第三讲 空间位置关系与综合题目的向量解法.doc

交流试题 会员交流资料 第三讲空间位置关系与综合题目的向量解法知识梳理知识盘点一平行关系（1）所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有个。（2）所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的直线，一个平面的法向量也有个。1线线平行证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量是，也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向量。2线面平行证明线面平行的方法：（1）证明直线的方向向量与平面的法向量；（2）证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量；（3）利用共面向量基本定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量是。3面面平行的证明方法：（1）转化为、处理；（2）证明这两个平面的法向量是。二垂直关系4线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是；5线面垂直的证明方法：（1）证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是；（2）证明直线与平面内的；6面面垂直的证明方法：（1）转化为证明、；（2）证明这两个平面的法向量是。特别提醒1.用向量证明立体几何问题，有两种基本思维：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；别一种是用向量的坐标表示几何量，共分为三步进行判断：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量的运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题。2用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理。例如要证明线面平行，只需要证明平面中的一条直线和平面内的一条直线平行，即转化为证明线线平行问题，也就是用向量方法证明直线时，只需要证明直线的方向向量共线即可。3向量作为沟通“数”与“形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体，只有掌握了向量运算的各种几何意义，才能较好地利用向量这一工具解决实际问题。4以柱体、锥体为依托，考查空间中的线线、线面、面面关系，以及角和距离是高考的“热点”，在角题时，应深入挖掘里面的特殊关系，尤其是垂直关系，建立空间直角坐标系，是解决此类问题的关键。基础闯关1正方体中，是的中点，是底面的中心，是棱上任意一点，则直线与直线所成的角是( )(A) (B) (C) (D)与点的位置有关2在正方体中，是底面的中心，分别是棱、的中点，则直线( )(A)是与的公垂线 (B)垂直于，但不垂直于(C)垂直于，但不垂直于 (D)与、都不垂直3在正方体中，是异面直线和的公垂线，则直线与的关系是( )(A)异面直线 (B)平行直线 (C)垂直但不相交 (D)垂直相交4空间中有四点，其中，且，则直线和( )(A)平行 (B)平行或重合 (C)必定相交 (D)必定垂直5设是平面外一点，点满足，则直线与平面的位置关系是。6已知矩形中，平面，且，若在边上存在一点，使得，则的取值范围是。典例精析例1已知是正三棱柱，是的中点，求证：平面剖析证明线面平行问题，可以有以下三种方法：(1)利用线面平行的判断定理，转化为线线平行问题；(2)向量与两个不共线的向量共面的充要条件是存在实数对，使得，利用共面向量基定理可以证明线面平行问题；(3)设为平面的法向量，要证明直线平面，只需要证明即可。zCxDyBAC1B1A1解证法一：建立如图所示的空间直角坐标系，设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则 从而设平面的法向量，由，得取，得，由，得，即平面.证法二：如图所示，记，则，共面， 平面，平面警示利用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直关系问题，主要运用了直线的方向向量与平面的法向量的，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理。另外，利用向量知识解题，一般不需要添加辅助线，只是利用向量运算及向量基本定理，把要证明的直线或平面用该平面内的向量表示即可。变式训练NMD1DCBAC1B1A11 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为，分别是和上的点，求证：平面.例2(2006年山东高密调研)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F 分别是AB、PB的中点.（）求证：EFCD；（）在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论。剖析证明线线垂直问题，可以利用线线垂直的判定定理，或者证明这两条直线的方向向量的内积为零。 解以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，则D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)，、（）（）警示本题是一道开放型的综合题目，以四棱锥为载体，考查线线垂直、线面垂直关系，对于此类问题，要掌握柱休与锥体特有的性质、关系，在解题时要充分利用，从而找出隐含条件，促使问题的解决。变式训练2正方体的边长为4，分别是棱的中点，求证：平面平面.例3(2006年河南开封)已知正四棱柱中，分别为的中点，平面.（I）求二面角平面角的正切值；（II）求点到平面的距离剖析由于题设中条件中已知平面，而可知的方法向量即为平面的法向量。解 （1）如图建立坐标系，设zABCDxyA1B1C1D1MN故、 即向量与面垂直设与面BDN垂直，则即 设所求二面角为，则， （2）由，在向量方向上的投影为，所以到面的距离为警示若问题的题设中存在垂直关系时，建立空间直角坐标系大多较为方便；如果不存在时，应选好基底进行运算，或采用传统的欧氏几何法加以证明。变式训练3. 如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB2，E是PB的中点，）（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；（2）在平面PAD内求一点F，使EF平面PCB例4在正方体中，分别是的中点。(1)证明：平面平面；(2)在上求一点，使得平面.剖析证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判断定理，转化为证明线面垂直、线线垂直的问题去证明，二是证明两个平面的法向量互相垂直。zyxFEMD1A1C1B1DCBA解（1）建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则，设平面的法向量为，则，令，得，同理可得平面的法向量.，平面平面.（2）由于点在直线上，设可得，要使平面，需有，解得.故当时，平面.警示平面的法向量是指所在直线与平面垂直的问题，它在解决立体几何问题中有着非常重要的应用。一个平面的法向量有无穷多个，一般来说，我们只需求出其中最简单的一个即可。求法向量的方法一般是用待定系数法，即设出平面法向量的坐标，然后根据与平面内的两个不共线的向量都垂直，即数量积为0，建立方程组进行求解。变式训练：4如图，ABCD是边长为的正方形，ABEF是矩形，且二面角CABF是直二面角，G是EF的中点，（）求证平面平面；（）求GB与平面AGC所成角的正弦值. 例5（2006年湖北卷）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.（）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；（）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.