 由24两式可解得 （vA）2=(a+c)GM/a(a-c)5 （vB）2=(a-c)GM/a(a+c) 由5式和1式得面积速度为 SA=SB=S=（b/2）(GM)/a 椭圆的面积为( 兀ab ) ,则得此行星运动周期为 T=（兀ab）/S=2兀aa/(GM)6 将6式两边平方，便得 (a)3/(T)2=(GM)/4（兀）2证明资源来自于网址：/view/79617.htm#sub79617其次，利用物理学中的开普勒第三定律得出卫星绕地旋转的角速度；再次，根据地心的坐标（c，0），运用两点间距离公式求出在椭圆上任意一点，即在任意一时刻t时卫星监视地球的面积；最后，用第一问第二部分的思想求出绕地一周时卫星监视地球的总面积。算式如下：五 模型的优点与缺点5.1 模型的优点：模型的建立从特殊到一般，层层递进，合理运用数学中第一型曲线积分，开普勒第三定律，相似问题等来简化模型，较抽象的问题更加直观，我们在计算卫星监控地球面积时把立体平面化，使其更加清晰明了。5.2 模型的缺点：在模型的求解过程中，我们运用了四舍五入的方法，只保留了小数点后两位，没有给出精确的解析的解。六 模型的推广与应用6.1模型的推广：本模型不仅仅实用于对航天飞行器的测控系统，也实用于其它一些覆盖测控问题，比如气象观测站的选址，喷灌覆盖面的问题，智能吸尘器全覆盖路径算法研究和测控系统的设计，遥测遥感网的覆盖问题等6.2模型的应用：该模型简单易算，原理易懂，收集数据和计算起来方便快捷，不仅在卫星、航天国际性事业上可以解决部分问题，而且在区域性测控类、监控类装置的设置和优化等类似问题上有广泛用途，可谓利民利国。参考文献1 刘承平。数学建模方法，北京：高等教育出版社，2002.2 薛毅 。数学建模基础，北京：北京工业出版社，2004.3 魏巍 。MATLAB应用数学工具箱，北京：国防工业出版社，2004. 4 蔡锁章。数学建模原理与方法，北京：海洋出版社，2000.5 高尚华。数学分析下册第三版，北京：高等教育出版社，2001附录一：问题重述中图片的matlab编程t=linspace(0,pi*2,37);p=linspace(0,pi,19);t,p=meshgrid(t,p);x=sin(p).*cos(t);y=sin(p).*sin(t);z=cos(p);zz=z;zzz=z;zz(ppi/6)=nan;h=surf(x,y,zz,facecolor,.7 .7 0,edgecolor,none,facealpha,.5);hold onsurf(x,y,zzz,facecolor,1 1 0,edgecolor,none,facealpha,.5);a=sqrt(3)/2+1/2/tan(pi/12);b=a-a/cos(pi/12)2+2/cos(pi/12)2;r=(a/cos(pi/12)2-2/cos(pi/12)2)*sin(pi/12);x=r.*x;y=r.*y;z=r.*z+b;surf(x,y,z,facecolor,1 1 0,edgecolor,none,facealpha,.8,AmbientStrength,.8);h=linspace(a-2,1/2/tan(pi/12),7);t=linspace(0,pi*2,37);t,h=meshgrid(t,h);r=h.*tan(pi/12);x=r.*cos(t);y=r.*sin(t);z=a