高等代数与解析几何课程整合的思考.doc

高等代数与解析几何课程整合的思考 【标题】高等代数与解析几何课程整合的思考 【作者】冉 双 全 【关键词】高等代数解析几何课程改革整合。 【指导老师】陈强 戴浩波 【专业】数学与应用数学 【正文】引言上世纪90?年代以前，各个大学数学系必定为一年级学生开设三门专业基础课，即数学分析、高等代数、解析几何。这三门课程是学生继续学习数学的不可或缺的重要基础，其中高等代数主要内容是多项式理论及线性代数两部分。解析几何的主要内容是向量代数及空间线、面等图形性质，或许还要加上若干仿射与射影几何的内容。这两门课程的内容有着密切联系。一方面，解析几何中向量、几何变换等概念是高等代数中线性空间与线性变换等抽象概念的直观来源。另一方面，高等代数中矩阵运算、线性方程组求解及二次型理论又为解析几何提供了有力的计算工具和简洁的证明与表述方式。将高等代数和解析几何的内容融会贯通是学习与运用它们的最佳途径。基于这些理由，把两门课程合为一门课程是许多数学老师的心愿。我国改革开放以来，对外交流使人视野开阔，不仅接触到大量较新的欧美教材，而且也看到20世纪60?年代后较现代的原苏联教材。这些教材，相对于传统教材，内容加深了一些，处理方式及用语符合现代数学的习惯，与后继课程如抽象代数等结合紧密。其中很多教材有一个明显倾向，即突出表现线性代数的几何内涵。例如，数学研究生丛书中美国 Gruenberg著线性几何，德国 Klin2genberg著线性代数与几何，前苏联莫斯科大学Postnicov著几何讲义(上)等书，已经不能区分它们是代数教材还是几何教材。所以，Gruenberg在线性几何的前言中，第一句便开宗明义称“本书是一本线性代数的书”。当今国际数学界在教学上将两者融为一体的思路，由此可见一斑。近20?年来，我国陆续也有好的高等代数教材出版，如北京大学邱维声编高等代数，中国科技大学李炯生、查建国编线性代数，复旦大学屠规彰等编高等代数，清华大学张贤科等编高等代数。这些教材都较全面地论述了矩阵理论和线性空间及其变换理论，而且表述形式现代化。值得注意的是，近年来出版的南开大学孟道骥编高等代数与解析几何和西安交大潘晏仲等编高等代数与几何。反映了我国将高等代数与解析几何合二为一的思想。本文主要是关于它们的整合的可行性、整合的主要措施、整合的结果问题、整合的意义。从而解决数学上存在的重多问题。作为高校数学与应用数学专业的重要基础课程，高等代数、解析几何一直备受关注。如何实现包括高等代数、解析几何在内的大学基础课程的改革与发展，是教育工作者一直关注的问题。分析高等代数、解析几何改革发展的一种可行方案?整合及其实践探索一、高等代数与解析几何课程整合的可行性分析(一)?改革高等代数与解析几何课程设置是数学教师专业化发展的需要，当前，教师专业化发展成为推动师范教育走向教师教育的不竭动力，高等师范教育的目的在于培养合格的中小学教师。作为培养中学数学教师必备的高等代数?、解析几何?课程，面临着中学数学课程内容综合化和现代化的严峻挑战，课程内容的综合化需要高等代数、解析几何走向整合，而课程内容的现代化又要求师范教育必须压缩传统课程的课时，增加反映现代数学基本思想和基本方法的课程内容。压缩课时、整合内容、提高教学效率，成为高等代数、解析几何两门基础课程需要解决的问题。(二)?高等代数与解析几何课程改革是适应高等教育理念变化的需要，众所周知，教学内容受制于一定的教育理念，高等教育理念的变化总会诱发高等教育教学内容的相应变革。近代高等教育初始时的功能比较单一，以传授知识为主，高等教育的主要甚至唯一的基点就是教学。随着社会的发展，高等教育与社会经济的关系日趋紧密，产、学、研三结合日趋密切，高等教育步入了多样化、综合化、个性化和职前职后一体化的终身教育发展进程，高等学校也日益成为科学、文化、社会和经济发展的中心。