中考复习-多种函数交叉综合问题(答案).doc

中考数学专题5 多种函数交叉综合问题 一、选择题1. （2011四川凉山，12，4分）二次函数的图象如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）第12题OxyOyxAOyxBOyxDOyxC 考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象 专题：数形结合 分析：由已知二次函数yax2bxc的图象开口方向可以知道a的取值范围，对称轴可以确定b的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数ybx在同一坐标系内的大致图象 解答：解：二次函数yax2bxc的图象开口方向向下，a0，对称轴在y轴的左边，x0，b0，反比例函数的图象在第二四象限，正比例函数ybx的图象在第二四象限故选B 点评：此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a0；对称轴的位置即可确定b的值2、（2011宜昌，15，3分）如图，直线y=x+2与双曲线y=在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为（）考点：反比例函数与一次函数的交点问题；在数轴上表示不等式的解集。A、B、C、D、分析：因为直线y=x+2与双曲线y=在第二象限有两个交点，联立两方程求出m的取值范围即可，然后在数轴上表示出m的取值范围解答：解：根据题意知，直线y=x+2与双曲线y=在第二象限有两个交点，即x+2=有两根，即x2+2x+3m=0有两解，=44（3m）0，解得m2，双曲线在二、四象限，m30，m3，m的取值范围为：2m3故在数轴上表示为故选B点评：本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的知识点，解答本题的关键是联立两方程解得m的取值范围3、（2011贵州毕节，9，3分）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是( )考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。专题：探究型。分析：分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可解答：解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k0，由一次函数的图象过二、四象限可知k0，两结论相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k0，两结论相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k0，两结论一致，故本选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴可知k0，两结论相矛盾，故本选项错误故选C点评：本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键4、（2011贵阳10，分）如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=k2x的图象交于A（1，3）、B（1，3）两点，若k2x，则x的取值范围是（）A、1x0B、1x1C、x1或0x1D、1x0或x1考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：数形结合。分析：根据题意知反比例函数和正比例函数相交于A、B两点，若要k2x ，只须y1y2，在图象上找到反比例函数图象在正比例函数图象上方x的取值范围解答：解：根据题意知：若k2x ，则只须y1y2，又知反比例函数和正比例函数相交于A、B两点，从图象上可以看出当x1或0x1时y1y2，故选C点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=中k的几何意义这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义5、（2011年山东省东营市，10，3分）如图，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设AOC的面积为S1、BOD的面积为S2、POE的面积为S3，则（）A、S1S2S3 B、S1S2S3 C、S1=S2S3 D、S1=S2S3考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题专题：几何图形问题分析：根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= |k|解答：解：结合题意可得：AB都在双曲线y= 上，则有S1=S2；而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=S2S3故选D点评：本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义6、（2011陕西，8，3分）如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则ABC的面积为 （ ）A3 B4 C5 D6考点：反比例函数综合题。专题：计算题。分析：先设P（0，b），由直线APBx轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数的图象上，可得到A点坐标为（，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可解答：解：设P（0，b），直线APBx轴，A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=的图象上，当y=b，x=，即A点坐标为（，b），又点B在反比例函数y=的图象上，当y=b，x=，即B点坐标为（，b），AB=（）=，SABC=ABOP=b=3故选A点评：本题考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满足函数图象的解析式也考查了与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式7、（2011四川眉山，12，3分）如图，直线y=x+b（b0）与双曲线y=（x0）交于A、B两点，连接OA、OB，AMy轴于M，BNx轴于N；有以下结论：OA=OB，AOMBON，若AOB=45，则SAOB=k，当AB=时，ONBN=1；其中结论正确的个数为（）A1B2 C3 D4考点：反比例函数综合题。