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本科生毕业论文本科生毕业论文基于小波变换的阈值消噪方法The Threshold Denoise Technique Based on Wavelet Transform学生姓名所在专业电子信息工程专业所在班级电子 1044申请学位学士指导教师职称讲师副指导教师职称答辩时间200 年 6 月 14 日目 录目目 录录摘 要 .IABSTRACT .II第 1 章绪论.11.1课题的背景.11.2本课题研究的内容和方法.1第 2 章小波变换基本理论.22.1小波及小波变换.22.1.1傅里叶变换.22.1.2小波及小波变换.32.2离散小波变换和二进制小波变换.42.3多分辨率分析.6第 3 章小波去噪综述.83.1小波去噪优势.83.2小波消噪原理.93.3小波基本函数的选取.9第 4 章一维信号小波变换去噪算法的研究2.114.1小波模极大值去噪.114.1.1噪声在小波变换多尺度上的特性.114.1.2模极大值去噪算法.124.1.3模极大值去噪的相关问题.124.1.4小结.154.2小波相关性去噪.154.3小波阈值法去噪.164.3.1阈值法去噪的原理及步骤.164.3.2阈值法去噪的相关问题.174.3.3小结.204.4平移不变量法小波去噪.204.5四种小波去噪方法的比较.22第 5 章仿真实验.235.1去噪性能参数的定义.235.2小波阈值去噪与模极大值去噪效果图像的比较.245.3小结.28目 录第 6 章工作总结.28鸣 谢.29参考文献.30摘 要I摘 要小波变换是一种能同时在时间（或空间）和频率域内进行局部化信号分析的新方法。其主要优点在于它在时域（空间）和频域都有良好的局部化性质，而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域（空域）取样步长，从而可以聚焦到信号的任意细节。原则上讲，凡是适用傅里叶变换的运算均可用小波变换代替，而且不受短时窗的局限，因而在信号处理领域中得到广泛的应用，而利用小波变换的方法去除噪声是小波分析应用于工程实际的一个重要方面。本文针对小波变换的特点，结合信号去噪方面的要求，在利用小波变换对一维信号去噪方法上作了较深入的研究。利用小波变换对一维信号进行去噪的方法有很多种，到目前为止，出现了许多种去噪算法，从最初的基于多分辨分析概念产生的小波分解与重构的滤波去噪的方法，到后来从小波奇异性检测理论而产生的小波变换模极大值去噪的算法；此后又提出了非线性小波变换阈值法去噪，并且该方法在信号去噪中得到了广泛应用，并发展出一些改进的算法，平移不变量小波去噪就是其中的一种；此外还有利用含噪信号小波变换系数尺度间小波系数的相关性产生的小波相关系数去噪法等等。本文从理论上对这些经典的去噪处理方法在一维信号去噪过程中进行了综合的分析、比较以及讨论。针对论题，对小波变换阈值法去噪进行了深入的研究，同时为了与之形成对比，对小波变换模极大值法也进行了较为深入的研究。通过仿真实验讨论其各自的应用范围、参数的选择、去噪性能、影响因素等各方面的问题，最后突出小波阈值法去噪的优缺点。关键词：小波变换；去噪；阈值；模极大值；一维信号ABSTRACTIIABSTRACTWavelet transform, which developed in late 1980s, is a new method that can be used to achieve part signal analysis simultaneously in time (or spatial) domain and frequency domain. Its major superiority lie in good part characteristics in both time (or spatial) domain and frequency domain ,as well as focusing attention to any signal details due to increasingly shorter time (or spatial) domain sampling step size for high frequency contents. In principle, any operation in which Fourier transform is performed can be replaced by the wavelet transform, without the limitation of short time window. Nowadays, it is widely used practical applications in signal processing. Using wavelet transform in de-noising is an important application for wavelet analysis in engineering. This paper researches in the one dimension signal noise de-noise.There are lots of kinds of methods about one dimension signal noise de-noise. Many kinds of methods have appeared in present, from the wavelet