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连续介质力学习题二二变形与运动2-1 如果物体在运动过程中保持任意两点间的距离不变，则称这样的运动为刚体运动，试证：物体的运动若为刚体运动，则参考构形中的物质点变换到当前构形中的空间位置时，必满足：，其中为正常正交仿射量。2-2 现取物质坐标系和空间坐标系为同一个直角坐标系，其单位基向量为，有一物体的变形为：，试写出以下各量：1）变形梯度张量和变形梯度张量之逆；2）右，左Cauchy-Green张量；并计算和的三个主不变量；3）写出和的特征方程，并求出三个特征值和相应的特征方向和。4）试给出极分解中的左伸长张量和正交张量的矩阵表示。X3X2X1x2x1x3题2-2图XYaabb题2-3图2-3 现取物质坐标系为直角坐标系X，Y，Z，空间坐标系为圆柱坐标系，令z轴与Z轴重合，与X轴重合，图示长方体发生纯弯曲，变形满足，且存在逆关系：， ，试写出以下各量：1）变形梯度张量和变形梯度张量之逆；2）右，左Cauchy-Green张量；并计算和的三个主不变量；3）写出和的特征方程，并求出三个特征值和相应的特征方向和。2-4 现取空间坐标系为直角坐标系，其单位基向量为，有一物体的小变形位移场为，试求：（1）P（0，2，-1）点的小应变张量，小转动张量及其反偶矢量； （2）求P点在方向上的线应变； （3）求P点在和二方向上的直角的变化量。2-5 现取物质坐标系和空间坐标系为同一个直角坐标系，其单位基向量为，有一物体的变形为，试证明：当A,B,C很小时，此位移场仅为一刚体转动，并求出转动矢量。2-6 取物质坐标系和空间坐标系为同一个直角坐标系，其单位基向量为，有一物体的运动为：， ， 试求物质和空间速度分量。2-7 对不可压缩材料，试证Green应变的迹满足： ，故当为小量时，为二阶小量。2-8 试证：物体的运动为刚体运动的充要条件是变形率张量（Killing定理）。2-9试证物质旋率的反偶矢量可写为，其中和分别为随体坐标系中的逆变基和协变基。2-10 如果速度场为势的梯度，即存在光滑标量场，使得，试证有：，因此加速度场也是某势函数的梯度。2-11 在Euler描述下，考虑速度满足的定常流动，其中为常仿射量，如果加速度场是势函数的梯度，试证：（1）是对称仿射量；（2）物质旋率的反偶矢量满足，其中为变形率张量。2-12 在习
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