高中数学-直线与圆.doc

直线与圆圆锥曲线（一）知识结构图解（二）记忆知识总结知识要点（一）直线1、直线的倾斜角定义与规定（1）定义：对于一条与x轴相交的直线，将x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作 .（2）规定：当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0.综合上述一般定义和特殊规定，直线的倾斜角 的取值范围是0，180）或0，）.提醒：直线的倾斜角取值范围是一般与特殊相结合的产物，因此，解决有关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般”与“特殊”两种情况考察，以确保解题的完整与正确.（3）直线的斜率与方向向量（）定义1：当直线l的倾斜角 不是90时， 的正切叫做直线l的斜率，直线的斜率通常用k表示即： 特例：当直线的倾斜角为90时，直线的斜率不存在.认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系： ； ； ； （直线的斜率不存在）（）斜率公式已知直线l上两点 ，则直线l的斜率： .（）定义2：直线l上的向量 与平行于l的向量都称为直线l的方向向量.设 ，则直线l的方向向量 的坐标是 ；当直线l不与x轴垂直时， ，此时，直线l的方向向量可化为 （这里k为直线l的斜率）.2、直线的方程（1） 理论基础：直线的方程与方程的直线之定义在直角坐标系中，如果直线l和二元方程 的实数解之间建立了如下关系： 直线l上的点的坐标都是方程 的解（纯粹性）以方程 的解为坐标的点都在直线l上（完备性）那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.（2）直线方程的几种形式（）点斜式：已知直线l的斜率为k，且过点 ，则直线l的方程为： （）斜截式已知直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则直线l的方程为： 注意：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例.直线方程的特殊形式各自都有其局限性，两者都不能表示与x轴垂直的直线的方程.因此，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别考察直线斜率不存在的情形。（）两点式已知直线l经过两点 ，则直线l的方程为： .（）截距式已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为 ，则直线l的方程为： 注意：截距式是两点式的特例，以其自身特色被人们乐于应用.但应注意，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线（水平直线和铅垂直线），而截距式不能表示与坐标轴垂直以及过原点的直线.运用它们求直线方程，都需要单独考察它们不能表示的特殊直线.（）一般式方程 叫做直线方程的一般式直线方程的一般式适合于任何直线，并且是寻求直线方程的最后归宿.直线的一般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都可以表示为关于x,y的一次方程，反之，任何关于x,y的一次方程都表示一条直线.这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转化与统一.3、两条直线的位置关系（1）两条直线平行的条件设l1、l2 为两条不重合的直线，则（） 的斜率相等或它们的斜率都不存在.因此，已知l1/l2时，解题时要注意对“一般”和“特殊”两种情况的讨论.（）若设直线 ，则 （此式包含了一般与特殊两种情形）（）平行于直线 的直线（系）方程为： （2）两条直线垂直的条件对于两条直线l1和l2（） 的斜率之积等于1或它们中一个斜率为0而另一个斜率不存在（）若设直线l1： , ,则 ，（此式包含了一般与特殊两种情况）（）垂直于直线 的直线（系）方程为： （3）直线l1 到l2的角；直线l1 与l2的夹角设l1 与l2相交（）直线l1 到l2的角，是指l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，通常记作 l1 到l2的角中的“到”字，画龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l1 /l2时不定义l1 到l2的角，故 的取值范围为（0， ）设l1 与l2的斜率分别为k1,k2, l1 到l2的角为 ，则当 ；当 （注意：分子是后一直线斜率减去前一直线斜率）（）直线l1 与l2的夹角，是指l1 与l2相交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为 .l1 与l2的夹角没有方向性，注意到当l1 /l2时不定义l1 与l2夹角的概念，故得 的取值范围为： 设l1 与l2的斜率分别为k1,k2, l1 与l2的夹角为 ，则当 ；当 .（4）点到直线的距离设点 ，直线 则点P到直线l距离： 讨论（两平行直线间的距离）：设两条平行直线 ，则l1 与l2之间的距离为 .（5）两条直线的交点（1）直线 （2）经过直线l1 与l2的交点的直线（系）方程为 （这里不含l2）二)圆的方程1、定义与方程（1）定义（2）方程（）标准方程： 圆心为（a、b），半径为 （）一般方程： 圆心为 ，半径为 （III）参数方程： 圆心为(a，b)，r为半径长2、性质与应用（1）圆的基本性质（）关于弦的性质圆心与弦中点连线垂直于这条弦（或弦的垂直平分线经过圆心）；两圆相交时，两圆心的连线为公共弦的垂直平分线；若设圆半径为r，弦心距d ，弦长为2l，则有 （）关于切线的性质切线垂直于经过切点的圆的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径.（2）圆的性质的应用解决有关圆的问题时，适时运用圆的性质，往往可避免或缩短某个局部的求解过程，既有效地减少计算量，又使解题过程简捷明快.关于圆的问题的解题技巧，主要表现在“设”的技巧上：（）巧设圆心坐标若已知（或可知）圆心所在直线的方程或其它特征，则可据此巧设圆心坐标，减少所引参数的个数.（）巧设圆的方程一般地，当所给问题与圆心或半径相关时，以设圆的标准方程为上；在特殊情况下，根据问题的具体情况设圆的一般方程或圆系方程，亦会收到简明效果.3、直线与圆设直线 ，圆 ，则直线与圆的位置关系有两种判别方法：（1）“特性”判别法（只适合于直线与圆位置关系的判定）：设圆心C到直线l的距离为d，则 直线l与圆C相交； 直线l与圆C相切； 直线l与圆C相离.（2）“通性”判别法（适于直线与圆锥曲线位置的判定）：将上述曲线方程与圆方程联立，消去x(或y)所得一元二次方程的判别式为 ，则 直线与圆C相交； 直线与圆C相切； 直线与圆C相离.4、挖掘与引申（1）两圆的公共弦所在直线的方程设与 相交于A、B两点，则由-得两圆公共弦AB所在直线的方程为： （2）圆的切点弦所在直线（极线）的方程对于圆 （）当点 在圆上时，以M为切点的切线方程为 ；（）当点 在圆外时，过点M分别向圆作切线MA、MB（切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为 .引申：当点 在圆 外时，过点M分别向圆作切线MA、MB（切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为 .（三）典型例题1、求直线的斜率1.已知点，求直线的斜率.变式1：已知点，则直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D.解：，故选（C）.变式2：（2006年北京卷）若三点共线，则的值等于 .解：、三点共线，.变式3：已知点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率.解：设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，依题意有，或.由，得，直线的斜率为.2、求直线方程变式1：直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）A. B. C. D.解：令得，直线在轴上的截距为；令得，直线在轴上的截距为，故选（B）.