2012数学中考压轴题训练.doc

新生初中九年级数学组几何与函数问题【知识纵横】 客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。【典型例题】【例1】（重庆）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧设运动的时间为t秒（t0）（1）当等边EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】（2）按照等边EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0t1，1t3，3t4，4t6四种情况讨论。（3）当AOH是等腰三角形时，分为三种情况，列方程求t的值。【例2】（广西梧州）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD6cm，AB8cm，BC14cm.动点P、Q都从点C出发，点P沿CB方向做匀速运动，点Q沿CDA方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动（1）求CD的长；（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设BQP面积为S（cm2），点P、Q运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为cm/s，要使在运动过程中出现PQDC，请你直接写出的取值范围【思路点拨】（1）作辅助线：过D点作DHBC。（2）分Q在CD和Q在DA上两种情况讨论。（3）要使运动过程中出现PQDC，根据平行四边形判定，只要考虑QDPC即可。【例3】（山东青岛）如图，在ABC中，ABAC10cm，BDAC于点D，且BD8cm点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F连接PM，设运动时间为ts(05)(1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？(2)设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使S四边形PQCMSABC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(4)连接PC，是否存在某一时刻，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由【思路点拨】(1) 假设四边形PQCM是平行四边形，从而推出结论。（2）把梯形的上下底和高用来表示。（3）在假设S四边形PQCMSABC的条件下，求出，讨论。（4）在假设点M在线段PC的垂直平分线上，求出此时的值。【例4】（湖南湘潭）已知，AB是O的直径，AB=8，点C在O的半径OA上运动，PCAB，垂足为C，PC=5，PT为O的切线，切点为T（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：POBT；（3）如图（3），设PT2=，AC=，求与的函数关系式及的最小值【思路点拨】（1）连接OT。（2）连接AT。（3）连接OP、OT，应用勾股定理，可得出与之间的关系式。几何问题【知识纵横】 应用几何的判定与性质，解直角三角形的应用和方程思想解决几何问题。【典型例题】【例1】（重庆綦江）如图，等边ABC中，AO是BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边CDE，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长【思路点拨】（1）证ACDBCE。（2）过点C作CHBQ于H，求得DAC=30，再求PQ的长。【例2】（山东济南）如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰ACD和BCE，CACD，CBCE，ACD与BCE都是锐角，且ACDBCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP(1)求证：ACEDCB；(2)请你判断ACM与DPM的形状有何关系并说明理由；(3)求证：APCBPC【思路点拨】（3）由(1)可得CAECDB，从而点A、C、P、D四点共圆，可得APCADC，再证明BPCBEC，即可。【例3】（广东广州）如图1，O中AB是直径，C是O上一点，ABC45，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MNOM；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（090）后，记为D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由【思路点拨】（1）证明BCADCE9090180；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明RtBCDRtACE，再证ONM为等腰直角三角形，即可得到结论。（3）证明的方法和（2）相同。【例4】（上海）在RtABC中，ACB90，BC30，AB50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EMEN，（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP，BN，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长 【思路点拨】（2）根据EMEN，得出AEPABC，再求出 。（3）分点E在AC上和点E在BC上两种情况讨论。函数及图像与几何问题【知识纵横】 函数（本节主要指一次函数、反比例函数）及图像与几何问题，是以函数为背景探求几何性质，这类题很重要点是利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和函数知识有机而自然结合起来，这样，才能突破难点。但在解这类题目时，要注意方程的解与坐标关系，及坐标值与线段长度关系。【典型例题】【例1】（山东济宁）如图，第一象限内半径为2的C与轴相切于点A，作直径AD，过点D作C的切线l交轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：=k+3。(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。(2)设C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有AMNABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；(3)是否存在使AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。【思路点拨】（1）将P的坐标代入=k+3即可。（2）要证AMNABP，只要证ABDAMN即可。（3）根据（2）的结论，由相似三角形AMN和ABP的面积比，分点P在B点上下方两种情况求解。【例2】（湖南怀化）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E（1）求证：AEAO=BFBO；（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；（3）是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）根据反比例函数的性质得出，即可得出AEAO=BFBO。（2）利用E点坐标首先求出BF= ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。