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信号与系统 第四章：信号的谱表示第四章：信号的谱表示4.1 上的傅里叶变换（信号与系统第二版（郑君里）3.1，3.2）l ，是上绝对可积函数的全体。l Dirichlet条件：对A，即；B在上有有限个极大值、极小值；C在上有有限个第一类间断点。注：Dirichlet条件是充分条件；A保证傅里叶系数有限，B、C保证Riemann可积。l 三角函数形式的傅里叶级数： 三角函数集： 是上完备正交集，T为基波的周期， 三角函数形式的傅里叶级数：对，的傅里叶级数为：，（4-1）其中：（4-2）为傅里叶系数。注：即高次方可积函数是低次方可积函数的子空间。 变形（4-3）其中： ，（4-4） 图 4-1注：1)或或是的函数，。 物理意义：第n次谐波的幅度。2)为第n次谐波的相位。3)为直流分量。4)周期信号的频谱只会在等离散频率点上，这种频谱称为离散谱。 图4-2l 指数形式的傅里叶级数： 是上完备正交集，。，（4-5） 对，有，（4-6）其中：（4-7）注：负频率的引入完全由完备性决定。 易知：（4-8），。 一般为的复变函数，是离散的，间隔为。，和均为的函数。：的幅度谱（线谱），：的相位谱（线谱）。利用，可导出：，（4-9）l 傅里叶级数（Fourier SeriesF.S.）使用范围： 可展成傅里叶级数：即：（4-10）由上式可知，t(t0, t0+T)区间与t(t0+T, t0+2T)的F.S.展开式对应相等。即，若将以为周期进行延拓，所得周期信号的F.S.与上式相同：， ， （4-11）可见，对于有限开区间t(t0, t0+T)上的函数作F.S.展开的（4-10）和（4-11）式表明，这种F.S.展开，不但在该有限开区间上成立，而且在区间以外的t(-,)上成立，且收敛于信号在展开区间部分的周期延拓。上述这段文字描述，是理解一个信号F.S.展开的关键！如果信号本身就是周期的，且在一个周期内绝对可积，则必然可以作傅里叶级数展开。形式如（4-11）所示。周期信号：，（4-12）主周期为：（4-13）l 函数的对称性与F.S.的定性性质：（4-14） 为偶函数：（4-15）的傅里叶级数只含有直流和余弦分量。 为奇函数：（4-16）的傅里叶级数只含有正弦分量。 为奇谐函数：（4-17）的傅里叶级数只含有奇次正余弦分量（奇次谐波）。证明： 为偶谐函数：（4-18）的傅里叶级数只含有偶次正余弦分量（偶次谐波）。l Parseval定理（内积不变性）：定理（Parseval）：对，则（4-19）l 能量定理：对，有（4-20）l 均方收敛性（依范数收敛，强收敛）：定理（均方收敛）：对，则（4-21）其中：，为逼近误差，为均方误差。注：1) 在个别点，甚至零测度集上不收敛不影响均方收敛性。2) 2N+1项F.S.近似，欧式范数最小方差最小均方最小。l 可F.S.展开的充分条件： 可F.S.展开是指：。 定理（可F.S.展开的充分条件）：若，则。证明：，。推论：若，则。原因是，。ll Gibbs现象：若用F.S.逼近f(t)，在间断点处不收敛，且在间断点的邻域内出现减幅震荡的奇异现象，震荡的第一峰最大，峰起值约为间断点处跳变的9%。这种现象称为吉布斯（Gibbs）现象。图4-34.2 典型周期信号的谱（信号与系统第二版（郑君里）3.3） 周期矩形脉冲信号：，（4-22） 图4-4，（4-23）图4-5 图4-6注：1) 的频谱为可列的无穷多条线谱； 2) 谱线间隔为；分析时间加长，谱分辨率提高。 3) 线谱包络：； 4) 0到第一零点之间谱线个数：， （表示对 取整）。4.3 上的函数的傅里叶变换（信号与系统第二版（郑君里）3.4，3.5，3.6）l 问题的提出：考虑：令，则，则，谱线间隔：，此时，信号由周期信号变为非周期信号，其频谱由离散谱变为连续谱。 （4-24）其中，表示单位频率上的谱强度，则（4-25）即表示信号的频谱密度函数（谱密度）。 令：，上式可写作：。Fn在化为乌有时低吟一曲，得罪魁祸首T之相救，遂起死回生：不要问我从哪里来，我的出身很渺小。为什么流浪？踢我一脚！不要问我从哪里来，我的出身很渺茫。为什么流浪？踢在身上，l 傅里叶变换： 定义（傅里叶变换）：对，则傅里叶(正)变换：（4-26）傅里叶反变换：（4-27）其中：为的（频）谱（密度），为的幅度谱（密度），为的相位谱（密度）。 定义：存在：。 定理：存在的充分条件：对，则存在。证明： 于是，。注：。 映射。，（由 ） 令，有。 关于完备正交集的讨论：（4-28），确定而。可认为在形式上是上的（时域）完备正交集。l 典型函数的谱： 高斯函数：，（4-29）图4-7注：1) 高斯函数：；2) 高斯函数为正实函数；3) 高斯函数的傅里叶变换仍是高斯的；4) 高斯函数是速降函数； 5) 令，则有 矩形脉冲信号：（4-30） 图4-8 图4-9 三角脉冲信号：（4-31）图4-10推广：矩形函数不断卷积，其傅里叶变换弱收敛于高斯函数。 