图形变换1.doc

龙文个性化辅导资料 经典例题：(2009朝阳二模)25（本小题8分） 在ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到（使180），连接、，设直线与AC交于点O.（1）如图，当AC=BC时，:的值为 ；（2）如图，当AC=5，BC=4时，求:的值； （3）在（2）的条件下，若ACB=60，且E为BC的中点，求OAB面积的最小值. 图 图考点：旋转的性质；全等三角形的判定；相似三角形的判定与性质分析：（1）AD和BE应该相等，可通过证ACDBCE来求解这两个三角形中已知的条件有：ACD和BCE是一对等角的补角，因此这两角相等然后证其他条件，由于AC=AB，DEAB，因此CDE和CDE都是等腰三角形，由此可得出AC=BC，CE=CD，由此满足了全等三角形的判定中SAS的条件，因此这两三角形全等，可得出AD=BE即它们的比为1；（2）方法同（1）只不过线段相等换成了线段成比例，而三角形全等变成了三角形相似，根据相似三角形的对应线段成比例即可得出AD、BE的比例关系（3）如果过B作BMAC于M，那么可根据ACB的度数和BC的长求出BM的值，由此可知：OAB中，高BM是个定值，因此OAB面积最小时，OA最小，那么此时OC最大然后来求出此时OC的长，由题意可知，E的运动轨迹是以C为圆心，CE为半径的圆，而BE总和圆C有交点，因此要想使OC最长，那么EBC的度数就要最大，即此时BE是圆C的切线，BEC=90，EBC=30（由于ACB=60，因此EBC的最大度数只能是30），那么O与E重合即可求出CE和OC的长，而后可根据AC的长求出OA的长，根据三角形的面积公式即可求出此时OAB的面积解答：解：（1）1（2）解：DEAB， CDECAB由旋转图形的性质得，EC=EC，DC=DC，ECD=ECD，ECD+ACE=ECD+ACE即BCE=ACDBCEACD （3）解：作BMAC于点M，则BM=BCsin60=2E为BC中点，CE=BC=2CDE旋转时，点E在以点C为圆心、CE长为半径的圆上运动CO随着CBE的增大而增大，当BE与C相切时，即BEC=90时CBE最大，则CO最大此时CBE=30，CE=BC=2=CE点E在AC上，即点E与点O重合CO=CE=2又CO最大时，AO最小，且AO=AC-CO=3SOAB最小=AOBM=3总结：本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，（3）中结合圆的知识来确定OA的长是解题的关键（2009西城区一模）25已知：，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当APB=45时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应APB的大小.25解：（1）如图11，作AEPB于点E - - - - - - - - - - - - -1分 APE中，APE=45， ，图12 ， - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分 在RtABE中，AEB=90， - - - - - - - - - - - - -3分 解法一：如图12，因为四边形ABCD为正方形，可将PAD绕点A顺时针旋转90得到，可得，, =90，=45，=90 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分 - - - - - - - - - - - - - -5分 解法二：如图13，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的 图13 延长线交PB于G 在RtAEG中，可得， 在RtPFG中，可得，- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分 在RtPDF中，可得 - - - - - - - - - - - - - - - - -5分（2）如图14所示，将PAD绕点A顺时针旋转90得到， PD 的最大值即为的最大值. 中，且P、D两点落在直线AB的两侧， 当三点共线时，取得最大值（见图15）. 此时，即的最大值为6.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分图14图15 此时APB=180=135.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7分 （2009房山一模）25已知：ABC和ADE均为等腰直角三角形, ABCADE=， AB= BC，AD=DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，联结DF、BF.（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；（2）将图1中ADE绕A点顺时针旋转，再联结CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）将图1中ADE绕A点转动任意角度（旋转角在到之间），再联结CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论 图1 图2 图325. 解：（1）DF=BF且DFBF.-1分证明：如图1：ABCADE=，AB= BC，AD=DE CDE=，AED=ACB=45F为CE的中点 DF=EF=CF=BF， DF=BF； -2分 DFE2DCF，BFE2BCF， EGFCGF2DCB=90， 图1即：DFB，DFBF. -3分(2)仍然成立.证明：如图2，延长DF交BC于点G，ABCADE= DEBC， DEF=GCF，又 EF=CF，DFE=GFC DEFGCF，DE=CG，DF=FG-4分AD=DE，AB=BC，AD=CG BDBG -5分又ABC 图2 EG=CG且EGCG. -6分 (3)仍然成立.证明：如图3，延长BF至点G，使FGBF，联结DB、DG，GEEF=CF, EFG=CFB EFGCFB， EG=CB，EGFCBF，EGCB，AB= BC，ABCB, EG=AB，EGAB，ADE=90，EGABDAB=DGE DABDEG， DG=DB, ADB=EDG -7分BDG=ADE=90 图3BGD为等腰直角三角形， DF=BF且DFBF. -8分（2009门头沟一模025如图1，在ACB和AED中，AC=BC，AE=DE，ACBAED90,点E在AB上， F是线段BD的中点，连结CE、FE.（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）将图1中的AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 25解：（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE2分（2）（1）中的结论仍然成立如图2，连结CF，延长EF交CB于点G DEBCEDF=GBF又，DF=BF， EDFGBF EF=GF，BGDEAE AC=BC， CE=CGEFC=90，CF=EF CEF为等腰直角三角形CEF=45CE=FE5分（3）（1）中的结论仍然成立如图3，取AD的中点M,连结EM，MF,取AB的中点N,连结FN，CN，CFDF=BF，AE=DE，AED=90,AM=EM，AME=90.CA=CB,ACB=90,，ANC=90.，FM=AN =CN.四边形MFNA为平行四边形.FN=AM=EM，AMF=FNA.EMF=FNC.EMFFNC.FE = CF，EFM=FCN.由，ANC=90，可得CPF=90.FCNPFC=90.EFMPFC=90.EFC=90. CEF为等腰直角三角形CEF=45. CE=FE8分图1图2图3(2009顺义一模)25. 已知：在RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证明； （2）如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明图图 25.（1）BM=DM ，BMDM -1分证明：在RtEBC中，M是斜边EC的中点， EMB=2ECB在RtEDC中，M是斜边EC的中点， EMD=2ECD-2分 BM=DM，EMDEMB =2（ECDECB） ECDECB=ACB=45， BMD=2ACB=90，即BMDM -3分（2）当ADE绕点A逆时针旋转小于45的角时， （1）中的结论成立 证明：连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H -4分 DM=MF，EM=MC，MDBACEHF 四边形是平行四边形. DECF ，ED =CF， ED= AD, AD=CF. DECF，-5分 AHE=ACF ,， BAD=BCF. -6分又AB= BC, ABDCBF. BD=BF，