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文档简介
极限存在准则 两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则; 2、掌握两个常用的不等式;3、会用两个重要极限求极限。【教学内容】1、夹逼准则; 2、单调有界准则; 3、两个重要极限。【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在,并求极限。【教学设计】从有限到无穷,从已知到未知,引入新知识(5分钟)。首先给出极限存在准则(20分钟),并举例说明如何应用准则求极限(20分钟);然后重点讲解两个重要的极限类型,并要求学生能利用这两个重要极限求极限(40分钟);课堂练习(15分钟)。【授课内容】引入:考虑下面几个数列的极限1、1000个0相加,极限等于0。2、无穷多个“0”相加,极限不能确定。3、,其中,极限不能确定。对于2、3就需要用新知识来解决,下面我们来介绍极限存在的两个准则:一、极限存在准则1. 夹逼准则准则 如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在, 且.证: 取上两式同时成立, 当时,恒有 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则 如果当 (或)时,有那么存在, 且等于.准则 I和准则 I称为夹逼准则。【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出与,并且与的极限是容易求的。例1 求解: 由夹逼定理得:【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2. 单调有界准则准则 单调有界数列必有极限.如果数列满足条件,就称数列是单调增加的;如果数列满足条件,就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。几何解释:例2 证明数列(重根式)的极限存在【分析】已知,求。首先证明是有界的,然后证明是单调的,从而得出结论证:1、证明极限存在a) 证明有上界,设,则所以对任意的n,有b) 证明单调上升所以存在2、求极限设,则,解得(舍去)所以=2二、两个重要极限1.如右图所示, 例3 求下列极限(1)解:原极限 (2)解:原极限=1()(3)解:原极限=;2. ,;“”型【说明】(1)上述三种形式也可统一为模型(2)第二个重要极限解决的对象是型未定式。例如,例4 求下列极限(1)解:原极限 (2)解:原极限=【补充】“”型计算公式:其中时,。证明:例5 求下列极限(1)【分析】是幂指数函数,“”型,考虑用“”型计算公式解:=1(2)【分析】是幂指函数,“”型,考虑用“”型计算公式。解:原极限。(3)【分析】是幂指数函数,“”型,考虑用“”型计算公式,但它不是标准型,通过“加1减1”变成标准型。解:原极限=【思考题1】设有k个正数,令=,求 (“大数优先”准则)。解:而,所以由夹逼准则:【思考题2】设,求解:显然 。因为,所以数列有下界。又因为,所以数列单调下降,即存在。设=,则,解得,所以=【思考题3】求;解:原极限=【思考题4】求极限解: 【课堂练习】求 。解:而 ,所以 原极限【内容小结】1、 夹逼准则 当时,有,且=,则。2、单调有界准则
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