第二章 矩阵及其运算.doc

第二章 矩阵及其运算1教学目的和要求：(1) 使学生了解矩阵的概念，掌握矩阵的基本运算.(2) 掌握可逆矩阵的求法(3) 熟练掌握矩阵的初等变换与秩的求法2教学重点：(1) 矩阵的基本运算.(2) 逆矩阵的求法(3) 矩阵的初等变换与初等矩阵3教学难点：分块矩阵的运算，矩阵的初等变换与初等矩阵.4本章结构： 通过实例引出矩阵的概念，并介绍矩阵的基本运算，包括逆矩阵的有关性质及求法，重点介绍矩阵的初等变换，并提出初等矩阵的概念，以及两者之间的联系。最后介绍了矩阵的秩的定义及其求法。5教学内容：2.1 矩阵 一、线性变换与矩阵在许多问题中，我们会遇到一些变量用另外一些变量来线性表示。设变量能用变量线性表示，即 （1）其中为常数（；）。这种从变量到变量的变换称为线性变换。线性变换（1）中的系数可以排成行列的数表：而线性方程组的系数也可以排成这样的数表，这种数表就叫做矩阵。定义1 由个数（；）排成行列的数表 （2）称为行列矩阵，简称矩阵。这个数称为矩阵的元素，表示矩阵的第行第列元素。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵除特别说明外，都是指实矩阵。（2）式也可简记为 或 或 二、几种特殊的矩阵（1）当时，称为阶方阵。（2）只有一行的矩阵称为行矩阵；只有一列的矩阵称为列矩阵。（3）当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。（4）若与是同型矩阵，且它们的对应元素都相等，即 （；）则称矩阵与相等，记作. （5）元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作. 注意不同型的零矩阵是不同的。（6）上三角矩阵：当时，.（7）对角矩阵：主对角线以外的元素都是零。（8）数量矩阵：主对角线上的元素都相等的对角矩阵。 （9）单位矩阵：主对角线上的元素都是1的数量矩阵。给定了线性变换（1），它的系数所构成的矩阵（叫做系数矩阵）也就确定了。反之，如果给出一个矩阵作为某个线性变换的系数矩阵，则该线性变换也就确定了。在这个意义上，线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换。例1 线性变换叫做恒等变换。它所对应的矩阵是阶单位矩阵即例2 线性变换所对应的阶方阵是阶对角阵。2.2 矩阵的基本运算 同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵 矩阵相等：设, 若 , 称. 1. 线性运算：, 加法： 数乘： 负矩阵： 减法： 算律：设为同阶矩阵, 为常数, 则有 (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4) (8) 例1 设, 满足, 求 解 2.矩阵乘法： 特殊情形, 一般情形 , 注 的列数 = 的行数 的行数 = 的行数；的列数 = 的列数 与的先后次序不能改变 例2 , , 注 无意义 例3 , , 注 ；, , 但是 算律：(1) (2) (3) (4) , 验证(1) 设, 则 应用：, , , 线性方程组的矩阵形式 线性变换的矩阵形式 3. 方阵的幂： , 为正整数 , 算律：(1) (2) 例4 , 求 解法1 可以验证： 解法2 例5 求证证 （采用数学归纳法）（1）当时，等式显然成立。（2）假设当时等式成立，即则当时，即当时等式也成立。综合（1）、（2）可知，等式对都成立。 4. 矩阵的转置： , 算律：(1) (2) (3) (4) 验证(4) , , 故 ，即 对称矩阵：指满足，即 反对称矩阵：指满足，即例5 已知是对称矩阵，是反对称矩阵，即，求证：（1）是对称矩阵；（2）是反对称矩阵。证 （1）因为，所以是对称矩阵。（2）因为 所以是反对称矩阵。例6 设列矩阵满足，且（为阶单位矩阵），证明是对称矩阵，且.证 ，故是对称矩阵。又 5. 方阵的行列式：指的元素按照原来的相对位置构成的 行列式, 记作, 或者 算律：(1) (2) (3) (4) 注 方阵是数表, 而行列式是数值 , 而. 6. 