圆的有关概念和性质.doc

专题九 圆第一节 圆的有关概念和性质一【知识梳理】 1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径 （2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径三角形的内心和外心 ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆 ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 2.与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数 （2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 （3）圆心角与圆周角的关系： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形OrRAPB 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 3.正多边形和圆 （1）通过等分圆画正多边形。（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法） （2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距； （3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个RtOPB，B等于正n边形内角的一半，BOP=，BP等于正多边形的边长的一半。一般地，关于正多边形计算的问题都转化为直角三角形的问题。（“转化”是解决问题的一种重要的思想方法，化繁为简、化难为易、化抽象为形象、化未知为已知如：用“换元法”解方程、解方程中的 消元降次思想、把多边性的内角和转化为三角形来研究、借助图表分析应用题中的数量关系等）方法技巧： 1.分类讨论解决圆的问题，防止漏解。如一条弦所对的圆周角有两种，所以同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补。圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种。 2.圆中常作的辅助线：作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆心作切线的垂线、两圆相交时的公共弦、连心线等。二【课前练习】 1.如图，A、B、C是O上的三点，BAC=30则BOC的大小是（ ） A60 B45 C30 D152.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工具最少使用_次，就可找到圆形工件的圆心3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则A+B+C+D+E的度数是（ ） A180 B15 0 C135 D1204.如图，PA、PB是O的切线，切点分别为A 、B，点C在O上如果P50 ，那么ACB等于（ ） A40 B50 C65 D1305.“圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”用数学语言可表述为如图，CD为O的直径，弦ABCD于点E，CE1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ） A125寸 B13寸 C25寸 D26寸6.如图，四边形 ABCD内接于O，若BOD=100，则DAB的度数为（ ） A50 B80 C100 D130第4题 第5题 第6题 第7题7.如图，在O中，已知ACBCDB60 ，AC3，则ABC的周长是_. 8O的半径是5，AB、CD为O的两条弦，且ABCD，AB=6，CD=8，求 AB与CD之间的距离9（2007山东临沂）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上， ADBC，AC平分BCD，ADC120，四边形ABCD的周长为10。 (1)求此圆的半径； (2)求图中阴影部分的面积。10（2006年长春市）如图，AB为O直径，BC切O于B，CO交O交于D，AD的延长线交BC于E，若C = 25，求A的度数。11.如图，在O中，弦AC与BD交于E， ，求CD的长。12.（06连云港）如图，O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC至点D，使CDAC，连接AD交O与点E，连接BE、CE与AC交于点F。（1）求证：ABECDE； （2）若AE=6，DE=9，求EF的长。第10题 第11题 第12题ABCOEFD13.填写下表：边数内角中心角半径边长边心距周长面积naanRnanrnPnSn341662图2O三：【课后训练】1.（2007福建福州）如图2，中，弦的长为cm，圆心到 的距离为4cm，则的半径长为（ ）A3cm B4cmC5cmD6cmDOAFCBE2（2007四川成都）如图，内切于，切点分别为已知，连结，那么等于（）3（07淄博）如图1，已知：ABC是O的内接三角形，ADBC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则O的直径等于 。4（2007重庆市）已知，如图2：AB为O的直径，ABAC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC450。给出以下五个结论：EBC22.50，；BDDC；AE2EC；劣弧是劣弧的2倍；AEBC。其中正确结论的序号是 。5（2007山东枣庄）如图3，ABC内接于O，BAC=120，AB=AC，BD为 O的直径，AD=6，则BC 。图2 图3 图4 ACBDOBACDO图16（2007四川成都）如图4，已知是的直径，弦，那么的值是 7.如图，在O中，弦AB=18。m，圆周角ACB=30 ，则 O的直径等于_cm8.如图，O内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和1相等的角有_ _C_B_A第9题9（2006年贵阳市）如她4，B是线段AC上的一点，且，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为 ；第7题第8题 10.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（ ）图A11. (2006年苏州市) 如图，ABC内接于0，且ABCC，点D在弧BC上运动过点D作DEBCDE交直线AB于点E，连结BD (1)求证：ADB=E； (2)求证：AD2=ACAE； (3)当点D运动到什么位置时，DBEADE请你利用图进行探索和证明 第二节 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系一【知识梳理】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d点在圆外dr点在圆上d=r点在圆内dr1.点与圆的位置关系: 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d直线与圆相切d=r直线与圆相离dr直线与圆相交dr2.直线和圆的位置关系： 切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系： 相离:没有公共点； 相切:只有一个公共点；相交:有两个公共点；同心圆。 (2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r两圆外离dR+r两圆外切d=Rr两圆相交RrdR+r（Rr）两圆内切d=Rr（Rr）两圆内含dRr（Rr）(3) （注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆） 4.切线的性质和判定 (1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线 (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径(3)切线的判定：d=r直线与圆相切（r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；当不知道直线与圆的公共点时用此判定方法）经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（当知道直线经过半径的外端点时，只需证明垂直）二【课前练习】 1.ABC中，C=90，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么： 当直线AB与C相离时，r的取值范围是_； 当直线AB与C相切时，r的取值范围是_； 当直线AB与C相交时，r的取值范围是_.2. 