decomposition and reconstruction method base on the concept of multi-resolution analysis; to the wavelet transform modulus maxima method base on signal singularity detection theory; hereafter put forward again the nonlinear wavelet threshold de-noising method, which got the extensive application in signal de-noise and put on some follow-on algorithms such as the translation invariant de-nosing methods. In addition, utilization the mutually related of wavelet coefficient between the scale of the signal containing noise was given rise to wavelet correlation coefficient method etc. This thesis will analyze, compare and discuss the separate applications in generally on these different kinds of typical de-noising processing methods in one dimension signal in theory.To the question, this thesis will give deeply research in the wavelet threshold de-noising method, as well as the wavelet transform modulus maxima method for drawing comparisons. Summarize the merit and defect of them. The simulation shows that the wavelet threshold de-noising method is very effective.KEYWORDS: wavelet transform; de-noising; threshold; modulus maxima; one dimension signal广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 1 基于小波变换的阈值消噪方法电子信息工程，200410811401，指导教师：第 1 章 绪论1.1课题的背景 信号与信息处理是信息科学中近些年发展最为迅速的学科之一，经典的信号处理方法如纯时域、纯频域、窗口傅里叶变换等都具有各自的局限性。小波分析是 20 世纪 80 年代后期形成的一个新兴的数学分支。它是 Fourier 分析的基础上发展起来的，但小波分析与 Fourier 分析存在极大的不同。从微观上看，小波变换与 Fourier 变换的根本区别是由小波和正弦波的不同局部化性质产生的。从宏观上看，Fourier 分析是整体域分析，用单独的时域或频域表示信号特征；而小波分析是局部化时频分析，它用时域和频域的联合表示信号的特征。作为时-频分析方法，小波分析比 Fourier 分析有着许多本质性的进步。它能够从信号中提取许多有用信息，是各种信号处理方法（如时频分析、多尺度分析和带子编码）的统一处理框架，它的快速算法为分析和解决实际问题带来极大的方便，目前在语音、图像、图形、通信、地震、生物医学、机械震动、计算机视觉等领域都有很好的应用。小波分析是目前国际上公认的信号信息获取与处理领域的高新技术，是多学科关注的热点，是信号处理的前沿课题。人们已根据噪声的统计特征很频谱分布的规律，开发了多种多样的信号去噪方法。其中最为直观的一种方法是，根据噪声能量一般集中于高频，而信号频谱分布于一个有限区间的特点，用傅立叶变换将含噪声信号变换到频域，然后用低通滤波器进行滤波。当信号和噪声的频带相互分离时这种方法比较有效，但是当信号和噪声的频带相互重叠时（比如当信号中混有白噪声时） ，则效果较差，因为低通滤波器在抑制噪声的同时，也将信号的边缘部分变得模糊；而高通滤波器可以使边缘更加突出，但背景噪声也同时被加强。因此，基于傅立叶变换的去噪方法存在着保护信号局部性和抑制噪声之间的矛盾。小波变换具有良好的时频局部化性质，为解决这一问题提供了有力的工具。当前，小波技术在信号去噪中得到了广泛研究并获得了非常好的应用效果，已成为信号去噪的主要方法之一。1.2本课题研究的内容和方法目前，小波去噪的基本方法有：1）利用小波变换模极大去噪；2）基于各尺度下小波系数相关性进行去噪；3）采用非线性小波变换阈值法去噪、平移不变量小波去噪。此外，还有基于投影原理的匹配追踪（matching persuit）去噪法以及多小波（multiwavelet）去噪法等。阈值法由于具广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 2 有能得到原始信号的近似最优估计、计算速度快以及具有广泛适应性等优点，是小波去噪方法中应用最广泛的一种，因此是本论文中主要研究的去噪方法。