牧羊人的希望数学建模论文6.doc

牧羊人的最优决策问题一摘要 本文主要对牧场最大经济效益问题提出两个规划方案。分析题中所给数据可知，这是一个最优规划问题，规划方案的结论将作为牧民饲养的参考依据。先找出所求的目标函数，再列出约束条件，即通过有限的牧草资源来限制这片牧场能够饲养的羊群的数目，并使牧草达到最大的利用来建立数学模型。建立模型后，运用MATLAB和LINGO软件求解，得到最优解，使其能够获得的最大的收益。 模型一的出发点是假设这个牧场已经步入正轨，且达到了题目所要求的最佳状态，那么此时，每一种年龄阶段的羊的数量的分布就是一定的，我们称之为最大环境容量，那么目标函数就转化为求母羊的数量的最大值。在这里，我们的目标就是能够在草供应充足的前提下，维持这种状态。那么，根据假设，以及题中所给的母羊繁殖的比率，各种年龄的羊之间就有一定的数量关系。每日草的生长量和每日羊的食草量就决定了目标函数的约束条件，模型就建立起来了。这是一个非线性规划求最优解的模型，我们通过LINGO软件，可以求得当牧场面积为1000平方米时，牧场的最大饲养容量为42只。在模型一中，我们是通过反过来计算羊的食草量，以验证模型结论的合理性。在验证过程中，发现夏季和秋季的草均有剩余，于是我们想将剩余的草最大利用，同时又不破坏生态的平衡，这也是模型中的创新之处。在第二个模型中，以第一年从羔羊养起，以后每年按相同的比例保留母羊进行下一年的繁殖，且将每年春季产下的公羔羊和部分母羊卖出，在根据其卖出的总羊数来衡量他所得的收益,且此模型考虑了草的转化率，羊羔的性别比例，并做了相应的假设，设定了两个未知数，求得目标函数，并利用MATLAB和线性规划求得最优解。得出结论为：最大经济效益的饲养方案为：当牧场面积为1000平方米时，最初应该养11只羊，扩大牧场面积，养的数量也随着牧场面积比例的变化而变化。这个模型计算起来简单，但检验有一定的难度。二、问题重述与分析 一个拥有一定面积的牧羊人，想通过科学的管理，使得牧场的收益达到最大，他要解决的问题有：1. 这片牧场应该饲养多少只羊。2. 在夏天的时候，他应该储存多少牧草用于冬季羊群的供应。3. 在出售母羊时，他应该保留多大比例的母羊。下面是低洼地的某一类草的近似平均平均生长率：季节冬季春季夏季秋季日生长率（g）0374一般母羊的生育期是5至8年，每年产一头、两头或三头。假定每只母羊仅喂养5年就出售。下面是一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数：年龄（年）0112233445产羊羔（头）018242018在一年里每头羊所需饲料的平均饲养量：日需草量（kg）羔羊母羊冬季0210春季100240夏季165115秋季0135 这是一个最优规划问题。我们主要的目的是使在题目所给数据的条件下，使得牧民的利益达到最大。首先得确定目标函数，再列出约束条件，求得最优解。所求得的最优解就是提供给牧民的最好的决策依据。三、问题假设1）不考虑养殖所需的饲草供给条件，圈舍，配合饲料，给水，饲养费用等养殖条件忽略不计；2）能生育的母羊在交配季节一律引进公羊进行交配，且交配完之后送走公羊且公羊吃的草忽略不计；3）所有养生病时不影响吃草量；4）所有养践踏草不影响草的增长；5)每天长出来的嫩草羊都能吃草，且不影响草的增长率；6） 假设牧场的面积为1000平方米7）假设不会发生严重的自然灾害8）不考虑羊群死亡四、模型的建立和求解模型一模型分析：建立这个模型的目的是使牧民的经济效益最大，即模型的结论能够给牧民提供最优的决策，这就相当于使得牧场的容量达到最大，并且不破坏生态的平衡。假设这个牧民饲养羊群已经步入正轨，而且以将达到了最高效益的状态，这个时候各种羊龄的指数也是一个定值，如果在今后的几年中，我们如果能通过这个模型能使这个状态保持不变，最大利益的目标便达到了。一、模型假设：1. 每一年养羊从春天开始，秋天卖出，饲养的羊达到5年便全部卖出2. 母羊在春季产羊羔，秋季将公羊和母羊卖出3. 母羊放养，公羊圈养，且公羊的食草量和母羊一样4. 假设牧场的面积为1000平方米5. 不考虑养殖所需的饲草供给条件，圈舍，配合饲料，给水，饲养费用等养殖条件忽略不计6. 鲜草向干草的转化率为0.5，且他们有相同的喂养效果7. 题中的3克理解为一颗草每天长的重量8. 1平方米大概有36颗草9. 假设所有的牧场都是低洼地10. 羊群对牧草的践踏不影响牧草的生长11. 假设该牧民以最大环境容量养羊，那么ii+1阶段的羊留下来的数量记为xi+112. 假设羊群不生病，不考虑羊群的成活率13. 假设每一个季节都为90天二、符号说明：1. x1：前一年秋天保留下来的01岁的羊的数量2. x2：前一年秋天保留下来的12岁的羊的数量3. x3：前一年秋天保留下来的23岁的羊的数量4. x4：前一年秋天保留下来的34岁的羊的数量5. y：夏季每天为冬季准备的草的重量（kg）6. r1:第二年春天年母羊保留的比例7.r2:第三年春天年母羊保留的比例8.r3:第四年春天年母羊保留的比例7. Z:牧民的经济效益三、模型的建立和求解根据模型的假设可知：若：第i年的春天各年龄段的母羊数分别为：x1,x2,x3,x4那么，这一年所产的羔羊的数目应为：1.8*x1+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4因此，最大经济效益模型(目标函数)为：maxZ= x1+x2+x3+x4约束条件：羊的是草量=草的生长量，可以列出以下式子：（1.8*x1+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4）+2.4*(x1+x2+x3+x4）=1000*0.003*36 -1.15*1.8*x1+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4）+ 1.65*(x1+x2+x3+x4)=1000*0.007*36 -(2)1.35*(x1+x2+x3+x4)=0.004*1000*36 -(3)(x1+x2+x3+x4)*4.2=y -(4)x1=x2x2=x3x3=x4x2=x1*r1x3=x2*r2x4=x3*r3其中，r1,r2,r3均是0到1的一个常数由于羊的数目要求整数，故由lingo求整数解可得： Local optimal solution found. Objective value: 25.00000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 172 Variable Value Reduced Cost X1 16.00000 0.000000 X2 4.000000 0.000000 X3 3.000000 0.000000 X4 2.000000 0.000000 Y 105.0000 -0.2380952 R1 0.2500000 0.000000 R2 0.7499996 0.000000 R3 0.6666667 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 25.00000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 155.5500 0.000000 4 110.2500 0.000000 5 0.000000 0.2380952 6 12.00000 0.000000 7 1.000000 0.000000 8 1.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 -0.1720313E-05 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 0.7500000 0.000000 13 0.2500004 0.000000 14 0.3333333 0.000000程序代码如下：model:max=x1+x2+x3+x4;1.8*x1+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4+2.4*(x1+x2+x3+x4)=1000*0.003*36; 1.15*(1.8*x1+2.4*x2+2.0*x3+1.8*x4)+1.65*(x1+x2+x3+x4)=1000*0.007*36; 1.35*(x1+x2+x3+x4)=x2;x2=x3;x3=x4;x2=x1*r1;x3=x2*r2;x4=x3*r3;r1=1;r2=1;r3=1;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(y);end从上述的结果可以看出，当牧场的面积为1000平方米时，每年最多能养母羊25只，其中，01龄羊16只，12龄羊4只，23龄羊4只，34龄羊2只，他们之前保留的比例分别约为：0.25，0.75，0.67，其中，34龄羊喂养一年后就全部卖出。每年夏季至少要贮存105*90=9450千克鲜草。此时，我们可以反过来计算羊的食草量，以验证上述模型结论的合理性。这块牧场一年之内可以生长的草的重量为：1000*0.014*36*90=45360千克而羊群每季食草量如下：季节春天夏天秋天冬天食草量（千克）10890=972096.45*90=8680.533.75*90=3037.59450总计：30715千克剩余的草量为：45360-30715=14615千克 为什么还会有剩余的草呢？可不可以将这些草也利用起来？从题中给出的数据我们知道，春季草的生长率是最低的，但是食草量确是最高的，羊的最大饲养量受春季的影响最大，而夏季和秋季的草生长率相对较高，羊的食草量也不大，因此造成了草的剩余，为了最大程度的利用资源，也是提高经济效益，我们制定方案如下：剩余的草还可圈养公羊数：14715/（4.2+2.4+1.15+1.35）/90=17.88，取整数17只。比较：当牧场的面积为500平方米时，牧场的最优经济效益养殖为： Local optimal solution found. Objective value: 10.00000 Extended solver steps: 69 Total solver iterations: 987 Variable Value Reduced Cost X1 3.000000 0.000000 X2 3.000000 0.000000 X3 2.000000 0.000000 X4 2.000000 0.000000 Y 42.00000 -0.2380952 R1 0.9999999 0.000000 R2 0.6666667 0.000000 R3 1.