函数单调性和曲线凹凸性.ppt

3 4 函数单调性和曲线凹凸性 一 函数单调性的判定法 f x 0 f x 0 定理1 函数单调性的判别法 1 若 x a b 有f x 0 则y f x 在 a b 上单调增加 2 若 x a b 有f x 0 则y f x 在 a b 上单调减少 设y f x C a b 且在 a b 内可导 证 x1 x2 a b 且x1 x2 由于 x1 x2 a b 故f x C x1 x2 且在 x1 x2 内可导 1 若f x 0 则f 0 故f x2 f x1 0 即f x2 f x1 2 若f x 0 则f 0 故f x2 f x1 0 即f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 x2 根据Lagrange中值定理 得出 由x1 x2在 a b 上的任意性知f x 在 a b 上单调增加 于是f x 在 a b 上单调减少 例1 讨论y lnx在 0 上的单调性 解 由定理1知y lnx在 0 内单调增加 例2 讨论f x x3 6x2 9x 3的单调性 解 f x 3x2 12x 9 以x1 1 x2 3为界将f x 的定义域 分成三个部分区间 1 1 3 3 当x0 当1 x 3时 f x 0 当x 3时 f x 0 3 x 1 x 3 所以f x 单调增加 所以f x 单调减少 所以f x 单调增加 故f x 在 1 3 内单调增加 在 1 3 内单调减少 例3 讨论f x x3的单调性 解 因为f x 3x2 0 x 0 由定理1知f x x3在 0 和 0 内均单调增加 这里x 0时f 0 0 但x0时 有f 0 f x 故f x x3在定义域 内单调增加 y x 0 利用上面性质证明 x 0时x ln 1 x y f x f x 0 思考问题 二 曲线的凹凸性及其判定法 o x y x1 x2 f x1 f x2 A B 在曲线y f x 上任取两点A x1 y1 和B x2 y2 固定t 0 1 得 x1 x2 内一点 t 0 1 则弦AB的参数方程为 o x y x1 x2 f x1 f x2 A B 这时 弦上对应点纵坐标为 而曲线弧上对应点纵坐标为 有 x1 x2 f x1 f x2 A B 有 定义1 设f x C a b x1 x2 a b x1 x2 和t 0 1 若有 则称曲线y f x 在 a b 上是凹的 凸的 o x y 定理2 设f x C a b 且在 a b 内可导 则曲线y f x 在 a b 上为凹的 凸的 充分必要条件是f x 在 a b 内单调增加 减少 定理3 曲线凹凸的判别法 设f x C a b 且在 a b 内具有二阶导数 1 若 x a b 有f x 0 曲线y f x 在 a b 上是凹的 2 若 x a b 有f x 0 曲线y f x 在 a b 上是凸的 例4 讨论曲线y lnx在 0 内的凹凸性 解 由定理3知曲线y lnx在 0 内是凸的 例5 讨论曲线y x3的凹凸性 解 y 6x 当x 0时 y 0 当x 0时 y 0 这里点 0 0 称曲线y x3的拐点 故y x3在 0 内是凸弧 故y x3在 0 内是凹弧 一般地 设f x C U x0 若曲线y f x 在点 x0 f x0 处左右两侧凹凸性相反 则称 x0 f x0 为该曲线的拐点 定义1中有 y f x 凹 f tx1 1 t x2 tf x1 1 t f x2 特别地取 y f x 凹 例6 利用上式证明x 0 y 0且x y时 有 其中n 1 证 令f t tn t 0 f t n n 1 tn 2 0 t 0 故t 0时f t 的曲线为凹的 取x 0 y 0得 3 5函数的极值与最大值最小值 有f x f x0 则称f x0 为f x 的一个极大值 极值的概念是一个局部性的概念 f x f x0 定义1 设f x 在U x0 内有定义 若 极小值 极小值点 点x0称为极大值点 一 函数的极值及其求法 定理1 Fermat 若f x 在x0可导 