适应高等教育理念的变革，体现多样化、综合化的特点?，高师院校的课程结构必须由“线性”单向的课程模式向“网状”多向的课程模式方向发展。关注学科之间的关联、关注不同领域之间的内在联系，是当前教育教学内容改革的整体趋势。高等代数与解析几何课程内容的改革也正是基于高等教育理念的这些变化的必然反映。(三)?高等代数与解析几何课程改革符合数学科学的自身特点和数学课程现代化的发展趋势。?长期以来，高校都是把高等代数和解析几何放在大学一年级同时开设，其优点在于数学理论体系清晰、相对条理。然而，高等代数与解析几何内容相互交叉，解析几何中一些问题的解决常常用到高等代数中的一些概念和结论。但这些结论又出现较晚，使高等代数与解析几何的衔接出现滞后，而在介绍高等代数的变换等理论时，由于几何背景贫乏，又在一定程度上导致与解析几何的脱节。在教材编写时，把两门课程整合为一门课程，可以使初学者在解析几何直观背景的基础上，尽可能全面地掌握高等代数的基本思想，同时，借助高等代数的线性变换等内容，正确理解解析几何的二次曲线变换等知识，消除高等代数与解析几何课在配合上的矛盾。将高等代数、解析几何整合在一起，不仅需要删繁驭简，而且需要更好地呈现数学内容中的重要数学思想方法，体现数学内容的现代化。事实上，将高等代数与解析几何整合后的教材并不是将两本书简单地合在一起，而是经过科学化的处理，在遵循教学规律、保证教学质量的前提下，在保留基本知识点的基础上，删去不必要的重复和陈旧内容，再现其中的重要数学思想方法产生的丰富过程和背景，不仅使学生掌握比较经典的“高等数”与“解析几何”的基本理论、内容和方法，而且使学生形成比较开阔的视野，学习了解本学科的最新知识，对高等代数和解析几何在数学发展中的作用有一个整体的认识，逐步提高学生的数学修养和数学审美能力，有利于学生形成合理的知识结构。(四)?高等代数与解析几何课程改革是适应基础教育课程改革与发展的需要作为基础教育师资的主要来源之一，高等师范教育的改革发展必须紧扣基础教育课程改革发展的需求。近年来，处在深刻变革时代的我国基础教育给中小学教师提出了前所未有的挑战。基础教育课程结构的变革已经成为我国近年来基础教育改革的核心内容之一。活动课程、综合课程和选修课程以及研究型课程的出现已成为中小学课程的主流，对传统的教师教育提出了严峻挑战。新的课程结构要求教师具有全新的教育观念、课程观念、教学观念和全新的素质结构，以及更为宽广的专业知识背景和更强的专业适应能力。课程内容现代化要求教师贴近本学科的学术前沿，对计算机等新的工具性学科有足够的理解。为此，教师必须保持一种持续的探索意识和学术敏感力，并在研究方法和研究能力上有所积累，而所有这一切，都需要进一步提升教师的学术视野和学术能力。仅仅呈现数学思维结果的传统课程设置方式和内容选取标准，已经严重滞后于中小学课程教学的实际。今天的中小学数学课程更加强调对数学知识发生发展过程的了解，强调对数学思想、方法的理解性掌握，关注数学公式、定理、概念的来龙去脉，关注学生学习方式的变革。这些新变化，对中小学教师的数学知识的要求和能力要求都发生了深刻变化。高等代数与解析几何的课程整合无论从内容上还是从方法上都顺应了这种新情况、新问题，亦即，解析几何为高等代数提供“来龙”，高等代数为解析几何提供“去脉”，两者的有机结合充分体现了数学思想和数学方法发生发展的鲜活历程。二、高等代数与解析几何课程整合的主要措施(一)?整合教材的编写1、?将高等代数与解析几何的相关内容进行实质性整合。将高等代数与空间解析几何的相关内容进行整合，并不是将二者简单地拼凑，而是将其糅合在一起，形成统一的整体，使得彼此双方的核心内容都得到加强。