本文内容安排以下：首先，介绍小波变换基本理论。对傅里叶变换和小波变换进行了分析，分析了它们各自之间的区别和联系，指出小波变换适合信号处理的原因，同时介绍了小波变换的数学背景，这是后面讨论的理论基础。其次，是小波消噪综述。介绍小波变换消噪的优势、原理以及基函数的选取问题。再次，为一维信号小波变换去噪算法的研究。从理论上综合比较了四种经典的小波变换去噪方法，从而突出小波阈值去噪方法的优越性。第四步是 Matlab 仿真实验。分别编程实现模极大去噪和小波阈值去噪（包括软硬阈值去噪） ，得到去噪后信号的直观图形，以及去噪的信噪比和最小平方误差进行对从而证明基于小波阈值消噪方法的优越性。最后为全文的工作总结。第 2 章 小波变换基本理论 小波分析属于时频分析的一种，是从傅里叶变换分析中发展而来的，但是又优于傅里叶分析。傅里叶分析作为一种经典的方法曾经被广泛的应用，但是由于其自身的缺陷，是一种全局的变换，反映的是信号整个时域对频率的贡献，也就是说傅里叶变换的积分核平滑了信号的突变成分，无法确定信号发生变换的时间位置和变化的剧烈程度，即无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是实际应用过程中的非平稳信号最根本和最关键的性质。后人对傅里叶分析进行了改革，提出了一系列分析和处理非平稳信号的新的信号分析理论，其中包括短时傅里叶变换和小波变换。短时傅里叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当短时窗函数确定后，窗口的形状就确定了，故它是一种单一分辨率的信号分析方法。若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数。而作为傅里叶分析思想发展的小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定、但窗口的形状可变、时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法:即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，在时频域都有表征信号局部特征的能力，具有多分辨分析的特点，所以被誉为分析信号的显微镜，本章主要介绍小波分析的基础知识。2.1小波及小波变换 2.1.1 傅里叶变换Fourier 变换是利用积分将一个函数变为另一个函数。( )()f tt ( )f广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 3 设满足，我们定义其 F T 如下：( )f t( )f t dt （2.1）( )( )j tfef t dt当满足适当条件时，它具有逆变换：( )f t1FT （2.2）1( )( )( )2j tff tfed于是我们可以得到信号的总能量 E 与其各频谱分量之间的关系：2201( )21( )4( )( )Ef t dtf tdfdEd 这里规定： 称为能谱密度，简称能谱，它是单位频带内的信号分量，表示21( )( )2Ef信号的各个分量能量在频域上的分布，上式说明了信号的总能量等于各频谱分量的能量总和。 从傅里叶变换的定义来看，它的实质是将一个任意时域的函数表示成一组标准正交函数( )f t的加权和。它是将时域信号变换到频域，在频域内再对信号进行分析和处理，是一种|j teR全局变换，不能反映信号的局部特征。而在实际问题中，我们所关心的恰是信号在局部时间范围中的特征，这正是傅里叶变换难以奏效的弱点，为了克服 Fourier 变换这方面的局限性，在 40 年代提出了“窗口”Fourier 变换的概念。它虽然在一定程度上解决了 Fourier 变换缺乏局部性的特点，通过窗函数在时域上的滑动来得到对信号的时频局部化分析，但同时也存在一些较严重的缺点，对不同频率成分，在时域上取样步长为一固定常数，而且窗函数也固定不变。而实际中我们需要的是对于高频信息，时间间隔要相对小以得到较好的精度，对于低频部分，时间间隔要相对宽以给出完全的信息，所以在 80 年代开始发展起来的小波变换，一方面继承了 Fourier 变换的许多长处，同时又在一定程度上克服了 Fourier 变换缺乏局部性的弱点。 2.1.2 小波及小波变换小波、小波分析，是小波应用的基础，我们给出定义如下：38定义 2.1 设是一个可测的，平方可积的一维函数空间，R 为实数集，小波是由满足2( )L R的函数通过平移、伸缩而产生的函数族( )0Rx dx( )x,( )a bx广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 4 （2.3）12,( )(), ,0a bxbxaa bR aa我们称为分析小波（Analyzing Wavelet）或连续小波（Continuous Wavelet） ，称为,( )a bx为小波母函数，当且仅当小波母函数的 Fourier 变换满足以下可容许（admissibility）条件：( )x （2.4）2( )VNCd 其中，a 称为放缩因子，b 称为平移因子。定义 2.2 在定义 2.1 的基础之上，函数在上的连续小波变换定义如下：( )f x2( )L R （2.5）1*2,( )( ),( )( )()a ba bxbWfxf xxaf xdxa 小波变换对函数在小波基上的展开具有多分辨率的特性，这种特性是通过放缩因子 a 和( )f x平移因子 b 来得到的。