不等式与不等式组中考题复习导航.doc

不等式与不等式组复习导航一、要点回顾：（一）不等式的概念与性质1、不等式： 。2、不等式的性质：（1） ；（2） ；（3） 。 注意在不等式的两边都乘以（或除以）同一个实数时，一定要养成良好的习惯，就是先确定该数的属性（正数、零，负数），再判断不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。（二）不等式（组）的解、解集，解不等式（组）的概念1、不等式（组）的解、解集：能使不等式（组）成立的 叫做这个不等式（组）的一个解；一个不等式的 ，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集； 几个不等式的解集的 ，叫做由它们所组成的不等式组的解集。2、解不等式（组）： 叫做解不等式（组）（三）不等式（组）及解法1、一元一次不等式：（1）概念： ； ； 。像这样的不等式叫做一元一次不等式。类型（设ab）口决不等式组的解集数轴表示大大取大xa小小取小xb不大不小取中间bxa大大小小没有了无解（2） 解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向一定要 。2、一元一次不等式组：（1） 概念： 。（2）解法：先 ；再 。 注意求不等式组的解集一般借助数轴较方便。由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集一般有四种类型：注意：即这四个类型的解集口诀为：大大取大（同大取大），小小取小（同小取小），不大不小取中间（小大大小中间找），大大小小没有了（大大小小解不了）二、蕴含的数学思想（一）类比的数学思想：类比是本章用得最多的数学思想方法，例如，学习一元一次不等式概念，就与一元一次方程的概念进行类比，解不等式与解方程进行类比，用一元一次不等式（组）解决实际问题与用方程（组）解决实际问题相类比。（二）化归的数学思想：解方程与解不等式都是通过适当的式子变形，使未知数转化为已知，但两者的目标有所不同，前者要转化为的形式，后者则要转化为的形式都运用了化归思想，根据等式或不等式的性质，对方程或不等式进行由繁至简的变形注意解不等式中要将未知数的系数化为1时，应根据原来系数的正负确定不等号的选择（三）数形结合的数学思想：本章最典型的数形结合体现在用数轴表示不等式（组）的解集上，这种方法形象直观，在求不等式组的解集时显得尤为突出。用数轴表示解集，还沟通了数与形之间的联系，把数转化为形，使将“数与代数”的知识转化为“空间与图形”的知识成为可能，沟通了数学的两个知识领域，具有非常重要的意义。（四）数学建模的思想方法：设未知数、列不等式（组）是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的不等关系是设未知数、列不等式（组）的基础。我们要学会多种角度思考数量之间的大小关系，借助数轴等直观图形以及表格、式子等进行分析，寻找不等关系的数学化表达方式，检验不等式本身以及它的解的合理性。三、考点例析：考点1、不等式的基本性质例1、（2007山东临沂课改）若，则下列式子：； ；中，正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个析解：根据不等式的基本性质，同乘同除一个负数时，不等号的方向要改变，其它情况不变号，是在不等式的两边同乘以，可得不正确，故选C.温馨提示：不等式的基本性质是不等式的核心，特别要注意不等式的性质3的利用，不等号的方向要改变.考点2、不等式解的表示方法例2、(2007年福州）解集在数轴上表示为如图1所示的不等式组是（ ）图1ABCD 析解：不等式（组）的解集在数轴上表示的形状是一条射线，小于向左画，大于向右画，无等号的画空心圆圈，有等号的画实心圆点，因此判断不等式的解集为.，故选D.温馨提示：利用数轴表示不等式（组）的解，关键要熟知不等号的表示方法.尤其是空心和实心的区别.考点3、不等式（组）解法步骤例3、(2007山东威海课改)解不等式组，并把它的解集表示在数轴上： 析解：解不等式，得；解不等式，得在同一条数轴上表示不等式的解集，如图：或者根据“同大取大；同小取小；一大一小取公共部分，无公共部分解不了”的原则，可以得到：原不等式组的解集是温馨提示：会解不等式（组）是一个基本要求，关键是利用好不等式的基本性质，同时要注意解的范围的确定方法.考点4、不等式组的整数解问题 例4、（2007年成都改编）解不等式组 并求其整数解的和.分析：欲求整数解的和，就要求出它的整数解，而要求出整数解，就要先求出不等式组的解集.解：解，得；解，得4，故不等式组的解是故它的整数解是1，0，1，2，3，4，从而整数解的和是101234=9.温馨提示：解这类问题的一般步骤为：求出一元一次不等式（组）的解集；找出适合解集范围内的特殊解，如整数解、自然数解等.就本题而言，求出整数解后不要忘了求整数解的和.考点5、不等式组中待定字母范围的确定 确定不等式组中的字母的取值范围，主要有三种方法：（1）运用不等式的解集确定 ；（2）从反面求解确定；（3）借助数轴来确定。但要注意题中的隐含条件，善于逆向思维，并注意数形结合思想的应用 。例5、（ 2007湖北天门）已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是 。解：不等组解为：ax，不等式x的6个整数解为：1，0，1，2，3，4，可以借助数轴分析可得：5a4 例6、已知不等式组的解为，求a的值解：解不等式组 得，由题意得知：，解得a=1 ，答a的值为1。 温馨提示：上述问题属于根据不等式组解的情况，确定不等式中的某个参数的范围这一类问题，这类问题如果没有数轴的引入，确定参数的范围是比较困难的。因此，借助于数轴，使数与形有机的结合起来，是解决此类问题的关键。 