双边指数信号：（4-32） 图4-11 单边指数函数：，（4-33） 图4-12 符号函数：，（4-34） 图4-13 冲激函数：（4-35） 图4-14 直流：，（4-36） 图4-15 阶跃函数：（4-37） 图4-164.4 傅里叶变换的性质（信号与系统第二版（郑君里）3.7，3.8）设l 是线性变换：（4-38）l 对称性：（4-39）证法一：互换：。证法二：l 共轭：（4-40）证明： 。注：1)若为实函数：，则。，模偶对称性，相位奇对称性。2) 若为纯虚函数，和仍然成立。l 相似性定理（Similarity Theorem）（尺度变换性质）：（4-41）特别地，当时，（4-42）l 时移：（4-43） 图4-17l 调制（频移）：（4-44） 图4-18（4-45） 注：此时谱的形状没有发生变化，称为线性调制。l 时域微分：，（4-46）证明：，（注：对t进行作用） ， 。 推广：（4-47）l 频域微分：（4-48）证明：推广：（4-49）l 时域卷积：（4-50） 图4-19l 频域卷积定理：（4-51） 图4-20证明：。l 时域积分：记：，则（4-52）待变换信号是对原信号的积分。积分相当于求面积，即从到t时刻原信号相对于横轴的面积，是t的函数。傅立叶变换则是对此面积函数的FT。如果总面积是不为零的常数，F(0)0，相当于面积函数存在直流分量，求FT，则出现冲激项。若F(0)=0，信号的总面积为零，即在处有界，有（4-53）证明：。l 矩定理：，的n阶矩：，则（反映函数的光滑程度）（4-54）证明：。注：1) 信号的总面积，平均值直流。2) 一阶矩几何中心。3) 二阶矩（围绕几何中心的弥散程度信号的等效时宽）。4) 二阶中心矩方差，等效时宽标准差。l 矩展开式：设，则有：（4-55） 其中（4-56）注：光滑函数在处展成台劳级数：（4-56）式是函数在处的台劳级数展开。台劳级数的意义在于低阶近似。对于（4-56）式，越宽（平坦，变化率小）、延时t越小，则近似阶数越低。例： 图4-21，零阶近似：，表明小延时对宽信号的作用较小。，可见，两个方差相差很大的信号卷积，宽的信号起主导作用。例：已知，则（4-57）（4-58）（4-59）注：利用，即可证明。4.5 周期信号的傅里叶变换（信号与系统第二版（郑君里）3.9，3.10） 周期信号，不满足傅里叶变换的充分条件。 方法：从，求傅里叶级数，再求傅里叶变换。l 典型周期信号的傅里叶变换： ，是周期为零的周期信号，（4-60）（4-61） 图4-22（4-62） 图4-23（4-63） 图4-24l 一般周期信号的傅里叶变换：定义（主周期）：周期信号的主周期为若，则，傅立叶系数为：（4-64）（4-64）式须记住！l 周期函数的与其的关系：， 其中，（4-65）（4-65）式须记住！l 理想采样序列的傅里叶变换： 定义：（4-66）为理想采样序列。 图4-25 ， （4-67）式（4-67）称为Poisson求和公式。 傅立叶变换为：，（4-68） 图4-264.6 采样定理（信号与系统第二版（郑君里）3.10-3.11）l 问题的提出： 图4-27l 抽样信号的谱结构：（4-69）l 矩形脉冲抽样： 图4-28 被抽样信号频谱图4-29 抽样序列的频谱图4-30 抽样后所得信号频谱l 理想采样：（4-70）l 零阶采样保持器： 图4-31，每TS时间通一次，断开的时间进行保持，在断开的时间内完成A/D转换。 图4-32上面的电路可用下面的模型表示： 图4-33其中，为模拟信号，为采样信号（离散时间信号），为阶梯信号（连续时间信号），持续时间，数字信号。在持续是内，完成A/D转换操作，输出。 图4-34l 时域采样定理： 定理（Nyquist时域采样定理）：带限信号被理想采样，则当采样频率时，可用等间隔采样值为一表示：（4-71）式中：，。 时域抽样及原信号恢复图4-35 请找出此图标注错误，前三名举报同学立功受奖！（4-72）注：要求，此时不会混叠，可以恢复，即要求：，称最低采样频率为Nyquist采样频率，称为Nyquist采样间隔。4.7 傅里叶变换的渐近性质l 定理（Riemann-Lebesgue Lemma）：对，有：。证明：对，存在阶梯函数，使得（4-73）对满足（4-73）式的，当时，于是（），当时， 注：1）渐近，。 2）等价于：，即：，（4-74） 因此有：（4-75） 对常义的极限则（4-75）不成立。l 有界变差函数（Bound Variation Function）： 定义：设是上实函数，对于上的任一分割T，若（4-76）则称是有界变差函数，记为（有界变差函数的全体）。 ，则或者无界或者急剧振荡。例：在含原点的，。 有界变差函数未必绝对可积。例：，在时不可积。