根据 a 、b 的不同，可以得到小波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信号的局部化分析。( )f x2.2离散小波变换和二进制小波变换在实际应用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化，也就是将函数的( )f x积分形式展开为级数和的形式，取连续小波变换的尺度因子 a 和平移因子 b 分别为，这里，扩展步长是固定值，为了方便起见，总是假定（由于000,jjaa bka bjZ01a 01a j 可取正也可以取负，所以这个假定无关紧要） ，对应的离散小波变换即可写成：,( )j kt （2.6）0022,00000( )()jjjjj kjtka btaaa tkba而离散小波变换系数则可以表示为： （2.7）,( )( ),j kj kj kCf xx dxf其重构公式为： （2.8）,( )( )j kj kf xCCxC 是一个与信号无关的常数。 二进小波变换（Dyadic Wavelet Transform）是连续小波变换和离散小波变换的折中，只把正广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 5 频率轴划分为邻接的频带（即取为离散值，b 仍取为连续值） ，二进小波的定义如下：2jja定 义 2.3 设函数，若存在两个常数使得：2,( )( )j ktL R0AB （2.9）2(2)kK ZAB则为一个二进小波，上式被称为稳定性条件（Stability Condition） ，若 A =B 则称为,( )j kt最稳定条件，而函数序列叫做 f 的二进小波变换，其中：2( )kk zW f k （2.10）222( )( )*( )2( ) (2 ()jjjjRW f kf xkf xxk dx上式相应的逆变换为： （2.11）2222( )( )*( )( )(2 ()jjjjjj Zj zf xW f kkW f kxk dk （2.12）2(2 , )( )2(2 ()jjjbxxb 二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平滑参量保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也是它同正交小波基相比具有的独特优点。二进小波是满足可容性条件的小波，它具有很多优良的特性，是离散小波中最常用的一种形式。 对众多的小波我们可以根据不同的分类标准对其进行分类，根据小波函数本身可以把它( )x分为单小波和多重小波；根据框架理论可以把分为正交小波，半正交小波和非正交小波。,( )m nx框架是对规范正交基的推广，下面给出小波框架的定义。定义 2.4 满足下述条件的离散小波称为框架3 （2.13）222,( )|( ),( )|( )m nm nA f xf xxB f x 其中20,( )( )ABf xL R 把 A , B 称为框架边界（Frame Bounds） ，在上式中，当 A = B 时称为为紧框架，特,( )m nx别是当 A = B= 1 时构成一组正交基。 正交小波和正交小波基在小波、小波分析中占有非常重要的地位，下面给出正交小波和正交小波基的概念。定义 2.5 设小波母函数，若函数族满足下面的条件：2( )( )xL R2,( )|,( )m nxm nZL R （2.14）,( ,) ( , ), , ,j km nj mk nj k m nZ广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 6 则称构成的正交小波。( )x2( )L R定义 2.6 设小波母函数满足上式，若函数族构成 的一2( )( )xL R,( )|,m nxm nZ2( )L R组正交基，则称该函数族为的正交小波基。2( )L R2.3多分辨率分析 S.Mallat 在 1986 年将计算机视觉领域内的多分辨率分析的思想巧妙的引入到小波变换分析中，并且给出了一种自带滤波器结构的离散小波变换与重构算法。这一算法奠定了离散小波变换信号处理、图像处理等领域中的应用基础。 若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机镜头由远及近地接近目标。在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概貌。在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，可观测到目标的细微部分。因此，随看尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精地观察目标。这就是多尺度(多分辨率)的思想。 不论是连续小波变换还是离散小波变换，能够得到空间的一组正交基是非常重要的，这2( )L R样我们就可以把空间中的函数和中的数列对应起来，把空间上的算子和2( )L R2( )lR2( )L R上的矩阵等同起来，从而将分析问题转化为代数问题来解决。和小波分析能够为提供2( )lR2( )L R一个结构简单并且具有良好局部性质的正交基。我们从多分辨分析来入手，多分辨分析为小波及小波变换、尺度函数和小波函数的构造及小波分析的应用提供了统一的框架，是小波分析的核心内容，小波多分辨分析将以下各部分以其特有的方式联系在一起：小波函数和尺度函数、两个特定的空间序列、双尺度方程和相应的滤波器组。 为了有效地寻找空间的基底，我们先从的某个子空间出发，在这个子空间中先建立起基2L2L底，然后利用极其简单的变换，再把基底扩充到中去，这就是多分辨分析的思想方法。