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 10.00000 1.000000 2 9.800000 0.000000 3 86.27000 0.000000 4 58.50000 0.000000 5 0.000000 0.2380952 6 0.000000 0.000000 7 1.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 -0.2737715E-06 0.000000 10 -0.4344872E-07 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 0.9125717E-07 0.000000 13 0.3333333 0.000000 14 0.000000 0.000000 有上述结果可以看出，当牧场的面积变化时，养羊的数量和比例都会发生相应的变化。四、模型结论 由上述模型的建立即求解可得出结论：1000平方米的牧场最多可饲养的羊的总数为42只其中母羊25只，12龄羊16只,23龄羊4只，34龄羊3只，45龄羊2只，牧场夏季要贮存9450千克的草供冬季喂养，夏季贮存的草能够满足冬季的需要，且剩余的草量可以用来圈养17只公羊。五、模型的优缺点评价 这个模型计算起来简单。通过搜集资料，以及用得出的羊的只数反过来计算食草量来检验结论正确与否可知，单位面积（1000平方米）能饲养的羊的最大数量符合实际，且也能够维持这种生态的平衡，保持这种最佳的循环状态，这位牧民的决策提供了较好的参考依据。这个模型使得羊的数量达到最大的同时，也考虑了生态是否平衡的状况。模型的创新之处在于，在得到结论以后，反过来带入原来的式子以检验结论的合理性，一次同时，还最大程度的利用了草的剩余量，提高了经济效益。 在模型的建立的过程中，也存在着一定的不足，比如说，为了方便计算，鲜草向干草的转化率设为0.5，每平方米种植36颗草，虽然比较符合实际，但是和实际还是有些出入。六、模型的进一步讨论 在这个模型的建立过程中，我们将牧场的面积从100平方米到1000000平方米计算，并观察x1,x2,x3,x4羊的只数的变化情况，我们发现，当牧场面积越来越大时，x2,x3,x4的数量接近于零，因此，这里将会有一个最适合牧民饲养羊群的牧场面积，如何确定这种合理性，最佳牧场的面积会是多少呢，还有待我们不断的尝试模型二 一 模型说明1）假设鲜草的转化率为50%，且干草和鲜草具有相同的喂养功效2）假设母羊都在春季产下羔羊，且都在春季将公羔羊和部分母羊卖出3）假设每平方米种植40株草4）出生的公羔羊与母羔羊的比例是1：1二 符号说明a:牧场应饲养的羊的数目；y：每年母羊保持的比例m1:春季草的日生长量m2: 夏季草的日生长量m3: 秋季草的日生长量z1:0-1年卖出的羊z2:1-2年卖出的羊z3:2-3年卖出的羊z4:3-4年卖出的羊z5:4-5年卖出的羊d1：0-1年保留下来的母羊d2：1-2年保留下来的母羊d3：2-3年保留下来的母羊d4：3-4年保留下来的母羊d5：4-5年保留下来的母羊k1:0-1年的母羔羊数目k2:1-2年的母羔羊数目k3:2-3年的母羔羊数目k4:3-4年的母羔羊数目k5:4-5年的母羔羊数目三 模型的建立和求解 由前面假设，显然有z1=0;要获得满意的收益，只需卖出的羊的数目达到最大，即求目标函数z=z1+z2+z3+z4+z5的最大值 由假设易计算出：m1=120;m2=170;m3=160; k1=a; k2=1.8a*0.5=0.9a; k3=(ay*2.4+0.9a*1.8)*0.5;k4=(ay2*2.0+0.9ay*2.4+k3*1.8)*0.5;k5=(k4*1.8+k3*y*2.4+0.9ay*2.0+ay3*1.8)*0.5;d1=0;d2=ay;d3=0.9ay+ay2;d4=k3+(0.9a+ay)y(1-y);d5=k4+k3+(0.9a+ay)yyyz2=k2+k1(1-y),z3=k3+(k2+d2)(1-y),z4=k4+k3+(k2+d2)y(1-y),z5=k5+k4+k3+(k2+d2)yy(1-y) 将上述代入目标函数，整理得z=-a*(y4+3.1*y3+0.98*y2-5.991y-6.5341),观察分析易知要使z达到最大，则要使a最大，q= y4+3.1*y3+0.98*y2-5.991y-6.5341在0-1之间最小值,利用MATLAB做出y在0-1之间的图像,编程和作图如下：程序:y=0:0.01:1; q= y4+3.1*y3+0.98*y2-5.991y-6.5341 plot(q) grid图像如下：由图可知，y取0.635时，q最小。又草对羊的约束条件有：春季草与羊群的关系：a=m1; 0.9a+2.4*ay=m1;k3+2.4*(0.9ay+a*y2)=m1;K4+2.4*k3+(0.9ay+a*y2)y=m1;k5+2.4*k4+k3+(0.9a+ay)yyy=m1夏季草与羊群的关系：a=m2; 0.9a*1.65+1.15*ay=m2;1.65*k3+1.15*(0.9ay+a*y2)=m2;1.65*K4+1.15*k3+(0.9ay+a*y2)y=m2;1.65*k5+1.15*k4+k3+(0.9a+ay)yyy=m2秋季草与羊群的关系：1.35*a*y=m31.35*(a*y+a*y2)=m31.35*(0.9*a*y+ a*y2+k3)y=k2*2.1m2-1.65*k3+1.15*(0.9ay+a*y