伴随矩阵：, 中元素的代数余子式为 ， 重要性质： 7. 共轭矩阵：复矩阵的共轭矩阵记作 算律：(1) (2) (3) (4) 作业册：第二章 第8至10页2.3 可逆矩阵 定义：对于, 若有满足, 则称为可逆矩阵, 且为的逆矩阵, 记作 定理1 若为可逆矩阵, 则的逆矩阵唯一 证 设与都是的逆矩阵, 则有 , 定理2 为可逆矩阵； 为可逆矩阵 证 必要性已知存在，则有充分性已知，则有由定义知为可逆矩阵，且注时, 亦称为非奇异矩阵； 时, 亦称为奇异矩阵 推论1 对于, 若有满足, 则可逆, 且 证 可逆 推论2 对于, 若有满足, 则可逆, 且 算律： (1) 可逆可逆, 且 对于, 取, 有 (2) 可逆, 可逆, 且 对于, 取, 有 (3) 与都可逆可逆, 且 对于, 取, 有 (4) 可逆可逆, 且 对于, 取, 有 (5) 可逆 (6) 与都可逆 证 负幂：可逆, 定义, , 则有 , (,为整数) 例1 求方阵的逆矩阵。解 因为所以存在。下面依次计算 于是得到所以例2 已知矩阵， 且满足，求矩阵. 解 由已知可得，于是例3 已知， ， 求矩阵，使得.解 若、都存在，则用左乘上式、右乘上式，得到，即.经计算知，所以、都可逆。且 ， 故 例4 设、均为阶方阵，已知，可逆，且求证可逆。 证 由于可逆，于是有 即上式两边取行列式可得又由于可逆，于是，且已知，从而可得，故可逆。 例5 设方阵满足，证明和都可逆，并求和. 解 由已知可得，从而有，于是可知可逆，且.又由已知推得，从而，于是可逆，且 例6 设为阶方阵，且，为正整数，求证可逆，并求. 解 由于 移项得即故可逆，且 例7 设为3阶方阵，则_. 解 由于，于是 例8 设、均为阶方阵，且满足，证明为奇异矩阵。 证 要证为奇异矩阵，即证，而于是得到而由可得，再由可得，于是上式变为解得，故为奇异矩阵。 例9 设阶方阵的伴随矩阵为，证明： （1）若，则； （2） 证 由公式两边取行列式得， （1）若，分两种情况讨论： 若，则，从而有.若，则同样有. 否则，若，则可逆，于是有这与矛盾，故. （2）也分两种情况讨论：若，由 即得若，由（1）可知同样有 . 例10 设，为行列式中元素的代数余子式，且，又，求. 解 由于，于是可知从而有再由例9可知，故，即，解得 或 . 而由行列式展开定理可得故 .作业册：第二章 第11至14页2.4 分块矩阵 用若干条横线与纵线将矩阵划分为若干个小矩阵, 称这些小矩阵为的子矩阵, 以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵 特点：同行上的子矩阵有相同的“行数”；同列上的子矩阵有相同的“列数” 1. 加法：, 要求：与同阶, 且分块方式相同 2. 数乘： 3. 乘法：, 要求：的列划分方式与的行划分方式相同 例1 4. 转置：, 特点：“大转”+“小转” 5. 准对角矩阵：设,都是方阵, 记 性质：(1) (2) 可逆可逆 (3) 可逆 例2 例3 设与都可逆, , , 求解可逆 , 2.5 矩阵的初等变换 1. 初等变换 行变换 列变换 对调 数乘 倍加 经过初等变换得到, 记作 2. 等价矩阵：若, 称与等价, 记作 (1) 自反性： (2) 对称性： (3) 传递性：, 定理1 证 只需证明 设, 仅证行变换之(3)的情形： (1) 若, 则有 不含： 含, 不含： 含, 且含： 故中所有的阶子式 , 于是可得 (2) 若或者, 构造矩阵 , 由(1)可得 其余情形类似 例2 , 求 解 , 故 行最简形： 标准形： 定理2 若, 则 ：行阶梯形 ：行最简形 定理3 若, 则, 称为的等价标准形 推论1 若满秩, 则 推论2 2.6 矩阵的秩 1. 子式：在中, 选取行与列, 位于交叉处的个数按照原来的 相对位置构成阶行列式, 称为的一个阶子式, 记作 对于给定的, 不同的阶子式总共有个 2. 矩阵的秩：在中，若 (1) 有某个阶子式； (2) 所有的阶子式（如果有阶子式的话） 称的秩为, 记作, 或者 规定