拆开的魔方的复原.doc

拆开魔方的复原本论文属于: 数学的运动群，魔方理论，解题方法。关键词：魔方，运动群，解题方法。作者：程士浚（原铁道部贵阳车辆工厂设备处）魔方不但是一个老少皆宜的智力玩具，而且它和数学、高分子化学、计算机科学有着密切的关系。在玩魔方的时候,有时掉下几块,如随随便便地把它装上,那么魔方就很可能不能复原了。或者说，一个拆开的魔方的复原是不一定能实现的。下面要确定一个拆开后随意组装的魔方不通过试转就想知道它是否能复原的方法。先看看同一类“块”的运动规略。我们把魔方的“块”分为“中心块”、“角块”、“边块”三种。先看看边快到原位的运动。一个打乱的魔方有的边块还在原来的位置，有的不在原来的位置。在原位的块，有的颜色对，有的颜色不对。我们把颜色对的叫做方向对，颜色不对的叫方向不对。在原位的边块方向对的叫做块序数为偶数。方向不对的为奇数。魔方的边块的运动可以用图表示，如图一。图一中有六个独立的四边形，它们分别由支路（1、2、3、4），（5、6、7、8），（9、10、11、12），（13，14，15，16），(17,18,19,20),(21,22,23,24,)组成。一个边块运动前在原位，运动后回到原位，把这叫做边块回到原位的运动。 图一边块在回到原位的运动中的步数（边块转动一个90为一步）为偶数，则方向和运动前相同。为奇数则方向不同。例如1位边块经过支路1，2，3，4回到原位步数为4，是偶数，方向和原来相同，经过支路1，13，21回到原位的步数为3，是奇数，方向和原来不同。到此可以进一步确立如下概念。 边块回到原位的步数为偶数的，回到原位后方向对的，该块的块序数为偶数，反之回到原位后方向不对的块序数为奇数。这是合乎奇偶数加法性质的。用a表示偶数，b表示奇数则有 a+a=a a+b=b b+a=b b+b=a 一个打乱而且装乱的魔方（但还是这几块）是否一定能复原？大家知道这是不一定能复原的。边块要想复原的条件如下。全部边块块序数的总和为偶数的能复原。为奇数的不能复原。因为每层转动一步是四个边块各走一步，总步数为四，是偶数，所以不管怎样转总步数是偶数。所以各边块都在原位，但装时方向反了两块的能复原。或说方向反了偶数块的能复原，方向反了奇数块的不能复原。所以如各边块方向对，但互为装错的（装错的块数为奇数的，可以再在这几块中找两块互换位置，成为装错奇数块）能复原。但请注意，这里没有讲到是否要影响到角块能否复原。通过实践我们也可以发现，有时虽然全部边块的序数的总和为偶数，但全部边块复原后却使原已复原的角块不能复原了。这是什么道理呢？为了说明问题使魔方不作整体滚动。角块和边块分别编号，角块用阿拉伯数字1、2、3。边块用小写数字一、二、三，如图所示。 图二复原魔方的1#角块在(1)位上，角块在（）位上，用数列、表示。当右层转动后，块到（）位，块到（）位。用数列、6、表示，这可以说是经过三次对换实现的。先对换和。变为。再对换和，变为，再对换和，变为。根据高等代数排列奇偶性的定理，可知对换改变排列的奇偶性。因为每层转相当于三次对换，所以每层转也改变排列的奇偶性。因为每层都有角块和边块。一个复原的魔方角块和边块的排列开始都是偶排列。经过某层转动后角块的排列和边块的排列仍具有相同的奇偶性。（中间层的转动相当于两側层的反方向转动）。不可能出现一个是偶排列，另一个是奇排列。所以有如下特性：当一个打乱而且装乱的魔方，如果角块的排列和边块的排列不是具有相同的奇偶性就不可能复原。这就回答了上面为什么全部边块复原了而角块不能复原的问题。最后要解决的是角块的复原。角块的到位问题上面已经解决了。只剩下角块的方向问题。一个角块有三个面，也就是有三个方向。规定一：把复原魔方的上面和下面作为八个角块的基准面和魔方的基准面。规定二：角块的基准面和魔方的基准面重合，该角块的方向数为0。