【例3】（湖南娄底）在等腰梯形ABCD中，ADBC，且AD=2，以CD为直径作O1，交BC于点E，过点E作EFAB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2），B（2，0）（1）求C，D两点的坐标（2）求证：EF为O1的切线（3）探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由【思路点拨】（1）连接DE。（2）连接O1E，可证O1EAB，再由EFAB，证明O1EEF即可。（3）过P作PM轴于M，作PN轴于N，再利用锐角三角函数定义求解。【例4】（浙江金华、丽水）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作轴垂线，分别交轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF（1）当AOB=30时，求弧AB的长度；（2）当DE=8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）连接BC。（2）连接OD，证明OEFDEA，再利用相似比求EF。（3）当以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似时，分为当交点E在O，C之间时，当交点E在点C的右侧时，当交点E在点O的左侧时三种情况，分别求出E点坐标。直角坐标下通过几何图形列函数式问题【知识纵横】以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。但在坐标系中，每一个坐标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，注意这一点，就可类似于讲座一的方法解决。所列函数式有：反比例函数、一次函数、二次函数。【典型例题】【例1】（浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，）（0）P是直线AB上的一个动点，作PC轴，垂足为C记点P关于y轴的对称点为P（点P不在y轴上），连接PP，PA，PC设点P的横坐标为（1）当=3时，求直线AB的解析式；若点P的坐标是（1，），求的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与PC的交点为D当PD：DC=1：3时，求的值；（3）是否同时存在，使PCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的，的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）利用待定系数法考虑。把（1，）代入函数解析式即可。（2）证明PPDACD，根据相似三角形的对应边的比成比例求解。（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论。【例2】（浙江舟山、嘉兴）已知直线（0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1） 直接写出1秒时C、Q两点的坐标； 若以Q、C、A为顶点的三角形与AOB相似，求的值（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D（如图2）， 求CD的长； 设COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？ 【思路点拨】（1）分两种情形讨论。（2）过点D作DECP于点E，证明DECAOB。 先求得三角形COD的面积为定值，又由RtPCORtOAB，在比例线段中求出t值为多少时，h最大。【例3】（江苏常州、镇江）在平面直角坐标系XOY中，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与直线相交于点P。点E为直线上一点，反比例函数（0）的图像过点E与直线相交于点F。若点E与点P重合，求的值；连接OE、OF、EF。若2，且OEF的面积为PEF的面积的2倍，求E点的坐标；是否存在点E及轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由。 【思路点拨】（2）先利用相似三角形对应边的比，用K表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF 面积是PEF面积2倍的关系求出K。（3）先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用K表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出K。点P、E、F三点位置分K2和K2两种情况讨论。【例4】（浙江义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为点P，与轴的另一交点为点B.（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 =2上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN轴，交PB于点N. 将PMN沿直线MN对折，得到P1MN. 在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式. 【思路点拨】（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求、的值即可。（2）由（1）可求直线PB解析式为，可知PBOD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形。（3）分0t2，2t4两种情形讨论。抛物线与几何问题【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：(a0)；2、顶点式：y =a(xh) 2k；3、交点式：y=a(xx 1)(xx 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。【典型例题】【例1】（浙江宁波）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2）,点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交轴于点E（1） 求点E的坐标；（2） 求抛物线的函数解析式；（3） 点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4） 连结AN，当BON面积最大时，在坐标平面内求使得BOP与OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标【思路点拨】（1）根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，令=0，即可求E点坐标。（2）列方程组求、的值。（3）依题意，设N，求出BON面积关于的函数表达式，用二次函数的最值原理，可求N点的坐标。（4）根据三角形相似的性质得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理即可求出点P的坐标。【例2】（天津）已知抛物线：点F(1，1)() 求抛物线的顶点坐标；() 若抛物线与轴的交点为A连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：抛物线上任意一点P（）)（）连接PF并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；() 将抛物线作适当的平移得抛物线：，若时恒成立，求m的最大值【思路点拨】(I) 只要把二次函数变形为的形式即可。 (II) 求出AF和BF即可证明。应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。() 应用图象平移和抛物线的性质来证明。【例3】（浙江省）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交与点A（1,0）、B（3,0）两点，抛物线交轴于点C（0,3），点D为抛物线的顶点直线交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作轴的平行线交抛物线于点Q(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？(3)设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标【思路点拨】（1）由待定系数法可求抛物线的解析式，化为顶点式可求顶点坐标。（2）把线段PQ用含P(, 1) ，Q (, )来表示，用二次函数的最值原理可求。【例4】（四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的A、B两个顶点在轴上，顶点C在轴的负半轴上已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，ABC的面积SABC=15，抛物线）经过A、B、C三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于轴于点G，再过点E作EH垂直于轴于点H，得到矩形EFGH则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1） 由已知设，根据题意求的值。（2）设E点坐标为，抛物线对称轴为=2，根据，列方程求解。（3）利用直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标。函数、方程、不等式问题【知识纵横】 函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，例求两个函数的交点坐标，一般通过函数解析式组成的方程组来解决。又如例4复合了一次函数、二次函数，并对所得的函数要结合自变量的取值范围来考虑最值，这就需要结合图像来解决。【典型例题】【例1】（四川雅安）如图，已知二次函数图像的顶点M在反比例函数上，且与轴交于A，B两点。（1）若二次函数的对称轴为，试求的值；（2）在（1）的条件下求AB的长；（3）若二次函数的对称轴与轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式。【思路点拨】（1）先求得二次函数中的，再根据顶点在反比例函数上，求出。（3）可用含有的式子表示点M、N的坐标，即求出的值，再求得解析式。【例2】（江苏南通）如图，已知直线经过点A(1，0)，与双曲线交于点B(2，1)过点P(，1)( 1)作轴的平行线分别交双曲线和于点M、N(1)求的值和直线的解析式；(2)若点P在直线2上，求证：PMBPNA；(3)是否存在实数，使得SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】 (2)先求的值，再利用对应线段成比例证PMBPNA。 (3)考虑点P的位置，得13时的情况。作延长MP交轴于Q，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用表示），然后求出面积表达式，代入SAMN4SAMP后求出值。【例3】（湖北宜昌）已知抛物线与直线=m+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，）和（m，m2m+n），其中 ，m，n为实数，且，m不为 0（1）求的值；（2）设抛物线与轴的两个交点是（1，0）和（2，0），求12的值；（3）当11时，设抛物线上与轴距离最大的点为P（0，0），求这时|0丨的最小值【思路点拨】（2）把点（0，）代入直线得n=，然后把点（m，m2m+n）代入抛物线，整理后可确定的值，把，的值代入抛物线，当=0时由一元二次方程根与系数的关系可以求出12的值。（3）求出抛物线的顶点（，），分1，10，01和1四种情况讨论，确定|0|的最小值。阅读理解问题【知识纵横】 阅读理解的整体模式是：阅读理解应用。重点是阅读，难点是理解，关键是应用，通过阅读，对所提供的文字、符号、图形等进行分析和综合，在理解的基础上制定解题策略。【典型例题】 【例1】小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？（浙江宁波）阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形来源:Zxxk.Com小华：等边三角形一定是奇异三角形！（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在RtABC中，ACB90，AB=，AC=，BC=，且，若RtABC是奇异三角形，求； ABCDEO（3）如图，AB是O的直径，C是O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆ADB的中点， C、D在直径AB两侧，若在O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE 求证：ACE是奇异三角形； 当ACE是直角三角形时，求AOC的度数【思路点拨】（2）正确理解新概念的含义后，然后，根据题目中的条件加以分析，画出直角三角形ABC的图形，观察图形的特征，通过方程思想、方法等加以解决。（3）中第小题，只需利用直径的性质、弧的中点性质勾股定理即可解决。对于第小题，利用第（2）的结果并结合条件，通过联想、类比、猜想、分类、推理等加以解决。【例2】（浙江台州）已知抛物线(m)2n与轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线(1)如图1，求抛物线(2)21的伴随直线的解析式(2)如图2，若抛物线(m)2n(m0)的伴随直线是3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式(3)如图3，若抛物线 (m)2n的伴随直线是2b(b0)，且伴随四边形ABCD是矩形用含b的代数式表示m、n的值；在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标(用含b的代数式表示)，若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）利用抛物线求它与轴交于点A和顶点为点B。（2）求出BE的长，得出顶点B的坐标。（3）试用m 、b表示B点坐标，利用勾股定理求出。利用中B点坐标，以及BD的长度即可得出P点的坐标。分BD=BP，BD=DP，BP=DP三种情况讨论。探究、操作性问题【知识纵横】 探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。【典型例题】【例1】（江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为（为常数，0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型:设该矩形的长为，周长为，则与的函数关系式为探索研究:我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质1xy填写下表，画出函数的图象：x1234y观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；在求二次函数的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数(x0)的最小值解决问题:用上述方法