变式2：过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，直线的方程为或，即或.变式3：直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.解：依题意，直线的斜率为1，直线的方程为或，即或.3、与直线有关的对称问题变式1：已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（ ）A. B. C. D. 解：依题意得，直线是线段的垂直平分线.，的中点为（1，1），直线的方程是即，故选（B）.变式2：已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是 .解：依题意得，两圆的圆心与关于直线对称，故直线是线段的垂直平分线，由变式1可得直线的方程为.变式3：求点关于直线的对称点的坐标.解：设.由，且的中点在直线上，得，解得，.4、光线问题变式1：一条光线从点射出，经轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的方程是 .解：依题意得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为，即.由反射光线与圆相切得，解得或，反射光线所在直线的方程是或，即或.8.已知某一条件，求圆的方程，变式1：（2006年重庆卷）过坐标原点且与圆相切的直线的方程为（ ）A.或 B.或C.或 D.或解：设直线方程为，即.圆方程可化为，圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，直线方程为或，故选（A）.变式2：（2006年湖北卷）已知直线与圆相切，则的值为 .解：圆的圆心为（1，0），半径为1，解得或.变式3：求经过点，且与直线和都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为，则，解得或，圆的方程为或.9.直线截圆的弦长，圆心角变式1：（1999年全国卷）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（ ）A. B. C. D.解：依题意得，弦心距，故弦长，从而OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为，故选（C）.变式2：（2006年天津卷）设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则 .解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得，解得.10.直线与已知圆的位置关系.变式1：（2006年安徽卷）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.解：依题意有，解得.，故选（A）.变式2：（2006年湖北卷）若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是 .解：依题意有，解得，的取值范围是.变式3：若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解：曲线表示半圆，利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.11.判断圆与圆的位置关系.变式1：（1995年全国卷）圆和圆的位置关系是（ ）A.相离 B.外切 C.相交 D.内切解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，.，两圆相交，故选（C）.变式2：若圆与圆相切，则实数的取值集合是 .解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，或，或，解得或，或或，实数的取值集合是.变式3：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.解：设所求圆的圆心为，则所求圆的方程为.两圆外切于点，所求圆的方程为.12.已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.变式1：（2006年湖南卷）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）A.36 B.18 C. D.解：圆的圆心为（2，2），半径，圆心到直线的距离，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是，故选（C）.变式2：已知，点在圆上运动，则的最小值是 .解：设，则.设圆心为，则，的最小值为.变式3：已知点在圆上运动.（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.解：（1）设，则表示点与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，的最大值为，最小值为.（2）设，则表示直线在轴上的截距. 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，的最大值为，最小值为.13.已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.变式1：（2006年四川卷）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（ ）A. B. C. D.解：设点的坐标是.由，得，化简得，点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，所求面积为，故选（B）.变式2：（2004年全国卷）由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是 .解：设.=600，=300.，化简得，动点的轨迹方程是.变式3：（2003年北京春季卷）设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.解：设动点的坐标为.由，得，化简得.当时，化简得，整理得；当时，化简得.所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当时，点的轨迹是轴.14.球轨迹方程变式1：已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，则点的轨迹方程是（ ）A. B.C. D.解：设.，.点在圆上运动，即，点的轨迹方程是，故选（C）.变式2：已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是 .解：设.是的平分线， .由变式1可得点的轨迹方程是.变式3：已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.解：设，的中点为.是平行四边形，是的中点，点的坐标为，且.直线经过定点，化简得.点的轨迹方程是.15.实际应用问题变式1：某圆拱桥的水面跨度是20，拱高为4.现有一船宽9，在水面以上部分高3，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低 时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01）解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为.圆经过点（10，0），（0，4），解得.圆的方程是. 令，得.故当水位暴涨1.5后，船身至少应降低，船才能通过桥洞.变式2：据气象台预报：在城正东方300的海面处有一台风中心，正以每小时40的速度向西北方向移动，在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约 ，台风将影响城，持续时间约为 .（结果精确到0.1）解：以为原点，正东方向所在直线为轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是，受台风影响的区域边界的曲线方程是.依题意有，解得.从现在起经过约2.0，台风将影响城，持续时间约为6.