角块的基准面顺时针转一下就到魔方基准面的，该块的方向数为二。角块的基准面逆时针转一下到魔方基准面的，方向数为。当复原魔方转动右+（右边一层逆时针转90）1#块转到（2）位，1#块的方向数为2，2#块转到（6）位，2#块的方向数为1.6#块转到（5）位6#块的方向数为2.5#块转到（1）位，5#块的方向数为1。根据上面的规定可以得出魔方上下两层转动不改变角块的总方向数。魔方其他各层的转动使角块总方向数以6的倍数增加。魔方转动右+后再转右-（右面一层顺时针转90），1#块的方向数结果为0.也可以说是2+1。所以角块的方向数是3进位数，只取末位数。即2+1=10，只取末位数0就可以了。 图三图三表示角块运动是其方向数变化的情况。（1）、(2)、(3)、(4)、(5)、（6）、(7)、(8)是八个角块位置。直线表示上下层转动是方向数不变。右层转动用箭头从（1）到（2），（6）到（5）和从（6）到（2），（1）到（5）的弧线表示。箭头所指的方向表示延箭头方向转方向数加2，反箭头方向转方向数家1.右+转动时，四个角块的路径支路为9、-22、13、-17.其中-22表示沿22支路上箭头的反方向远动，即从（2）位到（6）位。图三中弧线凸出的方向表示该弧线属于哪一层转动的支路。从图中也可以看出前、后、左、右层转动90，总方向数都是增加6。 角块复原表 位置 现角块号 现方向数路中增加的方向数 路径的支路去向到位后方向数11#001022#12=1+1（-12，-18）2035#21=0+0+1（2，1，21）5048#03=0+2+1（3，19，-15）8057#21=0+1（5，-14）7063#12=0+2（6，23）3074#21=1+1（-19，3）7086#12=1+1（-16，-13）60说明逆序数为9现总方向数为9路中增加的方向数总和为12去向到位后方向数总和为0上面是角块复原表，表中第二项填入的一列数（1、2、5、8、7、3、4、6），我们可称它为第一向量。它表示某号（X#）角块现在所在位置。例如5#块在（3）号位。第二个向量表示在个位置上角块的方向数。例如在（3）位置上的5#块的方向数为2.第三个向量表示如能单独转动某块到位并使之方向对的路径中所要增加的方向数。例如第三项表示在（3）位的5#块，原方向数位2，经过2号支路，1号支路和沿21号支路的反方向走到达（5）位，使方向数为0，路中增加的方向数为1（1=0+0+1）。第四个向量是到位后方向数，表示最后各块到了原位后的方向数。这里各块都复原，各块的方向数都为0.各向量下面的数表中已有说明。从表中实例可以看出，要使角块复原而路中增加的方向数总和又是6的倍数，只要现方向数总和是3的倍数即可。例如表中1#块原就复原了，但可走路径支路17、-17（-17表示沿17支路上箭头的反方向运动）。使路中数为3（3=2+1）。从而使陆总增加的方向数总和加上3.而到位后方向数都还是0.即还是能复原。读者可以实践使一下，把你的魔方拆开后角块如表放置，个边块全部到位，而且使之方向也对。实践转动后可得到各角块全部到位，而且方向也对，但是边块虽然全部方向对，但有两块互不到位。这是因为角块逆序数为9（奇数），边块逆序数为0，是偶数。到此可以算出魔方各块在不同位置，不同的方向可组成多少种不同的形式（图形）了。12个边块在不同的位置的排列就是12！种。8个角块在不同的位置的排列就是8！种。考虑到角块和边块排列的逆序数必须具有相同的奇偶性。即有1/2*12!1/2*8!1/2*12!1/2*8!=1/2*12!*8！种。每个角块有三个方向，8个角块可排列出38(表示3的8次方)种。每个边块有两个方向，12个边块可排列出212种。 考虑到8个角块的现方向数总和必须是3的倍数角块实际只能