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平面向量的概念及线性运算 平面向量 必修 走进高考第一关基础关 教材回归 1 向量的概念 1 把既有 又有 的量叫做向量 2 把只有大小 没有方向的量 如年龄 身高 长度 面积 体积 质量等 称为 3 向量的大小叫做向量的 或模 的向量叫零向量 记作 零向量的方向 规定零向量与任意向量 大小 方向 数量 长度 长度为零 0 任意 平行 共线 4 相等向量是指 的向量 相反向量是指 的向量 规定零向量的相 零向量的相反向量是 5 方向相同或相反的向量叫 也叫 长度为1的向量叫做 长度相等 方向相同 大小相等 方向相反 平行向量 共线向量 单位向量 2 向量的线性运算 1 向量加法的定义已知向量a b 如图 平面内任取一点A 作 a b 再作 则 叫做a与b的和 记作a b 即a b 求两个向量和的运算叫做向量的加法 2 向量求和的三角形法则利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则 叫做向量求和的 法则 在运用此法则时 要注意 首尾相接 即两个向量的和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量 的向量 三角形 终点 3 向量求和的平行四边形法则已知两个不共线向量a b 作 a b 对A B D三点不共线 以AB AD为邻边作 则对角线上的向量是 这个法则叫做两向量求和的 法则 平行四边形ABCD a b 平行四边形 4 向量的减法向量a加上向量b的 叫做a与b的差 记作a b 若 a b 则a b 相反向量 5 实数与向量积的定义 实数 与向量a的积是一个 记 a a 当 0时 a与a方向 0时 a与a方向 0时 a 向量 a 相同 相反 6 向量的加法 减法和向量的数乘的综合运算通常叫做向量的 运算 向量加法的交换律表达式为 向量加法的结合律表达式为 若 为实数 则 a a a b 线性 a b b a a b c a b c a a a a b 3 向量共线的条件平行向量基本定理 如a b 则 如果a b b a 则存在 使 a b 惟一实数 a b 考点陪练1 基础题 易 在平行四边形ABCD中 AC与BD交于点O E是线段OD的中点 AE的延长线与CD交于点F 答案 B 答案 A 3 2010 新创题 易 平面上有三点A B C 设m n 若向量m n的长度恰好相等 则有 A A B C三点必在同一直线上B ABC必为等腰三角形且 B为顶点C ABC必为直角三角形且 B为直角D ABC必为等腰直角三角形 答案 C 答案 D 已知 ABC的三个顶点A B C及平面内一点P满足 则P点是 ABC的 A 外心B 内心C 重心D 垂心解析 以PA PB为邻边作平行四边形APBD 如右图所示 则 即 C P D三点共线且 又AB PD互相平分 即P为重心 答案 C 解读高考第二关热点关 类型一 向量的有关概念 解题准备 准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键 共线向量即为平行向量 非零向量平行具有传递性 两个向量方向相同或相反就是共线向量 与向量长度无关 两个向量方向相同且长度相等 才是相等向量 共线向量或相等向量均与向量起点无关 典例1判断下列命题是否正确 1 若 a b 则a b 2 若A B C D是不共线的四点 则 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件 3 若a b b c 则a c 4 a b的充要条件是 5 a b 是a b的必要不充分条件 6 平行向量就是共线向量 7 相反向量一定是平行向量 8 平面内4个不同点A B C D共线的充要条件是存在非零实数k 使得 k 9 已知a是任一个非零向量 则是一个单位向量 解 1 不正确 两个向量的长度相等 但它们的方向不一定相同 因此 由 a b 不能推出a b 2 正确 且 又 A B C D是不共线的四点 四边形ABCD是平行四边形 反之 若四边形ABCD是平行四边形 则 且与方向相同 因此 3 正确 a b a b的长度相等且方向相同 又 b c b c的长度相等且方向相同 a c的长度相等且方向相同 故a c 4 不正确 当a b且方向相反时 即使 a b 也不能得到a b 故不是a b的充要条件 而是必要不充分条件 5 正确 a b a b 但a b a b a b 是a b的必要不充分条件 6 正确 不同于平面几何中的平行与共线的概念 向量的平行与共线是同一概念 