2019年吉林单招文科数学模拟试题(一)【含答案】.doc

2019年吉林单招文科数学模拟试题（一）【含答案】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1已知全集U=Z，A=3，1，2，B=1，2，3，则AUB为（）A3，1 B1，2 C3 D3，22复数z满足方程=i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知两个单位向量，的夹角为60，=（1t）+t，若=，则t等于（）A1 B1 C2 D24下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）Af（x）= Bf（x）= Cf（x）=2x2x Df（x）=tanx5已知“x2”是“x2a（aR）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A（，4） B（4，+） C（0，4 D（，46已知角是第二象限角，直线2x+（tan）y+1=0的斜率为，则cos等于（）A B C D7执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A16 B8 C4 D28已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f（x）=x3x，则函数y=f（x）的图象在区间0，6上与x轴的交点的个数为（）A6 B7 C8 D99在ABC中，A=60，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A B3 C2 D10为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）Ame=m0= Bme=m0 Cmem0 Dm0me11过点O（0，0）作直线与圆（x4）2+（y8）2=169相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为（）A B C D12已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥OABCD的侧面积为（）A20+8 B44 C20 D46二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若变量x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为14如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为15将函数f（x）=cos2x+sin2x的图象向左平移m（m0）单位后所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为16已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a0，b0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知Sn为等差数列an的前n项和，S6=51，a5=13（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn的通项公式是bn=，求数列bn的前n项和Sn18某中学高三（10）班有女同学51名，男同学17名，“五四”期间该班班主任按分层抽样的分法组建了一个由4名同学组成的“团的知识”演讲比赛小组（）演讲比赛中，该小组决定先选出两名同学演讲，选取方法是：先从小组里选出1名演讲，该同学演讲完后，再从小组内剩下的同学中选出一名同学演讲，求选中的两名同学恰有一名女同学的概率；（）演讲结束后，5位评委给出第一个演讲同学的成绩分别是：69、71、72、73、75分，给出第二个演讲同学的成绩分别是：70、71、71、73、75分，请问哪位同学的演讲成绩更稳定，并说明理由19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，ACBC，E分别在线段B1C1上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4（1）求证：BCAC1；（2）试探究：在AC上是否存在点F，满足EF平面A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由20设函数f（x）=alnxbx2（x0）（1）若函数f（x）在x=1处于直线y=相切，求函数f（x）在，e上的最大值；（2）当b=0时，若不等式f（x）m+x对所有的a1，x1，e2都成立，求实数m的取值范围21在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为且过点（3，1）（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线lMN，直线l是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由选修4-1：几何证明选讲22选修41：几何证明选讲如图，已知PA是O的切线，A是切点，直线PO交O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交O于点E，若PA=2，APB=30（）求AEC的大小；（）求AE的长选修4-4：极坐标与参数方程23选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（23sin，3cos2），其中R在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为cos（）=a（）判断动点A的轨迹的形状；（）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|+|xa|（1）若a=2，解不等式f（x）2；（2）若a1，xR，f（x）+|x1|1，求实数a的取值范围2019年吉林单招文科数学模拟试题（一）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1已知全集U=Z，A=3，1，2，B=1，2，3，则AUB为（）A3，1 B1，2 C3 D3，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据题意利用补集的定义求得UB，再根据两个集合的交集的定义求得AUB【解答】解：U=Z，A=3，1，2，B=1，2，3，UB=，2，1，0，4，5，6，则AUB=3，故选：C2复数z满足方程=i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由=i，得，然后利用复数代数形式的除法运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：由=i，得，即z=1+i则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）位于第一象限故选：A3已知两个单位向量，的夹角为60，=（1t）+t，若=，则t等于（）A1 B1 C2 D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】可知，进行数量积的运算即可由得出关于t的方程，解出t即可【解答】解：=；解得t=2故选D4下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）Af（x）= Bf（x）= Cf（x）=2x2x Df（x）=tanx【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即可得到答案【解答】解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2x2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C5已知“x2”是“x2a（aR）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A（，4） B（4，+） C（0，4 