我的收藏-2013届数学(理)第一轮第6章 第40讲 二元一次.ppt

第六章 不等式 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 第40讲 求目标函数的最值 截距 点评 把线性目标函数转化为一簇平行线 是图解法的核心 本题求目标函数z 2x y的最大值 最小值 其实是求直线y 2x z在y轴上的截距的最小值和最大值 但x y是受条件约束的 我们想知道的是过哪些点可以达到目的 因此 下列步骤是必需的 先画出二元一次不等式组表示的平面区域 即可行域 求直线的交点A B C的坐标 当然 如果图画得准确 B点坐标可以不求 再作直线l 2x y 0 发现将直线上下平移到过可行域的顶点时 取得最值 所以 将点的坐标代入就可以了 求目标函数的最值 距离 斜率 点评 在线性规划中 形如z x a 2 y a 2型的 或可以化为此类型的 目标函数都可以转化为求可行域内的点 x y 与点 a b 的距离的平方 特别提醒 是 距离的平方 而非 距离 的最值问题 通过点与点的距离或点到直线的距离公式求解 而形如型的则转化为可行域内的点 x y 与点 a b 连线的斜率来求 解析 作出可行域如右图中的阴影部分 ABC 图中各点的坐标分别为A 4 0 B 3 4 C 0 3 D 1 1 由图可知x2 y2的最小值是原点到直线AC 3x 4y 12 0的距离的平方 最大值是线段OB的长度的平方 利用线性规划解决实际问题 例3 某厂拟生产甲 乙两种试销产品 每件销售收入分别为3千元 2千元 甲 乙产品需要在A B两种设备上加工 在每台设备A B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时 2小时 加工一件乙产品所需工时分别为2小时 1小时 A B两种设备每月有效使用时数分别为400和500 如何安排生产可使收入最大 点评 本题是利用线性规划的基础知识和图解法解决生活中的实际问题 首先要弄清题意 找出变量的约束条件 列出目标函数 然后由约束条件画出可行域 最后在一组平行线中 找出在可行域内过A点的直线 把点代入可得到最大值 即收入最大 变式练习3 两种大小不同的钢板可按下表截成A B C三种规格成品 某建筑工地需A B C三种规格的成品分别为15 18 27块 问怎样截这两种钢板 可得所需三种规格成品 且所用钢板张数最少 通过在可行域内画网格发现 经过可行域内的整点且与原点距离最近的是B 3 9 和C 4 8 它们都是最优解 所以 要截得所需三种规格的钢板 且使所截两种钢板的张数最少 有下面两种方法 截第一种钢板3张 第二种钢板9张 截第一种钢板4张 第二种钢板8张 两种方法都最少要截两种钢板共12张 1 表示图中阴影部分的二元一次不等式组为 5 制定投资计划时 不仅要考虑可能获得的赢利 还要考虑可能出现的亏损 某投资人打算投资甲 乙两个项目 据预测 甲 乙两个项目可能的最大赢利率分别是100 和50 可能的最大亏损率分别为30 和10 投资人计划投资金额不超过10万元 要求确保可能的资金亏损不超过1 8万元 问投资人对甲 乙两个项目各投资多少万元 才能使可能的赢利最大 本节内容考查数形结合的数学思想 主要以三种方式进行 一是直接给出线性约束条件和线性目标函数 求区域的面积和线性目标函数在区域内的最值 二是要求按给出的二元一次不等式组和画出的几个图象 判断哪一个是正确的 或要求按给出图象写出所表示的二元一次不等式组 三是利用线性规划知识解决实际问题 1 二元一次不等式 组 表示的区域的判定方法 1 函数y kx b表示的直线将平面分成上下两部分 则 2 方程x a表示的直线将平面分成左右两部分 则 对于y a的情形参照上表 3 方程Ax By C 0 B 0 表示的直线将平面分成上下两部分 则 4 特殊点判别法 将原点 0 0 代入二元一次不等式 组 若成立 则表示包含原点的区域 若不成立 则表示另外的区域 2 解线性规划应用问题的一般步骤 1 设变量 分析题意 写出约束条件和目标函数 2 作出相应的图象 找出可行域 注意边界 求出交点坐标 3 作出直线l0 ax by 0 4 找出最优解 确定直线l0的平移方向 依可行域判断取得最优解的点 5 求出目标函数的最大值 最小值 3 运用线性规划解题时需注意的几