专题：计算题。分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=x+b与y=，得x2bx+k=0，则x1x2=k，又x1y1=k，比较可知x2=y1，同理可得x1=y2，即ON=OM，AM=BN，可证结论；作OHAB，垂足为H，根据对称性可证OAMOAHOBHOBN，可证SAOB=k；延长MA，NB交于G点，可证ABG为等腰直角三角形，当AB=时，GA=GB=1，则ONBN=GNBN=GB=1；解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入y=中，得x1y1=x2y2=k，联立，得x2bx+k=0，则x1x2=k，又x1y1=k，x2=y1，同理可得x1=y2，ON=OM，AM=BN，OA=OB，AOMBON，正确；作OHAB，垂足为H，OA=OB，AOB=45，OAMOAHOBHOBN，SAOB=SAOH+SBOH=SAOM+SBON=k+k=k，正确；延长MA，NB交于G点，NG=OM=ON=MG，BN=AM，GB=GA，ABG为等腰直角三角形，当AB=时，GA=GB=1，ONBN=GNBN=GB=1，正确正确的结论有4个故选D点评：本题考查了反比例函数的综合运用关键是明确反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数图象的对称性.8、（2011，四川乐山，,10,3分）如图，直线y=6x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F则AFBE=（）A.8B.6 C.4D. 考点：反比例函数综合题。专题：代数综合题；数形结合。分析：首先作辅助线：过点E作ECOB于C，过点F作FDOA于D，然后由直线y=6x交x轴、y轴于A、B两点，求得点A与B的坐标，则可得OA=OB，即可得AOB，BCE，ADF是等腰直角三角形，则可得AFBE=CEDF=2CEDF，又由四边形CEPN与MDFP是矩形，可得CE=PN，DF=PM，根据反比例函数的性质即可求得答案解答：解：过点E作ECOB于C，过点F作FDOA于D，直线y=6x交x轴、y轴于A、B两点，A（6，0），B（0，6），OA=OB，ABO=BAO=45，BC=CE，AD=DF，PMOA，PNOB，四边形CEPN与MDFP是矩形，CE=PN，DF=PM，P是反比例函数图象上的一点，PNPM=4，CEDF=4，在RtBCE中，BE=，在RtADE中，AF=，AFBE=CEDF=2CEDF=8故选A点评：此题考查了反比例函数的性质，以及矩形、等腰直角三角形的性质解题的关键是注意数形结合与转化思想的应用二、填空题1. （2011江苏南京，15，2分）设函数y=与y=x1的图象的交点坐标为（a，B），则的值为考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：计算题。分析：把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，B的解，整理求得的值即可解答：解：函数y=与y=x1的图象的交点坐标为（a，B），B=，B=a1，=a1，a2a2=0，（a2）（a+1）=0，解得a=2或a=1，B=1或B=2，则的值为故答案为：点评：考查函数的交点问题；得到2个方程判断出a，B的值是解决本题的关键2. （2011江苏苏州，18，3分）如图，已知点A的坐标为（，3），AB丄x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数（k0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D若AB=3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是_（填”相离”，“相切”或“相交“）考点：直线与圆的位置关系；反比例函数图象上点的坐标特征分析：根据D点的坐标为（，1），得出反比例函数解析式，再根据A点坐标得出AO直线解析式，进而得出两图象的交点坐标，进而得出AC的长度，再利用直线与圆的位置关系得出答案解答：解：已知点A的坐标为（，3），AB=3BD，AB=3，BD=1，D点的坐标为（，1），反比例函数解析式为：y= ，AO直线解析式为：y=kx，3= k，k= ，y= x，直线y= x与反比例函数y=的交点坐标为：x=1，C点的横坐标为1，纵坐标为：，CO=2，AC=2-2，CA的 倍= ，CE= ， - = 0，该圆与x轴的位置关系是相交故答案为：相交点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数交点坐标的求法，综合性较强得出AC的长是解决问题的关键3. （2011湖北荆州，16，3分）如图，双曲线 y=2x（x0）经过四边形OABC的顶点A、C，ABC=90，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，ABx轴将ABC沿AC翻折后得ABC，B点落在OA上，则四边形OABC的面积是 2考点：反比例函数综合题；翻折变换（折叠问题）专题：计算题分析：延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB，则OCDOCB，再由翻折的性质得，BC=BC，根据反比例函数的性质，可得出SOCD= 12xy，则SOCB= 12xy，由ABx轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于 12ay，即可得出答案解答：解：延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，CD=CB，OCDOCB，再由翻折的性质得，BC=BC，双曲线 y=2x（x0）经过四边形OABC的顶点A、C，SOCD= 12xy=1，SOCB= 12xy=1，ABx轴，点A（x-a，2y），2y（x-a）=2，ay=1，SABC= 12ay= 12，SOABC=SOCB+SABC+SABC=1+ 12+ 12=2故答案为：2点评：本题是一道反比例函数的综合题，考查了翻折的性质、反比例函数的性质以及角平分线的性质，是中考压轴题，难度偏大4.