D（，4【考点】充要条件【分析】由x2得到x24，根据充分不必要条件的概念得：a4【解答】解：由题意知：由x2能得到x2a；而由x2a得不出x2；x2，x24；a4；a的取值范围是（，4故选：D6已知角是第二象限角，直线2x+（tan）y+1=0的斜率为，则cos等于（）A B C D【考点】直线的斜率【分析】表示出k，求出tan，根据角是第二象限角，求出cos即可【解答】解：由题意得：k=，故tan=，故cos=，故选：D7执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A16 B8 C4 D2【考点】程序框图【分析】已知b=8，判断循环条件，i8，计算循环中s，i，k，当x8时满足判断框的条件，退出循环，输出结果s即可【解答】解：开始条件i=2，k=1，s=1，i8，开始循环，s=1（12）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i8，继续循环，s=（24）=4，i=6，k=3，i8，继续循环；s=（46）=8，i=8，k=4，88，循环停止，输出s=8；故选B：8已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f（x）=x3x，则函数y=f（x）的图象在区间0，6上与x轴的交点的个数为（）A6 B7 C8 D9【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性【分析】当0x2时，f（x）=x3x=0解得x=0或x=1，由周期性可求得区间0，6）上解的个数，再考虑x=6时的函数值即可【解答】解：当0x2时，f（x）=x3x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间0，6上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间0，6上与x轴的交点的个数为7故选B9在ABC中，A=60，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A B3 C2 D【考点】三角形中的几何计算【分析】根据三角形的面积公式求得丨AB丨，cosA=，sinA=，求得丨AD丨，丨BD丨在BDC中利用勾股定理即可求得BC的长度【解答】解：在图形中，过B作BDACSABC=丨AB丨丨AC丨sinA，即丨AB丨3sin60=，解得：丨AB丨=2，cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2=，丨CD丨=丨AC丨丨AD丨=31=2，在BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A10为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）Ame=m0= Bme=m0 Cmem0 Dm0me【考点】众数、中位数、平均数【分析】根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案【解答】解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数me=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=5.97；则有m0me，故选：D11过点O（0，0）作直线与圆（x4）2+（y8）2=169相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为（）A B C D【考点】几何概型【分析】利用圆的标准方程求出圆的圆心及半径，求出当直线与圆心和（0，0）连线垂直时的弦长即最短的弦长，求出直径即最大的弦长，求出最大弦长与最小弦长之间的所有的直线条数，选出长度不超过14的直线条数，利用古典概型概率公式求出概率【解答】解：（x4）2+（y8）2=169的圆心为（4，8），半径为13，（0，0）在圆的内部且圆心与（0，0）的距离为12过点O（0，0）作的直线中，最短的弦是直线与圆心和（0，0）连线垂直最短的弦长为2=10，过点O（0，0）作的直线中，最长的弦是直径，其长为26弦长均为整数的所有直线的条数有2（2510）+2=32其中长度不超过14的有：10，11，11，12，12，13，13，14，14共9条所以长度不超过14的概率为故选C12已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥OABCD的侧面积为（）A20+8 B44 C20 D46【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积【解答】解：由题意可知四棱锥OABCD的侧棱长为：5所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥OABCD的侧面积为：S=46+2=44故选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若变量x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为4【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，2），化目标函数z=2xy为y=2xz，由图可知，当直线y=2xz过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4故答案为：414如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】首先还原几何体为正方体和三棱锥的组合体，分别计算体积得到所求【解答】解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15将函数f（x）=cos2x+sin2x的图象向左平移m（m0）单位后所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用y=Asin（x+）的图象变换规律求得所得图象对应的函数解析式，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，诱导公式，求得m的最小值【解答】解：将函数f（x）=cos2x+sin2x=cos（2x）的图象向左平移m（m0）单位后，得到y=cos（2x+2m）的图象，由于所得图象关于y轴对称，2m=k，kZ，则m的最小值为，故答案为：16已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a0，b0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为为x2=1【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得a=2b，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a0，b0）一条渐近线的方程为axby=0，抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a0，b0）渐近线的距离为，2b=a，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，FF1=3，c2+4=9，c=，c2=a2+b2，a=2b，a=2，b=1，双曲线的方程为x2=1故答案为：x2=1三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