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数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理:如果在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线,则=12、 梅涅劳斯定理的逆定理:如果在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F,且满足=1,则D、E、F三点共线.【例1】已知ABC的重心为G,M是BC边的中点,过G作BC边的平行线AB边于X,交AC边于Y,且XC与GB交于点Q,YB与GC交于点P. 证明:MPQABC【例2】 以ABC的底边BC为直径作半圆,分别与边AB,AC交于点D和E,分别过点D,E作BC的垂线,垂足依次为F,G,线段DG和EF交于点M.求证:AMBC【例3】四边形ABCD内接于圆,其边AB,DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q,过Q作该圆的两条切线,切点分别为E,F.求证:P,E,F三点共线.【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M,过M作AD的平行线分别交AB,CD于点E,F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心,以OM为半径的圆上一点. 求证:OPF=OEP【练习2】 在ABC中,A=900,点D在AC上,点E在BD上,AE的延长线交BC于F.若BE:ED=2AC:DC,则ADB=FDC塞瓦定理:设O是ABC内任意一点,AO、BO、CO分别交对边于N、P、M,则塞瓦定理的逆定理: 设M、N、P分别在ABC的边AB、BC、CA上,且满足,则AN、BP、CM相交于一点. 【例1】BE是ABC的中线,G在BE上,分别延长AG,CG交BC,AB于点D,F,过D作DNCG交BG于N,DGL及FGM是正三角形.求证:LMN为正三角形.【例2】在ABC中,D是BC上的点=,E是AC中点.AD与BE交于O,CO交AB于F求四边形BDOF的面积与ABC的面积的比【练习1】设P为ABC内一点,使BPA=CPA,G是线段AP上的一点,直线BG,CG分别交边AC,AB于E,F.求证:BPF=CPE【练习2】 在ABC中,ABC和ACB均为锐角.D是BC边BC上的内点,且AD平分BAC,过点D作垂线DPAB于P,DQAC于Q,CP于BQ相交于K. 求证:AKBC托勒密定理:四边形ABCD是圆内接四边形,则有ABCD+ADBC=ACBD【例1】 已知在ABC中,ABAC,A的一个外角的平分线交ABC的外接圆于点E,过E作EFAB,垂足为F.求证:2AF=AB-AC【例2】经过XOY的平分线上的一点A,任作一直线与OX及OY分别相交于P,Q. 求证:+为定值【例3】 解方程+=【练习1】 设AF为O1与O2的公共弦,点B,C分别在O1,O2上,且AB=AC,BAF,CAF的平分线交O1,O2于点D,E. 求证:DEAF【练习2】O为正ABC的外接圆,AD是O的直径,在弧BC上任取一点P(与B,C不重合).设E,F分别为PAB,PAC的内心.证明:PD=PE-PF西姆松定理:点P是ABC外接圆周上任意一点,PDBC,PEAC,PFAB,D、E、F为垂足,则D、E、F三点共线,此直线称为西姆松线.【例1】过正ABC外接圆的弧AC上点P作PD直线AB于D,作PEAC于E,作PFBC于F.求证:+=【练习1】设P为ABC外接圆周上任一点,P点关于边BC,AC所在的直线的对称点分别为P1,P2.求证:直线P1P2经过ABC的垂心.三角形的五心内心 【例1】设点M是ABC的BC边的中点,I是其内心,AH是BC边上的高,E为直线IM与AH的交点.求证:AE等于内切圆半径r【例2】在ABC中,AB=4,AC=6,BC=5,A的平分线AD交ABC的外接圆于K.O,I分别为ABC的外心,内心.求证:OIAK【练习】 在ABC中,BAC=300,ABC=700,M为形内一点,MAB=MCA=200求MBA的度数.外心【例1】锐角ABC的外心为O,线段OA,BC的中点为M,N,ABC=4OMN,ACB=6OMN.求OMN【例2】在等腰ABC中,AB=BC,CD是它的角平分线,O是它的外心,过O作CD的垂线交BC于E,再过E作CD的平行线交AB于F,证明:BE=FD.【练习】1、O1与O2相交于P,Q,O1的弦PA与O2相切,O2的弦PB与O1相切.设PAB的外心为O,求证:OQPQ重心【例1】在ABC中,G为重心,P是形内一点,直线PG交直线BC,CA,AB于F,E,D.求证:+=3【例2】已知ABC的重心G和内心I的连线GIBC,求证:AB+AC=2BC【练习】1、设M为ABC的重心,且AM=3,BM=4,CM=5,求ABC的面积.2、设O是ABC的外心,AB=AC,D是AB的中点,G是ACD的重心,求证:OGCD垂心三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.【例1】ABC的外接圆为O,C=600,M是弧AB的中点,H是ABC的垂心.求证:OMOH【例2】已知AD,BE,CF是锐角ABC的三条高,过D作EF的平行线RQ,RQ分别交AB和AC于R,Q,P为EF与CB的延长线的交点.证明:PQR的外接圆通过BC的中点M.旁心【例1】在锐角XAY内部取一点,使得ABC=XBD,ACB=YCD.证明:ABC的外心在线段AD上.【例2】AD是直角ABC斜边BC上的高(ABCD,K,M分别是腰AD,CB上的点,DAM=CBK,求证:DMA=CKB其他的一些数学竞赛定理1、 广勾股定理的两个推论:推论1:平行四边形对角线的平方和等于四边平方和.推论2:设ABC三边长分别为a、b、c,对应边上中线长分别为ma、mb、mc则:ma=;mb=;mc=2、 三角形内、外角平分线定理:内角平分线定理:如图:如果1=2,则有外角平分线定理:如图,AD是ABC中A的外角平分线交BC的延长线与D,则有3、 三角形位似心定理:如图,若ABC与DEF位似,则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P4、 正弦定理、在ABC中有(R为ABC外接圆半径)余弦定理: a、b、c为ABC的边,则有: a2=b2+c2-2bccosA; b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2abc

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