l Riemann定理：若，且为上（可有限，可无限），则，。证明： 单调有界增函数，使得，又， 由第二积分中值定理：若在上单调，在上可积，则，使 同理处理其余三项，则最后可得：即： ，。l 定理：若存在，且有界变差，绝对可积，则。证明：由，有，（黎曼定理） 即 （FT的微分性质） 即 。l 若，则连续，有界。4.8 相关函数与谱分析（信号与系统第二版（郑君里）6.6，6.7，6.8）l 相关系数（亦称相似系数）： 中两元素的三种相对关系：垂直；平行；0夹角）（4-96） 定义（相关函数）：对功率有限信号，定义其相关函数为：（4-97） 定义（功率谱（密度）：为信号的功率谱密度函数，简称功率谱。（4-98） 定义（功率）：（4-99）注：功率有限信号的性质与能量有限信号的性质相似，只是物理含义不同。l 线性定常系统的输入输出相关分析： 图4-38 （4-100）（4-101）式（4-101）即适于能量信号，也适于功率信号。4.9 匹配滤波器（信号与系统第二版（郑君里）6.9）l 问题的提出：滤波：在信号加白噪声（噪声干扰）中分离出信号。匹配滤波：以发现信号为目的。维纳滤波、卡尔曼滤波：以还原信号为目的。见附录。l 白噪声：的相关函数为（4-102）为常数（4-103） 图4-39l 匹配滤波器： 图4-40 定义：（4-104）为（瞬时）峰值信噪比。其中：，为在时刻的瞬时功率。 定义（匹配滤波器）：在加性白噪声背景下，使瞬时信噪比最大的线性滤波器称为匹配滤波器。 定理（匹配滤波器）：在加性白噪声背景下，对实现匹配滤波器的系统冲激响应为：（4-105） 其中，为观测时刻，。证明：常数 （傅立叶反变换） （C-S不等式） 等号发生在时，取最大值。注：（1） 图4-41当时，系统为非因果的；当时，系统为因果的。（2） 图4-42 （3），其中：，为输入信号功率谱，为输入信号功率，为输入白噪声的功率谱密度。l 匹配滤波与相关接收等价：（4-106） 图4-43思考：上面讨论的是常数的情况，若常数，而是的函数，求使瞬时信噪比最大的（广义）匹配滤波器，其频谱特性应该怎样设计？4.10 等效带宽，等效时宽，Heisenberg测不准（不确定）原理（信号与系统第二版（郑君里）6.10）带宽（），时宽（）的定义不唯一，与，的特点和应用场景有关。（4-107）l 按波形与谱结构定义：图4-44，因此：。 频域为三角窗，。l 按信号特征参数定义： 图4-45，l 等效矩形时宽与等效矩形带宽： 定义（等效矩形时宽）若，则定义等效矩形时宽：， 定义（等效矩形带宽）：，则。 图4-46证明：代入即得。 设是变号函数，是复变函数，且，定义：，则。l Heisenberg测不准原理： 对，归一化瞬时功率，归一化能谱密度，几何中心，的几何中心，时间集散，频率集散。 定理：对，则，且等号成立时，为高斯信号。证明：设，令， （注释） （由Holder不等式）即：，为使等号成立， （），即为高斯函数。注释：l 一个信号不可能既带限又时限（一个信号不可能在时域和频域同时具有紧支集）： 若为时限：，是非带限的。 若是带限：，是非时限的。 定理（时宽带宽积的尺度不变性）：的时宽带宽积的时宽带宽积，。证明：略。The End附录：卡尔曼滤波有用信号混迹于噪声干扰之中，看不清庐山真面目。滤波是为了拨开乌云见日出，驱散雾霭现层峦。按滤波目的，大体分两类：匹配滤波使输出信噪比最大，目的在于判断信号有无，用于信号检测；维纳滤波和卡尔曼滤波则在于最大程度抑制噪声，以更加精确地重现信号。最佳线性滤波理论起源于上世纪40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家K等人的研究工作，统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到过去无限长时间的数据，因此不适于实时处理。为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。维纳滤波与卡尔曼滤波，是一类从噪声中提取信号的滤波方法，都是最佳线性滤波。卡尔曼滤波在数学上是一种统计估算方法，通过处理带有误差的测量数据，得到物理参数的最佳估算。具体地，卡尔曼滤波以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法。基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。因此，它是一种递推算法，适合于实时处理和计算机迭代运算。卡尔曼滤波是一个最优的自回归数据处理算法（optimal recursive data processing algorithm）。它的广泛应用已近四十年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合，雷达