知Sn为等差数列an的前n项和，S6=51，a5=13（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn的通项公式是bn=，求数列bn的前n项和Sn【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定【分析】（1）设等差数列an的公差为d，利用S6=51，求出a1+a6=17，可得a2+a5=17，从而求出a2=4，可得公差，即可确定数列an的通项公式；（2）求出数列bn的通项公式，利用等比数列的求和公式，可得结论【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，则S6=51，（a1+a6）=51，a1+a6=17，a2+a5=17，a5=13，a2=4，d=3，an=a2+3（n2）=3n2；（2）bn=28n1，数列bn的前n项和Sn=（8n1）18某中学高三（10）班有女同学51名，男同学17名，“五四”期间该班班主任按分层抽样的分法组建了一个由4名同学组成的“团的知识”演讲比赛小组（）演讲比赛中，该小组决定先选出两名同学演讲，选取方法是：先从小组里选出1名演讲，该同学演讲完后，再从小组内剩下的同学中选出一名同学演讲，求选中的两名同学恰有一名女同学的概率；（）演讲结束后，5位评委给出第一个演讲同学的成绩分别是：69、71、72、73、75分，给出第二个演讲同学的成绩分别是：70、71、71、73、75分，请问哪位同学的演讲成绩更稳定，并说明理由【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式【分析】（）由题意推导出演讲小组中男同学有1人，女同学有3人由此能求出选出的两名同学恰有一名女同学的概率（）由已知条件分别求出两个演讲的同学的方差，由此能求出哪位同学的成绩更稳定【解答】解：（）由题意知：P=设演讲比赛小组中有x名男同学，则6817=4x，x=1，演讲小组中男同学有1人，女同学有3人把3名女生和1名男生分别记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a1），（a2，a3），（a2，b），（a3，a1），（a3，a2），（a3，b），（b，a1），（b，a2），（b，a3）共12种其中恰有一名女同学的情况有6种，所以选出的两名同学恰有一名女同学的概率为P=（）x1=51（69+71+72+73+75）=72，x2=51（70+71+71+73+75）=72，=51（6972）2+（7172）2+（7272）2+（7372）2+（7572）2=4，=51（7072）2+（7172）2+（7172）2+（7372）2+（7572）2=3.2因此第二个演讲的同学成绩更稳定19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，ACBC，E分别在线段B1C1上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4（1）求证：BCAC1；（2）试探究：在AC上是否存在点F，满足EF平面A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由【考点】直线与平面平行的性质【分析】（1）根据线面垂直的判定定理只要证明BC面AA1C1C，即可（2）根据线面平行的判定定理和性质定理，即可确定F的位置【解答】解：（1）AA1面ABC，BC面ABC，BCAA1又BCAC，AA1，AC面AA1C1C，AA1AC=A，BC面AA1C1C，又AC1面AA1C1C，BCAC1（2）（法一）当AF=3FC时，FE平面A1ABB1理由如下：在平面A1B1C1内过E作EGA1C1交A1B1于G，连结AGB1E=3EC1，EG=43A1C1，又AFA1C1且AF=43A1C1，AFEG且AF=EG，四边形AFEG为平行四边形，EFAG，又EF面A1ABB1，AG面A1ABB1，EF平面A1ABB1（法二）当AF=3FC时，FE平面A1ABB1理由如下：在平面BCC1B1内过E作EGBB1交BC于G，连结FGEGBB1，EG面A1ABB1，BB1面A1ABB1，EG平面A1ABB1B1E=3EC1，BG=3GC，FGAB，又AB面A1ABB1，FG面A1ABB1，FG平面A1ABB1又EG面EFG，FG面EFG，EGFG=G，平面EFG平面A1ABB1EF面EFG，EF平面A1ABB120设函数f（x）=alnxbx2（x0）（1）若函数f（x）在x=1处于直线y=相切，求函数f（x）在，e上的最大值；（2）当b=0时，若不等式f（x）m+x对所有的a1，x1，e2都成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x）的导数f（x），由条件可得f（1）=且f（1）=0，列出方程，解出a，b即可；（2）当b=0时，f（x）=alnx，已知条件转化为即malnxx对所有的a1，x1，e2都成立，令h（a）=alnxx，则h（a）为一次函数，则mh（a）min由单调性求得最小值，即可得到m的范围【解答】解：（）f（x）=2bx，又函数f（x）在x=1处与直线y=相切，解得 f（x）=lnxx2，f（x）=x=，当x，1），f（x）0，f（x）递增，当x（1，e，f（x）0，f（x）递减即有f（x）的最大值为f（1）=；（2）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）m+x对所有的a1，x1，e2都成立，即malnxx对所有的a1，x1，e2都成立，令h（a）=alnxx，则h（a）为一次函数，mh（a）minx1，e2，lnx0，h（a）在1，上单调递增，h（a）min=h（1）=lnxx，mlnxx对所有的x（1，e2都成立由y=lnxx（1xe2）的导数为y=10，则函数y=lnxx（1xe2）递减，1xe2，lnxx2e2，则m2e2则实数m的取值范围为（，2e221在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为且过点（3，1）（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线lMN，直线l是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由已知条件推导出，同此能求出椭圆C的方程（2）直线l的方程为x=2，设P（2，y0），当y00时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1x2，利用点差法l的方程为，从而得到l恒过定点当y0=0时，直线MN为，由此推导出l恒过定点【解答】解：（1）椭圆C： +=1（ab0）的离心率为且过点（3，1），解得a2=12，b2=4，椭圆C的方程为（2）直线l的方程为x=2，设P（2，y0），当y00时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1x2，联立，又PM=PN，P为线段MN的中点，直线MN的斜率为，又lMN，l的方程为，即，l恒过定点当y0=0时，直线MN为，此时l为x轴，也过点，综上，l恒过定点选修4-1：几何证明选讲22选修41：几何证明选讲如图，已知PA是O的切线，A是切点，直线PO交O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交O于点E，若PA=2，APB=30（）求AEC的大小；（）求AE的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）先连接AB，根据切线的性质以及已知条件得到：AOB=60；再结合OA=OB以及ABC=AEC即可得到结论；（）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出AD，再结合相交弦定理求出DE，二