考点6、理解所给的信息，列不等式解题例7、（2007浙江义乌课改）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有 （）A2个 B3个 C4个 D5个解析：此题借助一元一次方程可以求得所有的可能：5x1656；解得：x=131； 5x1131；解得：x=265x126；解得：x=5；要细心分析所有可能，逐步递推，所以满足条件的x的值有131、26、5三个，故应选B温馨提示：不等关系应根据实际描述确定，注意分析可能出现的各种情况，可以运用分类讨论来分析、判断考点7、根据不等关系，确定范围例8（2007浙江绍兴课改）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）20cm3以上，30cm3以下 30cm3以上，40cm 3以下40cm3以上，50cm3以下 50cm3以上，60cm 3以下解析：根据图示和物理知识可设每颗玻璃球的体积为x，得不等式组 解得：40x50，故应选C温馨提示：利用不等式的解集确定范围，关键是先列出不等式（组），然后根据所给的条件，利用不等式（组）的解的确定原则去推断. 考点8、注重生活实际，应用不等式确定方案。例9、（2007黑龙江哈尔滨课改）青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元（1） 若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价 进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；（3）在“五一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）解析：（1）设该商场能购进甲种商品件，根据题意，得乙种商品：（件）（2）设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件根据题意，得因此，不等式组的解集为；根据题意，的值应是整数，或或该商场共有三种进货方案：方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件，方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件，方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件（3）根据题意，得第一天只购买甲种商品不享受优惠条件 （件）；第二天只购买乙种商品有以下两种情况：情况一：购买乙种商品打九折，（件）情况二：购买乙种商品打八折，（件）一共可购买甲、乙两种商品（件）或（件） 温馨提示：本题从文字和图表信息中获取相关的信息，建立方程和不等式模型，从而解决实际问题.解答此类问题的关键是把实际问题与数学问题相联系，建立相应的数学模型.四、错例剖析：例1、求不等式3(x1)5x9的正整数解错解：去括号，移项，得2x12两边同除以2，得x6所以不等式3(x1)5x9的正整数解为0，1，2，3，4，5诊断：本题解答有两处错误：一是正整数不包括零；二是“”表示“小于或等于”的意思，这里只取小于一种情况正解：答案是：1，2，3，4，5，6例2、解不等式错解：去分母，得34x19x.移项，得4x9x13合并，得13x2系数化为1，得分析：本题忽视了分数线的双重作用,去分母时,若分子为多项式,应对其加上括号.正解： 去分母，得3（4x1）9x去括号，得34x19x.移项，得4x9x13合并，得13x4系数化为1，得例3、解不等式组错解：由不等式2x37可得x2.由不等式5x69可得x3.所以原不等式组的解集为2x3.分析：由不等式性质可得，23，这是不可能的.正解：由不等式2x37可得x2.由不等式5x69可得x3.所以原不等式组无解.例4、若不等式组的解集为x2，则a的取值范围是（ ）.A. a2 B. a2 C. a2 D. a2错解及分析：原不等式组可分为得a2，故选A.当a2时，原不等式组变为解集也为x2.正解：应为a2 ，故选B.例5、解不等式组错解：，得不等式组的解集为x13.分析：错解中把方程组的解法套用到不等式组中.正解：由不等式2x7x得到x7.由不等式3xx6得到x3.所以原不等式组的解集为x3.五、大显身手：1、（2007山东枣庄）不等式2x752x的正整数解有（） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2、（2007山东东营）不等式2x752x的正整数解有（）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 3、（2007湖北天门）关于x的不等式2xa1的解集如图1所示，0112(图1)则a的取值是（ ）。 A、0 B、3 C、2 D、14、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b各是什么数？5、（2007四川乐山）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来6、（2007南充）某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类别电视机洗衣机进价（元/台）18001500售价（元/台）20001600计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润（利润售价进价）参考答案：1、B；2、B； 3、B；点拨：x，又不等式解为：x1，所以1，解得：a3； 4、解：不等式（1）的解是，不等式（2）的解是，由于a、b两数待求，故不能在数轴上表示。但题目条件有不等式组的整数解仅为1，2，3，即本不等式不但有解，而且有三个整数解。根据“公共部分”的原则，在数轴上有如图的表示： 0 1 2 3 4由图易知：，即a取1，2，3，4，