2L定义 2.7 空间中的多尺度分析（Multiresolution Analysis）是指中的满足如下条件的2( )L R2L一个空间序列jj ZV（1）一致单调性 （2.15）101.VVV（2）渐进完全性 （2.16）20;( )jjj zj zVVL R（3）伸缩规则性 （2.17）( )(2 )jj kj zf xVfxV广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 7 伸缩性体现了尺度的变化、逼近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。（4）平移不变性对任意，有kZ （2.18）22(2)(2)jjjjjjtVtkV（5）Riesz 基存在性存在，使得是的 Riesz 基0V ()n zxn0V满足上面条件的函数称为尺度函数，由经伸缩、平移得到的子空间族称为由( )x( )xjj zV生成的的一个多分辨分析（MRA） 。( )x2( )L R 条件（5）非常重要，它说明如果伸是子空间的 Riesz 基，但不一定就是子空 ()n zxn0V间的正交基。但是我们可以用以下定理保证规范正交基的存在性。0V定理 2.1 如果是的一个多分辨分析，则存在唯一的一个尺度函数并且有|mVmZ2( )L R( )x29( )( )xL R定理 2.2 如果是由 MRA 产生的一个尺度函数，记是脉冲响应( )x( )H 的离散 Fourier 变换1( )( ), ()22xh nxn10 （2.19）2()( )2mHh n e则，满足下列两个性质：( )H性质 1 ： （2.20）21(0)1, ( )()Hh nOn性质 2 ： （2.2122( )()1HH）反之，如果满足上述两个性质，且对都有，则可以通过下( )H0,2( )0H( )x式求得： （2.22）( )()2jj lH 其中，是的 Fourier 变换。( ) ( )x广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 8 （2.22）式又被称为精确重构条件，把满足（2.22）式的称为共轭滤波器。( )H定理 2.3 是的一个多分辨分析，是由 M R A 产生的一个尺度函数，|mVmZ2( )L R( )x使相应的共扼滤波器，令函数的 Fourier 变换为( )H( )x11 （2.23）( )() ()22G 其中： （2.24）2()()22jGeH令，则是的规范正交基 ，2,( )2(2()jjj nxxn,( )|j nxnZjW构成的规范正交基， 其中。,( )| ,j nxj nZ2( )L R1jjjVVW 由于有上面的三个定理作为保证，子空间的正交基一定存在，规范正交基也必定存在，并jV且可以通过尺度函数获得，由此我们可以看出尺度函数的重要性，在实际应用中尺度函( )x( )x数不容易被直接求得到，一般可以通过（2.23）式先求出尺度函数的 Fourier 变换形式( )x( )x，再通过反变换求得。下面给出子空间的规范正交基的概念。( ) 12kV定义 2.8 设如果是正交的，即满足：222,( ); ()( );( )2(2)kkkk nVL RnL Rxxn()n （2.25）(), ()( , )nln l则称构成的一组规范正交基。 ()|nnZkV上面介绍的是一维情况下的多分辨分析，在数字图像处理中要用到二维多分辨分析，我们可以把它推广到二维或者更高维空间中去，推广到二维空间中常用的方法是张量积的形式。第 3 章 小波去噪综述3.1小波去噪优势运用小波分析进行信号去噪处理是小波分析的重要应用之一，在实际的工程应用中，所分析的信号可能是包含许多尖峰或突变部分，并且噪声也不都是平稳的白噪声，对这种信号进行分析，首先要对信号作预处理，将信号的噪声部分去除，再提取有用的信号。而这种信号的去噪用传统的傅里叶分析方法无能为力，傅里叶变换是一种全局性的变换，无法表述信号的时频双域局部特性，只广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 9 能反映信号的整体特性，不能给出信号在某个时间点上的变化情况。由于大部分情况下，信号集中在低频部分，噪声分布在高频部分，所以用傅里叶分析进行滤波时，可用低通滤波器进行滤波，但是不能将混在高频部分的信号和干扰加以有效区分， 若低通滤波器太宽，则将一部分有用信号当作噪声滤掉了，若低通滤波器太窄，则滤波之后信号中仍然存在大量的噪声。而小波变换能同13时在时频域对信号进行分析，具有自动变焦的功能，即在低频是小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频是小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。所以能够有效的区分信号中的突变部分和噪声，从而实现信号的去噪，它的基本思路图如下所示:3.2小波消噪原理一般地，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号。所以消噪过程主要进行以下处理：首先对原始信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在高频系数中；然后对小波分解的高频系数以门限阈值等形式进行量化处理；最后再对信号重构即可达到消噪的目的。对信号消噪实质上是抑制信号中的无用部分，恢复信号中有用部分的过程。