（2011广西崇左，8，2分）若一次函数的图象经过反比例函数图象上的两点（1，m）和（n，2），则这个一次函数的解析式是 考点：待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征 分析：一次函数的图象经过反比例函数图象上的两点（1，m）和（n，2），先代入求出m，n的值，再用待定系数法可求出函数关系式 解答：解：（1，m）和（n，2）在函数图象上，因而满足函数解析式，代入就得到m=4，n=2，因而点的坐标是（1，4）和（2，2），设直线的解析式是y=kx+b，根据题意得到，解得因而一次函数的解析式是点评：本题主要考查了函数解析式与图象的关系，函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上5.（2011湖北黄石，15,3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数的图象没有公共点，则实数k的取值范围是考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：计算题；数形结合。分析：因为反比例函数的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+b中，k0，解方程组求出当直线与双曲线只有一个交点时，k的值，再确定无公共点时k的取值范围解答：解：由反比例函数的性质可知，的图象在第一、三象限，当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k0，解方程组，得kx2+x1=0，当两函数图象只有一个交点时，=0，即1+4k=0，解得，两函数图象无公共点时，故答案为：点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题关键是根据形数结合，判断无交点时，图象的位置与系数的关系，找出只有一个交点时k的值，再确定k的取值范围6.（2011成都，25，4分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数()满足：当x0时，y随x的增大而减小若该反比例函数的图象与直线都经过点P，且，则实数 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：计算题。分析：由反比例函数y当x0时，y随x的增大而减小，可判断k0，设P（x，y），则P点坐标满足反比例函数与一次函数解析式，即xy2k，xyk，又OP2x2y2，将已知条件代入，列方程求解解答：解：反比例函数y当x0时，y随x的增大而减小，k0，设P（x，y），则xy2k，xyk，又OP2x2y2，x2y27，即（xy）22xy7，（k）24k7，解得k或1，而k0，k故答案为：点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题关键是根据交点坐标满足反比例函数一次函数解析式，列方程组求解7.（2011包头，18，3分）如图，已知A（1，m）与B（2，m+3）是反比例函数y=的图象上的两个点，点C是直线AB与x轴的交点，则点C的坐标是（1，0）ABCOxy考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：计算题。分析：根据反比例函数的性质，横纵坐标的乘积为定值，可得出关于k、m的两个方程，即可得出反比例函数的解析式，从而得出点C的坐标解答：解：A（1，m）与B（2，m+3）是反比例函数y=的图象上的两个点，解得k=2，m=2，A（1，2）与B（2，）设直线AB的解析式为y=ax+b，直线AB的解析式为y=x，令y=0，解得x=1，点C的坐标是（1，0）故答案为（1，0）点评：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；求一次函数和x轴的交点坐标8. （2011浙江宁波，18，3）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y（x0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y（x0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为（+1，1）考点：反比例函数综合题。专题：综合题。分析：作P1y轴于C，P2x轴于D，P3x轴于E，P3P2D于F，设P1（a，），则CP1a，OC，易得RtP1B1CRtB1A1ORtA1P2D，则OB1P1CA1Da，所以OA1B1CP2Da，则P2的坐标为（，a），然后把P2的坐标代入反比例函数y，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐标；设P3的坐标为（b，），易得RtP2P3FRtA2P3E，则P3EP3FDE，通过OEOD+DE2+b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标解答：解：作P1y轴于C，P2x轴于D，P3x轴于E，P3P2D于F，如图，设P1（a，），则CP1a，OC，四边形A1B1P1P2为正方形，RtP1B1CRtB1A1ORtA1P2D，OB1P1CA1Da，OA1B1CP2Da，ODa+a，P2的坐标为（，a），把P2的坐标代入y（x0），得到（a）2，解得a1（舍）或a1，P2（2，1），设P3的坐标为（b，），又四边形P2P3A2B2为正方形，RtP2P3FRtA2P3E，P3EP3FDE，OEOD+DE2+，2+b，解得b1（舍），b1+，1，点P3的坐标为 （+1，1）故答案为：（+1，1）点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法9. （2011浙江衢州，15，4分）在直角坐标系中，有如图所示的RtABO，ABx轴于点B，斜边AO=10，sinAOB=，反比例函数的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为（8，）考点：反比例函数综合题。专题：综合题。分析：由斜边AO=10，sinAOB=，根据三角函数的定义可得到AB=6，再由勾股定理得到OB=8，即得到A点坐标为（8，6），从而得到AO的中点C的坐标，代入反比例函数解析式确定k，然后令x=8，即可得到D点的纵坐标解答：解：斜边AO=10，sinAOB=，sinAOB=，AB=6，OB=8，A点坐标为（8，6），而C点为OA的中点，C点坐标为（4，3），又反比例函数的图象经过点C，k=43=12，即反比例函数的解析式为y=，D点在反比例函数的图象上，且它的横坐标为8，当x=8，y=，所以D点坐标为（8，）故答案为（8，）点评：本题考查了用待定系数法确定反比例的解析式；也考查了正弦的定义和勾股定理以及求线段中点坐标10、（2011湖北武汉，16，3分）如图，ABCD的顶点AB的坐标分别是A（1，0），B（0，2），顶点CD在双曲线y=上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是ABE面积的5倍，则k=12考点：反比例函数综合题。