2.1 度量空间.doc

第2章 拓扑空间2.1 度量空间2.1.1 度量空间的一些基本概念定义2.1.1 设是一个非空集合，为一个映射，若对，有(1) ，并且； （非负性）(2) ； （对称性）(3) ； （三角不等式）则称为的度量(metric)；成为度量空间或距离空间，并且当度量自明而无须特别指出时，径称为度量空间；对，实数称为从点到的距离。度量空间的任意非空子集，就以中的度量作为上的度量，则也是度量空间，称（或）为的子空间。 例2.1.1 离散度量空间。设为任一非空集，定义如下：对，容易验证确为的度量，并称为离散度量空间(discrete metric space)。定义2.1.2 设为度量空间，对任给的实数，集合称为的-邻域（或：以x为中心，以为半径的开球; 或：以x为中心，以为半径的（球形）邻域，简称为的球形邻域）。注1 在一般的度量空间中，球形邻域可能只含一点。如：离散度量空间，对于不同的两点，恒有，于是对任意正数，每一点的-邻域中只含有一点，即. 注2 若在一个空间中同时定义了两个度量及，且，则按及分别所成的度量空间应该看成不同的度量空间。一般地，若中不止一点，则在中可以引进许多度量，成为不同的度量空间。 如：例2.1.2 度量空间中的度量 的定义分别为：对,;.且.但按定义的度量，球形邻域是平面上的开圆盘；按定义的度量，球形邻域是平面上的开正方形；按定义的度量，球形邻域是平面上的开菱形, 且.举为例说明。定义2.1.3 设为度量空间的子集，若存在的球形邻域包含于，则称为的内点。若的每一点都是的内点，则称是的-开集，简称开集。定理2.1.1 度量空间的开集具有下列基本性质：(1) , 都是开集；(2) 任意有限个开集的交是开集；(3) 任意开集族的并是开集。定义2.1.4 设是度量空间，若存在的开集，满足：，则称为点的邻域。定理2.1.2 设是度量空间，则是点的邻域的充分必要条件是：的某个球形邻域包含于.例2.1.3 设为度量空间，为有限集或没有极限点的可列集，则的每一个子集都是开集。证 (1) 设为有限集，是的任一子集，对，取,则的邻域,故是的内点，由的任意性知：是的开集。 (2) 设为没有极限点的可列集，设是的任一子集，对，取,则的邻域.若不然，存在，对，则是的极限点,这与题设矛盾！ 故是的内点，由的任意性知：是的开集。 证毕！定义2.1.5 设是度量空间的点集，若包含在的某个开球中，则称是中的有界集(bounded set)。2.1.2 依度量收敛定义2.1.6 设是一个度量空间，. 若当时，则称点列依度量收敛于 ( converges to in metric )，记作（或：）,并称为收敛点列 (convergent sequence)，称为点列的极限 (limit).定理2.1.3 在度量空间中，任何收敛点列的极限是惟一的。证 设都是点列的极限，则由定义2.1.1得.当时，于是. 因此 证毕！定理2.1.4 若，则. 即：度量是两个变元的连续函数。证 （自习！）定理2.1.5 设为度量空间中收敛的点列，则是有界的。证 设，则由定义2.1.3得：对，当时，. 取,则. 由定义2.1.7知：是有界集。 证毕！例2.1.4 在维实向量空间（称为n维Euclidean空间）中，对，令, (2.1.1)易验证满足定义2.1.1中度量的3个条件，因此(2.1.1)中的是的度量（或：距离），称为Euclidean距离，按度量(2.1.1)成为度量空间.设向量序列，其中, , 由知：在中依度量收敛（即：）就是依坐标收敛。注 可以验证：对，也是的度量.例2.1.5 设是非负整数，是闭区间上连续，在中处处次连续可微的函数全体. 特别地，将简记为. 对，令,容易验证是度量，按上述度量成为度量空间。 在中，函数列依度量收敛到函数列在上都分别一致收敛（也称均匀收敛）到(uniformly converges to).特别地，在中，函数列依度量收敛到函数列在上一致收敛（也称均匀收敛）到. 例2.1.6 设（即：实（或：复）数列全体），对，令，容易验证是度量，按上述度量成为度量空间。设，其中, . 可以证明：在中依度量收敛（即：）依坐标收敛到，即：对每个自然数，均有. 例2.1.7 设是单位圆中解析函数的全体。对，令，容易验证是度量，按上述度量成为度量空间。在中，函数列依度量收敛到函数列在单位圆中内闭一致收敛（也称内闭均匀收敛）到（即：函数列在单位圆中任一闭区域上一致收敛到）(internally closed and uniformly converges to in the unit circle ).例2.1.8 设是测度空间，是可测集，是上实值（或：复值）有界可测函数全体.当在上几乎处处相等时（即：将看成中的同一个函数）。对，令.因为是上的有界可测函数，所以有确定的意义。可以验证是度量，按上述度量成为度量空间。在空间中，函数列依度量收敛到（即）依测度收敛到（即：）( converges to in measure )。注 综上所述，虽然在一些集上可以随心所欲地根据度量的定义引进度量，从而使得 这些集成为度量空间，但是这样做并不见得有什么意义。有意义的往往是为了某个目的而引进所需的度量。在分析数学以及应用中常用到的空间还是函数空间或者序列空间等。为了要描述和研究函数列的某种特定的收敛概念:依坐标收敛(convergence in coordinate)、（内闭）一致收敛(internally closed uniform convergence)、一致收敛(uniform convergence)、平均收敛(mean convergence)依测度收敛(convergence in measure)等等, 而引进相应的度量才能做到有的放矢.2.1.3 连续映射定义2.1.7 设是度量空间，为一映射，若对的任意球形邻域，存在的球形邻域，使得，则称映射在点x0处连续。若在的每一点处都是连续的，则称映射为(从到内的)连续映射。定理2.1.6 设是度量空间，为一映射，则(1) 在点处连续的每一邻域的原象都是的邻域。(2) 为连续映射的每一开集的原象都是的开集。证 （自证！）例2.1.9 设离散度量空间，是任一度量空间，则任一映射都是连续映射.证 对中的任意开集，. 由例2.1.3知：的所有子集都是的开集，因此是的开集，故是连续映射。证毕