设一个含噪声的一维信号的模型可以表示成如下形式：， ( )( ). ( )s if ie i0,1,.,1in其中：为真实信号，为噪声，为含噪声的信号。一般来说，一维信号的降噪过( )f i( )e i( )s i程可分为一维信号的小波分解，小波分解高频系数的阈值量化处理和一维小波的重构三个步骤。小波能够消噪主要由于小波变换具有如下特点：（1）低熵性：小波系数的稀疏分布，使图像处理后的熵降低。（2）多分辨特性：由于采用了多分辨的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳性，如突变和断点等，可以在不同分辨率下根据信号和噪声的分布来去除噪声。（3）去相关性：小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪。（4）基函数选择更灵活：小波变换可以灵活选择基函数也可以根据信号特点和降噪要求选择多带小波、小波包等，对不同的场合，可以选择不同的小波基函数。3.3小波基本函数的选取信号降噪过程就是对信号的分解与组合重构的运算，其实质就是：通过小波变换对信号进行分解后，如果利用门限、阈值等形式对所分解的小波系数进行处理后再对信号进行重构，应该寻找一组最能代表信号特征的函数形式，将信号用这些量来逼近，或者写成这些量的线性组合形式。小波函数有无穷多个，故小波基也有无穷多组，因为不同的小波基具有不同的时频特征，用不同的小波广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 10 基分析同一个问题会产生不同的结果。在应用中，要把握小波函数的特征，根据应用需要，选择合适的小波基。文献3对几种常用小波基函数的性质进行了比较。在本文的应用中采用 Daubechies( dbN)小波。Daubechies 小波有非常重要的性质，它不仅3是连续的和正交的，而且是支集最小的。因此这种小波的滤波器系数个数少，在分解与重构算法中所需的计算量少，这在信号的实时处理中非常重要。Daubechies 小波是由世界著名的小波分析学者 Inrid Daubechies 构造的小波函数，一般简写为 dbN，N 是小波的阶数。小波和尺度函数中的支撑区 2N1，的消失矩为 N。 ( ) t( ) t( ) t除 N = 1 外，dbN 不具有对称性(即非线性相位) 。dbN 没有明确的表达式(除了 N = 1 外)，但转换函数 h 的平方模是很明确的。令，其中为二项式的系数，则有：110( )NNkkkkP yCy 1NkkC 2220( )cossin22NmP式中，。21001( )2Njkkkmh eDaubechies 小波具有以下特点:（1）在时域上是有限支撑的，即长度有限。而且其高阶原点矩，( ) t( )0ptt dt；N 值越大，的长度越长。0 pN( ) t（2）在频域上在处有 N 阶零点。( ) 0（3）和它的整数位移正交归一，即。( ) t( ) ()kttk dt（4）小波函数可以由所谓“尺度函数”求出来。尺度函数为低通函数，长度有( ) t( ) t( ) t限，支撑域在 t=0(2N-1)范围内。图 3-2 显示了 N=8 时，Daubechies 小波的小波函数及尺度函数的波形及其四个滤波器：( ) t( ) t广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 11 05101500.51低 低 低 低051015-1-0.500.5低 低 低 低05101520-101低 低 低 低 低 低 低05101520-101低 低 低 低 低 低 低05101520-101低 低 低 低 低 低 低05101520-101低 低 低 低 低 低 低图 3-2 db8 小波第 4 章 一维信号小波变换去噪算法的研究2近些年，随着小波分析理论的研究不断深入，它的应用也越来越广泛。其中，利用小波变换进行信号去噪及重构始终是一个热门的话题，到目前为止，出现了许多种去噪的算法，其中主要应用的有三大类：第一类方法是基于小波变换模极大值原理的小波极大值去噪，这种算法最初是1415由 Mallat 提出来的，根据信号和噪声在小波变换各尺度上的不同传播特性，剔除由噪声产生的模极大值点，保留信号对应的模极大值，之后用所剩余的模极大值点重构小波系数，进而恢复信号；第二类方法是利用含噪信号小波变换系数尺度间小波系数的相关性，根据相关性的大小来区别小波系数的类型去除噪声恢复信号；第三类方法是由 Donoho 提出的阈值去噪方法，该方法认为信号16对应的小波系数包含信号的重要信息，其幅值较大，但是数目较小，而噪声对应的小波系数是一致分布的，个数较多，幅值较小，基于这种算法，Donoho 等人提出了软阈值和硬阈值去噪方法，根据阈值来决定众多小波系数的置零，让绝对值较大的系数保留或收缩，得到估计小波系数进行信号重构，来达到去噪的目的。其他去噪的方法还有或许多种，例如：平移不变量小波去噪法、原子分解的基追踪去噪法、还有近些年来应用逐渐增多的多小波去噪的方法。在本章中我们将对模极大值去噪、相关性去噪、小波收缩阈值法去噪以及平移不变量小波去噪法这四种小波去噪算法进行详尽的探讨。4.1小波模极大值去噪这种方法是基于模极大值原理，信号和噪声在小波变换下呈现出不同的变化趋势，对于一般信号，由于 Lipschitz 指数，小波变换的模极大值将随着尺度 j 的增大而增大。而对于白噪声，0由于，其模极大值随 j 的增大而减小。