7 正确 由相反向量的定义可知 7 正确 8 不正确 点的共线与向量的共线是不同的概念 9 正确 由单位向量的定义可知模长为1的向量即为单位向量 而 答案 1 4 8 不正确 2 3 5 6 7 9 正确 评析 熟练掌握有关基本概念是解决此类小题的关键 类型二 平面向量的线性运算及应用 解题准备 1 向量的加法 1 定义 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 2 法则 三角形法则 平行四边形法则 3 运算律 a b b a a b c a b c 2 向量的减法 1 定义 求两个向量差的运算 叫做向量的减法 2 法则 三角形法则 3 常用于向量式的化简 3 实数与向量的积 1 定义 实数 与向量a的积是一个向量 记作 a 规定 a a 当 0时 的方向与a的方向相同 当 0时 a的方向与a的方向相反 当 0时 a 0 由此可见 总有 a与a平行 2 运算律 ua u a u a a ua a b a b 4 线段中点的向量表示 若M是线段AB的中点 O是平面内任一点 则 典例2如图 在 ABC中 在AC上取点N 使得AN AC 在AB上取点M 使得AM AB 在BN的延长线上取点P 使得NP BN 在CM的延长线上取一点Q 使得MQ CM时 试确定 的值 评析 本例解法1利用了向量的加减法运算 结合共线向量定理 将未知向量 转化到上 使问题得以解决 解法2是利用了平面几何的知识 简单明了 两种方法都有独到之处 可相互渗透 类型三 向量共线问题解题准备 已知三点共线 则由这三点构成的向量也共线 反过来 要证A B C三点共线 只需证明与共线 即 R 典例3设两个非零向量a与b不共线 1 若 a b 2a 8b 3 a b 求证 A B D三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 分析 解决点共线或向量共线问题 要根据向量共线定理进行 解 与 共线 存在实数 使 即 是不共线的两个非零向量 评析 1 向量共线是指存在实数 使两向量互相表示 2 向量共线的充要条件中 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量 要注意待定系数法的运用和方程思想 3 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 探究 如图 点O是梯形ABCD对角线的交点 AD 4 BC 6 AB 2 设与同向的单位向量为a0 与同向的单位向量为b0 1 用a0和b0表示 2 若点P在梯形ABCD所在的平面上运动 且 求的最大值和最小值 笑对高考第三关成熟关 名师纠错误区一 忽视零向量性质致误典例1下列叙述错误的是 若a b b c 则a c 若非零向量a与b方向相同或相反 则a b与a b之一的方向相同 a b a b a与b方向相同 向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 使得b a 0 若 a b 则a b 剖析 忽视零向量的特殊性是本题出错的主要原因 本题前四个结论都与此有关 另外两个相反向量的和是一个零向量 不是实数零 最后一个结论可能忽视了 0的情况 正确 这六个命题都是错误的 因为对于 当b 0 a不一定与c平行 对于 当a b 0时 其方向任意 它与a b的方向都不相同 对于 当a b之一为零向量时结论不成立 对于 当a 0 且b 0 有无数个值 当a 0但b 0 不存在 对于 由于两个向量之和得到的仍是一个向量 所以 0 对于 当 0时 不管a与b的大小与方向如何 都有 a b 此时不一定有a b 评析 零向量的特殊性零向量是向量中最特殊的向量 规定零向量的长度为0 其方向是任意的 零向量与任意向量都共线 它在向量中的位置正如实数中0的位置一样 但有了它容易引起一些混淆 稍微考虑不到就会出错 考生应给予足够的重视 误区二 向量加减法的几何意义不明致误 评析 根据向量减法的三角形法则 两个向量相减 所得向量是减向量的终点指向被减向量的终点所得的向量 也就是说对于平面上任意一点 解题策略怎样应用向量的加减法解题由于向量 数 与 形 的双重性 向量的加法与减法是用几何作图来定义的 一般用三角形法则和平行四边形法则 两个法则是研究整个向量问题的重要工具 在后面的章节知识的学习将会有更深的体会 下面就其应用进行举例分析 1 用已知向量表示图形中的其他向量运用向量的加法法则 减法法则 共线向量的定义 注意利用相等向量及相反向量转换 典例1如图所示 O为 ABC的外心 H为垂心 试用向量 表示向量 