已知O1和O2相外切，且圆心距为10cm，若O1的半径为3cm，则O2的半径为 cm3.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（ ） A B2 C3 D44.（2007山东临沂）如图，在ABC中，AB2，AC1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（ ）。AA、 B、 C、 D、5.（2007重庆市）已知O1的半径为3cm，O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（ ）C （A）相交 （B）内含 （C）内切 （D）外切6.O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与O的位置关系为（ ）CA相离 B相切 C相交 D内含7. 两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（ ） Ad8 B0d2 C2d8 D0d2或d88. RtABC中，C=90，AC=3cm，BC4cm，给出下列三个结论： 以点C为圆心13 cm长为半径的圆与AB相离；以点C为圆心，24cm长为半径的圆与AB相切；以点C为圆心，25cm长为半径的圆与AB相交上述结论中正确的个数是（ ）A0个 Bl个 C2个 D3个9.如图，PA为O的切线，A为切点，PO交 O于点B，PA=4，OA=3，则cosAPO的值为（ ） 10.如图，已知PA，PB是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，P=40，则BAC度数是（ ） A70 B40 C50 D2011.如图，PA切O于A，PB切O于B，APB=90，OP=4，求O的半径12.如图,O的半径为1,过点A(2,0)的直线切O于点B,交y轴于点C (1)求线段AB的长 (2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式13（2007浙江温州）如图，点P在的直径BA的延长线上，AB2PA，PC切于点C，连结BC。（1）求的正弦值；（2）若的半径r2cm，求BC的长度。三【课后训练】 1.在ABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_，在圆上的有_，在圆内的有_.2.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_个3(2006年浙江省绍兴市) 已知00的直径AB与弦AC的夹角为35。，过C点的切线 PC与AB的延长线交于点P，则么P等于（ ） A150 B200 C250 D3004.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x23x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（ ） A外离 B外切 C相交 D内切5.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9，求AB的长 6.如图，ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F （1）求证：AB是O切线； （2）若ABO腰上的高等于底边的一半，且AB=4，求的长7.如图，CB、CD是O的切线，切点分别为B、D，CD的延长线与O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED（1）探索OC与ED的位置关系，并加以证明；（2）若OD4，CD=6，求tanADE的值8(2006年泰州市)已知：MAN=30，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作O，交AN于D、E两点，设AD=，如图当取何值时，O与AM相切；如图当为何值时，O与AM相交于B、C两点，且BOC=90MANEDO图（1）MANEDBCO图（2）O9（2007浙江金华）如图，是的切线，为切点，是的弦，过作于点若，求：（1）的半径；（2）的值；（3）弦的长（结果保留两个有效数字）10（2007福建福州）如图，已知：内接于，点在的延长线上，（1）求证：是的切线；（2）若，求的长11.已知三角形三边长分别是 4cm、5cm、6cm，以各顶点为圆心的三个圆的两两外切，求这三个圆的半径。第三节 弧长、扇形的面积和圆锥侧面积一【知识梳理】 1.弧长公式：(n为圆心角的度数上为圆半径) 2.扇形的面积公式S=(n为圆心角的度数,R为圆的半径）注：后一个公式可类比三角形公式，扇形的弧相当于三角形的底，扇形的半径相当于三角形的高。 3.圆锥的侧面积S=RL ,(L为母线长，R为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积2Rp注意圆锥的高、底面半径和母线构成RtAOC圆锥及其侧面展开图-扇形的关系圆锥展开后的扇形母线半径 底面周长弧长在弧长和扇形公式中，知道某些量就可以求出相关的未知量，所以要灵活运用公式。在求阴影部分的面积时，要善于把不规则图形转化为规则图形（或其和差关系）。二【课前练习】1.如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为_cm2 (不考虑接缝等因素，计算结果用表示）2. 设圆的周长为C，因为1的 圆心角占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的；圆心角所对的弧长是圆周长的3. 在中，如果的圆心角所对应的弧长为，则的半径为24. 圆心角为，半径为的弧长为5.半径是6，圆心角为120的扇形是某圆锥的侧面展开图，这个圆锥的底面半径为。ACB6.在RtABC中，C90，CACB2，分别以A、B、C为圆心，以 AC 为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是。7. 已知一圆的周长为，其圆周上一段弧长为，则该弧所对的圆周角为8. 在半径为1cm的圆中，弧长为的弧所对应的圆周角为9. 如果的半径3cm，其中一弧长cm，则这弧所对的弦长为A10.如图，半径为30cm的转轮转120角时，传送带上的物体A平移的距离为cm。（保留）11.如图1329，粮仓顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为36m，母线长为8m为防雨需在粮食顶部铺上油毡，至少需要铺油毡的面积是_12.如图，O的半径为1，圆周角ABC=30，则图中阴影部分的面积是_.13.制作一个底面直径为30cm，高40cm的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（ ）， A1425cm2 B1650cm2 C2100cm2 D2625cm214. 如图中的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫以相同速度，同时从点到点，甲虫沿路线爬行；乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（ ）甲先到达点乙先到达点甲、乙同时到达点 无法确定16. 如图，正方形的边长为2，以为直径在正方形内画半圆，再以为圆心，2为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（）17.如图，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm，10cm，AOB120，求这个广告标志面的周长（145.6）18.一个三角尺的两直角边分别为15cm和20cm，以它的斜边为旋转轴旋转这个三角尺便形成如图所示的旋转体，求这个旋转体的全面积（取3.14） 17题 18题 19题19.如图，A，B，C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和是多少？三：【课后训练】 1.已知RtABC的斜边AB=5，一条直角边AC=3，以直线BC为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（ ）A8 B12 C15 D202.如图，圆锥的母线长为5c