专题：综合题。分析：分别过CD作x轴的垂线，垂足为FG，过C点作CHDG，垂足为H，根据CDAB，CD=AB可证CDHABO，则CH=AO=1，DH=OB=2，由此设C（m+1，n），D（m，n+2），CD两点在双曲线y=上，则（m+1）n=m（n+2），解得n=2m，设直线AD解析式为y=ax+b，将AD两点坐标代入求解析式，确定E点坐标，求SABE，根据S四边形BCDE=5SABE，列方程求mn的值，根据k=（m+1）n求解解答：解：如图，过CD两点作x轴的垂线，垂足为FG，DG交BC于M点，过C点作CHDG，垂足为H，CDAB，CD=AB，CDHABO，CH=AO=1，DH=OB=2，设C（m+1，n），D（m，n+2），则（m+1）n=m（n+2）=k，解得n=2m，设直线AD解析式为y=ax+b，将AD两点坐标代入得，解得，y=2x+2，E（0，2），BE=4，SABE=BEAO=2，S四边形BCDE=5SABE，SABE+S四边形BEDM=10，即2+4m=10，解得m=2，n=2m=4，k=（m+1）n=34=12故答案为：12点评：本题考查了反比例函数的综合运用关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据面积关系，列方程求解【例1】将直线沿轴向下平移后，得到的直线与轴交于点，与双曲线交于点求直线的解析式；若点的纵标为，求的值（用含有的式子表示）【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线，然后联立即可。比较简单,看看就行.【解析】将直线沿轴向下平移后经过x轴上点A（），设直线AB的解析式为 则解得 直线AB的解析式为 图3（2）设点的坐标为，直线经过点， 点的坐标为， 点在双曲线上， 【例2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合函数的图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时，【思路分析】第一问直接看图写出A，B点的坐标（-6,-2）(4,3)，直接代入反比例函数中求m，建立二元一次方程组求k,b。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单，但是事实上却有很多变化。比如不给图像，直接给出解析式求的区间，考生是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。【解析】解：（1）由图象知反比例函数的图象经过点B(4，3)，m=12 反比例函数解析式为 由图象知一次函数的图象经过点A(6，2) ， B(4，3)， 解得 一次函数解析式为 （2）当0x4或x6时， 【例3】已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由【思路分析】第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图像去分析两个函数的大小关系，考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度，一方面需要分析给出四边形OADM的面积是何用意,另一方面也要去看BM,DM和图中图形面积有何关系.视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分,直接求出矩形面积即可.部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看,从而没有想到思路,失分可惜.【解析】解：（1）将分别代入中，得，反比例函数的表达式为：；正比例函数的表达式为 （2）观察图象得，在第一象限内，当时，反比例函数的值大于正比例函数的值 （3） 理由：，即，（很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积）【例4】已知：与两个函数图象交点为，且，是关于的一元二次方程的两个不等实根，其中为非负整数（1）求的值；（2）求的值；（3）如果与函数和交于两点（点在点的左侧），线段，求的值【思路分析】本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式求出k的范围，加上非负整数这一条件得出k的具体取值。代入方程即可求出m，n，继而求得解析式。注意题中已经给定mn,否则仍然注意要分类讨论。第三问联立方程代入以后将A,B表示出来，然后利用构建方程即可。【解析】（1）, ,为非负整数， 为一元二次方程 , (2)把代入方程得, 解得, 把代入与,可得 (3)把代入与,可得，由，可得解得，经检验为方程的根。【例5】已知：如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为（1）求与的值；（2）设一次函数的图像与轴交于点，连接，求的度数【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。第一问比较简单，不说了。第二问先求出A,B具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现OB=OA,从而BAO=ABO,然后求出BAO即可。解：（1）点在双曲线上， ,又在直线上， . （2）过点A作AMx轴于点M. 直线与轴交于点， .解得 . 点的坐标为. . 点的坐标为， .在Rt中，,.- 由勾股定理，得 .-【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几个考点：1、给交点求解析式；2，y的比较，3，夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问题以外，还需要考生对数形结合，分类讨论的思想掌握熟练。例如y的比较这种问题，纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式，但是如果用图像去做就会比较简单了。总体来说这类问题不难，做好细节就可以取得全分。第二部分 发散思考【思考1】如图，A、B两点在函数的图象上.（1）求的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边