2 化简向量式根据加法法则 在化简过程中 利用相反向量可将减法运算转化为加法运算 注意 首尾相接 的合并运算 典例2已知O是 ABC所在平面内一点 D为BC边中点 且2 0 那么 A B 2C 3D 2 答案A 评析 本题利用平行四边形法则化简向量式 3 求向量的长度追本溯源 线段AB的长度就是向量的长度 因此 求向量的长度的问题可转至求线段AB或BA的长度问题 典例3已知在同一平面内的向量a与b垂直 向量c与向量a的夹角为60 且 a 1 b c 2 则向量r a b c的模等于 4或2 解析 根据题意在平面内作出向量a b c有两种情况 如图所示 在图1中 a b与c同向且模相等 r a b c 2c r 2 c 2 2 4 在图2中 a b与c模相等 以它们为邻边的平行四边形为菱形 r a b c 2a r 2 a 2 1 2 典例4在 ABC中 已知D是AB边上一点 若 2 则 A B C D 答案 A 评析 本题考查向量的加减运算 快速解题 快解 题目的形式暗示结果为一定值 则过重心G的任意直线都符合题意 不防设EF BC 则 故 3 方法与技巧 填空不需要推证步骤 只要得到正确结果就能得分 能找到符合题意的特殊情况 就可以使做题效率大大提高 详解用到了共线向量的概念及向量的加法运算和减法运算 若此题为解答题 则需要掌握详解的思路和方法 得分主要部分 由 表出 再由E G F共线得到EG kFG 求出 的关系 从而可求出 的值 易丢分原因 是否能由 表示出至关重要 之后能不能利用二者共线 也严重影响下面的步骤 另外 得到 k的两个等式后不知消去k 而求 同求不出结果 这样丢分最为遗憾 教师备选 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 用向量方法研究平面几何问题的步骤 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 3 把运算结果 翻译 成几何关系 向量集数与形于一身 既有代数的抽象性又有几何的直观性 因而向量方法是几何研究的一个有力工具 而 三步曲 给出了利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想 在解决平面几何问题时 将几何问题转化为向量问题是关键 对具体问题是选用向量几何法还是用向量的坐标法是难点 利用向量的坐标法有时会给解决问题带来方便 在用向量法证明时 一定要把向量结论还原为几何问题 下面举例说明 评析 利用向量方法求轨迹 关键是由图形中的一些线段 得到向量之间的关系 并运用向量的知识进行解决 如向量的数量积 向量的模的运算等 课时作业二十四平面向量的概念及线性运算 一 选择题1 基础题 易 已知 R 则下列命题正确的是 A a a B a aC a a D a 0 解析 当 0时 a a 不成立 a 应该是一个非负实数 而非向量 所以B不正确 当 0或a 0时 a 0 D错误 故选C 答案 C 答案 C 3 基础题 易 已知平面内有一点P及一个 ABC A 点P在 ABC外部B 点P在线段AB上C 点P在线段BC上D 点P在线段AC上 答案 D 4 基础题 易 O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 0 则点P的轨迹一定通过 ABC的 A 外心B 垂心C内心D 重心 答案 D 5 2010 苏州模拟 能力题 中 已知点I为 ABC内任意一点 若 2 0 则下列结论一定成立的是 A AB BC CAB AB BCC AB CAD BC CA 答案 D 解析 设AB中点为D 2 2 0 所以 又因为D为中点 所以有BC CA 选D 解析 由向量的减法知 选B 6 基础题 易 若O E F是不共线的任意三点 则以下各式中成立的是 A B C D 答案 B 二 填空题7 能力题 中 如图平面内有三个向量 其中与的夹角为120 与的夹角为30 且 1 23 若 R 则 的值为 6 8 能力题 中 如图 在 ABC中 点O是BC的中点 过点O的直线分别交直线AB AC于不同的两点M N 若 m n 则m n的值为 2 解析 由于MN的任意性可用特殊位置法 当MN与BC重合时知m 1 n 1 故m n 2 填2 9 基础题 易 已知向量a b是两个非零向量 则在下列四个条件中 能使a b共线的条件是 2a 3b 4e 且a 2b 3e 存在相异实数 使 a b 0 x a y b 0 实数x y满足x y 0 已知梯形ABCD中 a b 将正确的序号填在横线上 解析 由 得 10a b 0 故 对 正确 对于 当x y 0时a与b不