因此，观察不同尺度间小波变换模极大值变化的规律0去除幅度随尺度的增加而减小的点（对应噪声的极值点）保留幅度随尺度增加而增大的点（对应于有用信号的极值点） ，然后再由保留的模极大值点用交替投影法进行重建，即可以达到去噪的目的。广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 12 但是利用该方法去噪后，小波变换系数只剩下模极大值点处的值，而其余部分被置为零。仅通过这些有限的极大值点来重构信号，通常利用复杂的交替投影法进行重构会造成重构信号的偏差，并且算法复杂，难于在实际应用中对信号进行实时处理。 4.1.1 噪声在小波变换多尺度上的特性脉冲信号的小波变换特性：对于脉冲信号，其小波变换为:( )( )f xx （4.1）1( , )( )*( )( )xW s xf xxss从而221|( , )|( )|xW s xss由此可以得出：随尺度 s 的增大， 逐渐减小。2|( , )|W s x白噪声的小波变换特性：设是个实的，均方值为 0，方差为 的宽平稳白噪声，它的自相关函数为( )n t2 (4.2)2( , ) ( ) ( )Rn u vE n u n v由于，故2|( , )|( ) ( )()()sxxzW s xn u n vxuxv dudv (4.3)22222(|( , )| )()()()zE W s xuvxuxv dudvs 由此可见，随着尺度的增大，的均值与方差都逐渐减小。这些特征将作为小波变换2|( , )|W s x去除随机噪声的重要依据。 4.1.2 模极大值去噪算法设为原始信号 f 的 N 点离散采样序列，为 D 在每一尺度2 ()dDSf n nZ2 ()jdW f n nZ上的小波变换值，我们称其为小波系数。它指的是信号经过小波分解之后，在不同尺度上具有2j的高通分量。 信号在不同尺度上小波变换的模极大值包含了信号中最重要的信息，使模极大值进行信号突变检测的基本依据。模极大值的集合是小波系数集的一个子集，它可以看作是小波系数在特定意义下的离散采样。 由于小波变换在信号和噪声中有不同的传播特性，即随之尺度的增大，信号和噪声所对应的模极大值分别是增大和减小，因此，连续作若干次小波变换之后，噪声的模极大值已经基本上去除或者是很小，而剩下的极值点主要是由信号控制，基于这一原理，模极大值的去噪算法如下：（1）对加噪信号进行小波变换，一般为 45 个尺度，得出每一尺度上小波变换系数的模极大广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 13 值；（2）从最大尺度开始，选取阈值，若极大值点对应的幅值的绝对值小于阈值，则去掉该极值点，反之则保留，从而得到最大尺度上新的模极大值点；（3）在尺度为 j - 1 上寻求尺度为 j 上小波变换模极大值点的传播点。根据匹配算法得到 j -1 尺度上新的极值点。然后令 j=j- 1，重复步骤，直至 j = 2 为止。（4）在 j = 2 存在极值点的位置上，保留 j = 1 的相应的极值点，在其余位置将极值点置为 0 。（5）用每一尺度上保留下来的极值点重构小波系数，然后用重构得到的小波系数对信号进行恢复。 4.1.3 模极大值去噪的相关问题 尺度间小波变换模极大值的匹配算法 传统的做法是：在尺度为 j 的极大值点位置，构造一个邻域,为尺度了上的第 i ( ,)ijO nin个极值点，为仅与尺度 j 有关的常数。在尺度为 j - 1 上的极大值点中保留落在每一j( ,)ijO n邻域上的极大值点，而去除落在邻域外面的极值点，从而得到 j-1 尺度上新的极值点。通常采用的传播点邻域为锥形邻域, ( 其中 C 为 1 正的常数，j 为分解尺度) ，这种作法的缺02jxxC点是当尺度较大时，邻域较大，该范围的候选传播点过多，难以确定真正的信号所确定的模极大值点。 所以本文参照文献2中提出的小波变换相邻尺度间模极大值点相似系数的定义，根据信号和噪声相邻尺度间小波变换极大值点相似系数的差别，得到了一种匹配算法。定义 4.1 设为在尺度 j 上的二进小波变换，则尺度 j 极大值点与尺度 j + 2( )jj ZW f n( )f xknl 极大值点 , 之间的相似系数如下：fn2() )22,222( )()max( ) ,()j lfjklj llnnlkjk llkWf nWf nCeWf nW f n=1 , 2 , . . . , L ; k =1 , 2 , . . . , K；l 在式中，分别为尺应 j 和 j + l 的极大值点坐标， K 和 L 分别为尺度 s 和尺度 s+ 1knln下总的极大值点数。为相邻因子， 用于衡量相邻二尺度间对应极大值点相对位移对相似系数的影响。这是因为，既不是一一对应的，也不是均匀分割的，在计算， 间的相似性时，knlnknln不仅考虑它们的幅度大小，还要考虑它们之间的相对位移的大小。的具体计算在参考文献2中有介绍。 对于一般噪声，几乎处处奇异，随着尺度的增加，噪声小波变换模极大值点的平均幅度以二进广东海洋大学 2008 届本科生毕业论文 14 制速率衰减，但对于一般的信号，随尺度的增加，信号子波变换模极大值点的幅度会平稳地增大，或基本不变，表征信号重要特性的极大值点从小尺度传播到大尺度，并且尺度向模极大值点的相对位移在一个锥形范围内。按照相似系数的定义及信号和噪声的上述特征，可知在尺度空间中信号极大值点的相似系数一般会大于噪声模极大值点的相似系数。对于有噪信号而言，由于噪声的影响，随着尺度的增加，相应于信号的模极大值点的幅度可能会有所减小，但减小速度比纯噪声小得多，且尺度间模极大值点的相对位移与纯信号基本相同。