基于这种考虑，我们的做法是：适当增加与中学数学有联系的数论等内容；适当增加抽象代数的相关内容，将抽象代数与高等代数的内容整合在一起，并用统一的思想方法加以处理；把高等几何的主要内容整合到解析几何中；通过对传统的经典内容的精选、贯通、融合和相互渗透，进一步加强高等代数与解析几何在内容和方法上的紧密联系，即不仅体现高等代数作为解析几何的主要工具作用，而且更要具体地给高等代数提供各种几何背景和几何解释。2、?精选和更新课程内容。高等代数与解析几何毕竟属于基础课，许多基本内容在大学数学课程中居于基础地位，仍需要保留，问题的关键在于如何加以精选，赋予新的意义。(1)?精选好高等代数与解析几何相互融合的“结合点”，使学生更直观地接受现代数学中的一些重要数学思想方法和思维方式，学会如何寻找事物的内在联系，掌握课程的精华所在体会数与形的和谐统一。高等代数与解析几何的主要“结合点”包括:空间中的平面，直线与线性方程组;?仿射坐标变换、仿射变换、射影变换与满秩线性变换的对应;?直角坐标变换、等距变换与正交变换的对应;?仿射坐标系或直角坐标系下二次曲面方程化为标准方程(二次曲面的分类?)与用满秩线性变换或正交变换化二次型为标准形?(二次型的分类?)的联系。(2)?精选好具有坚实的几何直观背景的有关代数内容。例如，加强二维、三维的线性方程组、线性空间、线性变换等内容。通过“数形结合”，使学生借助二维、三维的几何直观进一步理解高维的线性方程组、变换、空间等内容，感受立足几何图形把握问题实质的思维方式?进一步认识直觉思维、形象思维在数学演绎中的重要地位，体会数学的抽象美与直观美之间的和谐统一。(3)?精选好适用于中小学数学的“高等数学与初等数学相互结合的内容”。例如，“向量方法”和“坐标方法”中关于n维向量空间的有关理论和方法及其在中学数学中的应用举例;?正交变换、仿射变换、射影变换在初等几何中的应用，欧氏、仿射、射影三种几何学的比较等。通过这些“结合点”，使学生站得更高、看得更远，能恰当地运用高等代数与高等几何学的观点、方法，深化对中学数学教材的理解，拓展中学数学的解题思路，反思中学数学的有关问题，进而指导中学数学的教学实践。3、教材内容的编写注意体现启发式。面向21世纪的大学代数与几何教材，不仅要求内容新、体系新，而且要求方法也要新。所谓方法新，是指采用启发式的教学方法，对既定的教学内容加以组织和表达，使之易教、易学，具有典型的“学材”风格?(而不是专著风格?)。(1)?写明主题。在每一章节的开头都简要地写明本章节的主题，让学生能整体了解本章节的内容特点，包括知识的来龙去脉和基本思路，以便于整体把握本章节内容。(2)?突出“知识点”。突出每一章节的“知识点”，并冠以小标题，让学生一目了然，同时采用既有分解又有综合，既有特殊到一般，又有一般到特殊的表达和叙述方法，使学生在从具体到抽象的认识过程中，了解知识的来龙去脉。(3)?关注知识的前后联系与对比。对主干知识(基本概念、基本理论和基本方法?，力求体现知识发生发展的全过程，体现前后内容的关联，关注数学知识结构体系，以便于学生在体系中掌握数学知识同时，在内容的展开中，适时地通过“分析”、“脚注”等形式，给学生提供思维过程，提出问题，引发学生去思考，给学生留下思考的空间。(4)?精心设计课后习题。除编写一些基本训练题外，还要为不同层次的学生编选一些“复习思考题”，引导学生对所学的知识加以扩展、延伸和综合运用，留给学生足够的思考空间。努力改变学生只会做题，不会研究的学习方式。(5)?编写小结，引发学生及时回顾、反思。为了加强启发性和研讨性，在每一章的最后，可以编写一些有特色的“本章小结”，概述本章知识的整体逻辑结构以及贯穿全章的数学基本思想和方法。既包括正文中没有深入阐述的结论，也包括推理过程中没有详细涉及的问题，也涉及已讲授内容的扩展性、延伸性问题。这样做有利于培养学生的综合概括能力，也为学生的创新思维开辟了较大的空间。(6)?在教材中适当增加课外阅读材料。可以介绍有关代数与几何方面的一些史料以及有突出贡献的一些数学家，介绍他们的简要经历、学术成