且在x0取得极值 则f x0 0 使f x 为零的点称为f x 的驻点 1 可导函数的极值点必是驻点 但其逆命题不成立 2 连续函数在其导数不存在的点处 也有可能取得极值 例如y x3在x 0处不取极值 例如y x 在x 0处有极小值f 0 0 1 当x0 当x x0时 f x 0 则f x 在x0处取极大值 2 当xx0时 f x 0 则f x 在x0处取极小值 定理2 判别条件I 设f x C U x0 在 可导 证 1 在 当x0 故f x 单调增加 有 f x f x0 当x x0时 f x 0 故f x 单调减少 也有 f x f x0 从而 有f x f x0 即f x0 为极大值 同理证 2 例1 求f x x3 3x2 9x 5的极值 解 f x 3x2 6x 9 3 x 1 x 3 令f x 0解得驻点x1 1 x2 3 x 1 x0 x 1时f x 0 x 3 x3时f x 0 极大值f 1 10 极小值f 3 22 解 x0时 f x 0 故得极小值f 0 0 定理3 判别条件II 设f x 在U x0 内二阶可导 且f x0 0 f x0 0 则 1 当f x0 0时 f x 在x0取极大值 2 当f x0 0时 f x 在x0取极小值 证 1 由f x0 0时 按定义得 根据极限保号性 在U x0 内有 又由于f x0 0所以 当x0 x x0时f x 0 同理可证 2 于是在U x0 内 从而由定理2知f x 在x0取极大值 例3 求 的极值 解 f x 以2 为周期 故考虑区间 0 2 令f x cosx sinx 0 又 有 得驻点 由定理3知 由周期性知 分别为f x 的极大值点和极小值点 二 曲线的拐点 若f x C a b 且在 a b 内可导 则 x0 f x0 是y f x 拐点 x0是f x 极值点 定理4 若f x0 存在 且点 x0 f x0 是曲线y f x 的拐点 则 f x0 0 定理5 拐点的充分条件 设f x C U x0 且在 内二阶可导 若f x x0的两侧符号相反 则 x0 f x0 是拐点 例4 确定曲线y 3x4 4x3 1的凹凸和拐点 解 由 x1 0 显然x0 故曲线在 0 和 上为凸的 例5 确定曲线 解 在x 0处y 不存在 但 x0 x 0 y 0 故曲线在 0 内为凸 在 0 内为凹 三 函数的最值及其应用 设f x C a b 其中x1 x2 xn a b 是f x 的驻点 或导数不存在的点 例6 求f x x4 8x2 2在 1 3 上的最大值和最小值 解 f x 4x3 16x 4x x 2 x 2 令f x 0得驻点x1 0 x2 2 x3 2 舍去 计算f 0 2 f 2 14 f 1 5 f 3 11 所以最小值f 2 14 最大值f 3 11 例7 求f x x2e x的最大值和最小值 解 f x 在定义域 上连续可导且f x x 2 x e x 令f x 0得驻点x 0 x 2 有f 0 0 f 2 4e 2 且 故f x 在定义域内有最小值f 0 0 无最大值 y x2e x 0 2 1 f x C a b 且在 a b 内只有唯一极值点x x0 则当f x0 极大时便也最大 当f x0 极小时便也最小 特例 2 f x C a b 且在 a b 内单调增加 则f a 最小 f b 最大 单调减少则相反 最优化问题 1 根据问题的假设和条件建立目标函数 y f x 2 求最优解 最值或最值点 例6 做一个容积为V0的带盖圆柱形铁皮桶 问当底半径r和高h各为多少时 能使所用材料最省 解 1 目标函数 表面积 S 2 rh r2 2 由条件 r2h V0 故 2 求解 令S r 0得驻点 当r 0时因其唯一 故也是最小值点 于是当 时 S最小 故所用材料能最 省 此时 思考问题 例7 某企业开发出一种新产品 已知生产销售x件产品所需成本费用C 25000 5x 元 若每件产品销售价为 问生产销售多少件 产品 能使企业的利润最大 这时每件产品的销售价定为多少 解 目标函数 x P C 利润L 收