剖析解决探索性题目的一般方法是假设存在，然后据此并结合已知条件进行推理和计算 ，若没有矛盾，则假设成立，否则假设错误，也就是说不存在。为此本题可先假设符合条件的存在，并结合已知条件进行推导。解()建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，为平面的一个法向量。设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。（）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1QAP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求。警示空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性的问题，它不必进行复杂繁难的作图、论证和推理，只需要通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”的问题，转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的解”等等，所以使问题简单、有效地得以解决，在复习中要注意运用这一方法解题。变式训练5（2006年江西卷）如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD，BDCD1，另一个侧面是正三角形DCBA（1） 求证：ADBC（2） 求二面角BACD余弦值的大小（3） 在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。例6(2006年上海春)四棱锥中，底面是一个平行四边形，.(1)求证：底面；(2)求四棱锥的体积；(3)对于向量，定义一种运算：，试计算的绝对值，说明其与四棱锥体积的关系，并由此猜测向量这一运算的绝对值的几何意义。剖析要证底面，只需证明是底面的一个法向量即可。解(1)又是底面内的两条相交直线，底面.(2)设与的夹角为，则.(3)，它是四棱锥体积的3倍。据此可以猜测：在几何意义上表示以为棱的平行六面体的体积。警示本题是一道探索性的新定义题目，对应新定义问题的解决，一定要读懂题目中所给出的定义，只有理角清楚了新定义的含义，才能准确地解决该题。变式训练6(2006年上海南汇区)直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形，BAC=900，AB=AC=2，AA=2，E, F分别是BC、AA1的中点。求（1）异面直线EF和A1B所成的角。（2）直三棱柱ABC-A1B1C1的体积。能力提升1若向量夹角的余弦值是，则的值为( )(A)2 (B)2(C)2或(D)2或2直线的方向向量为，平面内两共点向量，下列关系中能表示的是（）（A）= （B）= （C）= (D)以上均不能3以下向量中与向量a（1,2,3），b（3,1,2）都垂直的向量为（）（A）(1,7,5) （B）(1,7,5) （C）(1，7,5)（D）（1，7，5）4在正方体中，棱长为，分别是和上的点，则与平面的关系是( )(A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定 5已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底ABC为直角三角形，C=90；侧棱与底面成60角，B1点在底面射影D为BC中点,若侧面A1ABB1与C1CBB1成30的二面角，BC=2cm，则四棱锥AB1BCC1的体积是（ ） （） （） （） （） 6在空间四边形中，分别是和对角线的中点，则平面与平面的位置关系是。7在正方体中，分别是与的中点，则与所成的角为。8设正四棱锥S-ABCD的侧棱之长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角等于。9在正三棱锥中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则 10已知三棱锥P-ABC中,PA=PC, APC=ACB=900, BAC=300, 平面PAC平面PBC.求证: 平面PAB平面PBC.11. （2007年高考新方案）如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABC=BCD = 90，AB = BC = PB = PC = 2CD，侧面PBC底面ABCD （1）证明：PABD； （2）求二面角P BD C的正切值； （3）求证：平面PAD平面PAB12. (2006年山东济宁)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,AB=BC=a,AA1=2AB，M为CC1上的点.（）当M在C1C上的什么位置时，B1M与平面AA1C1C所成的角为30；（）在（）的条件下求B到平面AMB1的距离. 仿真训练一选择题1在下列命题中：若、共线，则、所在的直线平行；若、所在的直线是异 面直线，则、一定不共面；若、三向量两两共面，则、三向量一定也共面；已知三向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 其中正确命题的个数为 （ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)32已知（ ）(A)15(B)5(C)3(D)13已知（2，1，3），（1，4，2），（7，5，），若、三向量共 面，则实数等于 （ ）(A) (B) (C) (D)4直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 则 （ ）(A)+ (B)+ (C)+ (D)+5已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为 （ ）(A)2 (B)3 (C)4 (D)56将正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面BCD，若E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值为（A） （B） （C）2 （D）7已知为平面外一点，为的两条斜线段，若，与所成的角的差为45，则的长为（ ）(A)4 (B)6或8 (C)4或6 (D)88已知，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为 （ ）ABCC1A1B1D1F1(A) (B) (C) (D)9（2006年广西柳州）如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=900，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （ ）（A） （B） （C） （D） 10在三棱锥ABCD中，AB=CD=2，E、F分别是AC、BD的中点，且EF=，则AB与CD所成的角为：( ) （） 30 （） 60 （） 90 （） 120BACD11(2007上海浦东)右图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为（ ）（A）（B）（C）（D）12（2006年黄冈）如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H分别为DE、AC的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，BG与DH所成的角的余弦值为（）（A）0 （B） （C） （D）二填空题13若A(m1，n1,3)，B(2m,n,m2n)，C(m3,n3,9)三点共线，则m+n= 14在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则 15（2005年山东模拟）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且满足，则点到平面的距离是.16在长方体中，和与底面所成的角分别为600和450，则异面