实验表明有噪信号在各尺度下相应于信号重要特征的各极大值点的相似系数小于相同尺度下纯信号同一极大值点相似系数而一般大于相同尺度下噪声极大值点的相似系数。 根据小波变换域信号与噪声极大值点在各相邻尺度下的相似系数的差别，我们提出一种尺度间极大值点跟踪的匹配算法。方法如下：在尺度 j 下，分别对每一极大值点求它与尺度 j-l 中一kn个固定锥形范围内的各极大值点的相似系数，取其中相似系数最大的一个极大值点作为在尺度knj-l 可能的匹配点，然后用相同的方法找出在尺度，下可能的匹配点，若，则确定bnbnanabnn在尺度 j-l 下有匹配点，保留该点。若则说明在尺度 j-l 上没有匹配点，删除此knbnabnnkn点。对所有尺度上的极大值作上述处理，保留下来的极值点用于重构小波系数。 这种匹配算法克服了传统匹配算法的缺点，具有更好的准确性和精度。 尺度的选取根据噪声在小波变换多尺度下的特性可知，在去噪过程中，尺度选取的越大，噪声的特性表现的越小，噪声和信号表现的不同特征越明显，越有利于信噪的分离，但是从另一方面来考虑，分解的次数越多，则失真的越大，重构的误差越大，这是一对矛盾，不可兼得，所以尺度的选取也是在模极大值去噪中需要考虑的一个问题。理论上来说，可选取的尺度最大值为， （上述符号表示向下取整数运算） ，但2logJN 是具体的尺度的选取应该根据具体的情况来定，比如在基因周期检测中，取，其122logfJf中为原始信号的采样频率，为说话人的估计基频。实际中没要取得过大，一般取 35 即可。1f2f 另外一个决定尺度选取的因素是信噪比（SNR） ，这个很容易理解，如果信噪比高则说明主要以信号为主，可以选取较小的尺度即可把噪声分离出去，如果信噪比较小，则是以噪声为主，所以尺度要选得大一点。根据实际表明，对一般的信号而言，如果信噪比 SNR20,则取尺度 J = 3 ，如果SNR0);pdw=(posw(:,1:points-1)-posw(:,2:points)0);negw=swd.*(swd0);nddw(:,2:points-1)=(ndw(:,1:points-2)-ndw(:,2:points-1)0);ddw=pddw|nddw;ddw(:,1)=1;ddw(:,points)=1;wpeak=ddw.*swd;wpeak(:,1)=wpeak(:,1)+1e-10;wpeak(:,points)=wpeak(:,points)+1e-10;figure;subplot(level+1,1,1); plot(real(signal); grid on;axis tight;for i=1:level subplot(level+1,1,i+1); plot(wpeak(i,:); axis tight;grid on;ylabel(strcat(j= ,num2str(i);end%_%_进行模极大值的处理：进行模极大值的处理：C=0.8; %此参数需要调节，为了在最大尺度上设定合适阈值，以确定最大尺度上该保留的模极大值点。D4_wpeak=wpeak(level,:);M=max(D4_wpeak);Thr=C*M/level; %阈值计算D4_wpeak=D4_wpeak.*(abs(D4_wpeak)Thr);%模极大值的处理方式：在尺度 j 上极大值点位置，构造一个搜索区域，在尺度 j-1 中，极大值点落%在该区域的点保留，其他的置 0；D3_wpeak=wpeak(level-1,:);附 录 34 D4_p=(D4_wpeak=0);O_d4=50; %该参数确定在上一级搜索极大值的范围，可以调整。for P_d4=O_d4:(length(D4_wpeak)-O_d4); if D4_p(P_d4)=1; for i=1:O_d4-1; D4_p(P_d4-i)=1; end ; end; end; D3_wpeak=D3_wpeak.*D4_p;D2_wpeak=wpeak(level-2,:);D3_p=(D3_wpeak=0);O_d3=45; %该参数确定在上一级搜索极大值的范围，可以调整。for P_d3=O_d3:(length(D3_wpeak)-O_d3); if D3_p(P_d3)=1; for i=1:O_d3-1; D3_p(P_d3-i)=1; end ; end; end;D2_wpeak=D2_wpeak.*D3_p;% 第一层单独处理，在第二层极大值点位置上，保留第一层相应极大值点：D1_wpeak=wpeak(1,:);D2_p=(D2_wpeak=0);D1_wpeak=D1_wpeak.*D2_p;wpeak=D1_wpeak D2_wpeak D3_wpeak D4_wpeak;wpeak=wpeak;%_%_模极大值法重构信号：模极大值法重构信号：pswa=swa(level,:); % pswa: 为待重建的信号wframe=(wpeak=0); %迭代初始化w0=zeros(1,points);a,d=swt(w0,level,Lo_D,Hi_D);附 录 35 w2=d; % w2 为待重建小波 for j=1:num_inter w2=Py_Pgama(d,wpeak,wframe,1,sr); % 先进行 Py 投影和 Pgama 投影 w0=iswt(pswa,w2,Lo_R,Hi_R); % 再进行 Pv 投影 a,d=swt(w0,level,Lo_D,Hi_D); % Pv end pswa=iswt(swa(level,:),w2,Lo_R,Hi_R); % 计算重建信号 % % 计算模极大值去噪重建误差计算模极大值去噪重建误差xcrr=xref-psw