第八节 弧长及扇形的面积.doc

弧长公式在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式为l=nR180.弧的长度由圆的半径R及其所对圆心角的度数n确定.求一段弧长则应根据条件确定R及n的值.扇形（1）扇形：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形（如图20）.（2）扇形面积：如果扇形的半径为R，圆心角为n，那么扇形面积的计算公式为S扇形=nR2360.因扇形的弧长l=nR180，扇形面积nR2360可以写成12nR180R，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：S扇形=12lR.（3）扇形周长：扇形的周长等于弧长加上两半径的长，即l+2R.1.如何运用弧长公式？点拨：（1）在弧长公式中，n表示“1”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“180”不应再写单位.（2）题中若没有标明精确度，可以用“”表示弧长，如弧长是，5.1等.（3）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量.2.如何运用扇形面积公式？点拨：（1）公式S扇形=nR2360中的“n”与弧长公式中“n”的意义一样，表示“1”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.（2）扇形的面积公式S扇形=12lR与三角形的面积公式S=12ah十分相似.为了便于记忆，可以把扇形看做曲边三角形，把弧长l看作底边，半径R看作底边上的高.（3）在求扇形的面积时，当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，应选用公式S扇形=nR2360；当已知半径R和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇形=12lR.3.如何求不规则图形的面积？点拨：求不规则图形的面积时，可通过割或补的方法把不规则图形转化为几个规则图形进行面积计算.如右图所示，在RtABC中，C=90，A=60，AC=3 cm，将RtABC绕点B旋转至RtABC的位置，且使点A,B,C三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是cm.解：由RtABC旋转的过程可知，点A经过的最短路线是以点B为圆心、以AB为半径、以150为圆心角的AA的长.由于AB=ACcos60=23（cm），所以由弧长公式知：l=nR180=15023180=533(cm).1.已知圆的半径为18 cm，求60的圆心角所对弧的弧长.2.如右图所示，ABC内接于O，O的半径R=3 cm.若B=45，求AC的长.3.右图为滑轮起重装置，已知滑轮的半径是10 cm，当重物上升10 cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，结果精确到1，取3.14）.如右图所示，两个同心圆被两条半径截得的AB的长为5，CD的长为7，AC=4 cm.求阴影部分的面积.【思路导析】阴影部分的面积等于两个扇形的面积之差.解：设圆心角为n，则l1=nR1180，l2=nR2180.S阴影=nR21360-nR22360=n360（R21-R22）=12（nR1180+nR2180）=12n180（R1+R2）（R1-R2）=12（l1+l2）（R1-R2）=12（7+5）4=24（cm2）即S阴影=24 cm2.1.已知扇形的圆心角为120，半径为2 cm，求扇形的面积.2.已知扇形的圆心角为150，弧长为20 cm，求扇形的面积.3.如右图所示，AB是O的直径，长为4,弦CDAB且CAD=45.求图中阴影部分的面积.4.如右图所示，A,B,C,D,E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形(即阴影部分)的面积之和是()A.B.1.5C.2D.2.5水平放置的圆柱形排水管的截面半径是0.6 m，其中水面高是0.3 m.求截面上有水的弓形的面积(结果精确到1 cm).解：如右图所示，在O中，连接OA，OB，过点O作OCAB，垂足为点D，交AB于点C.OA=0.6 m,DC=0.3 m,OD=0.6-0.3=0.3(m),AOD=60，AD=3310(m).S弓形ACB=S扇形OACB-SOAB,S扇形OACB=120360(0.6)=0.12(m)，SOAB=12ABOD=120.630.3=0.093(m)，S弓形ACB=0.12-0.0930.22(m).答：截面上有水的弓形的面积约为0.22 m.1.已知弓形所对的圆心角为60，弓形的弦长为6 cm.求弓形的面积.2.如下图所示，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的点，如果CAB=30，BC=6，求图中阴影(即弓形)部分的面积.3.下图是一个水平放置的圆柱形水管的横截面.已知水面高CD=(2+2) cm,水面宽AB=22 cm，求水管截面有水部分的面积.如右图所示，等腰直角三角形ABC的斜边AB=4,点O是AB的中点，以点O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D，E.求图中阴影部分的面积.【思路导析】由图可知，两部分阴影的面积是相同的，只要求出一部分阴影的面积即可.连接OE，每一部分阴影面积可转化为直角三角形的面积与扇形的面积之差.解：连接OE.O与BC相切于点E，OEB=90.ABC为等腰直角三角形,AC=ABcos45=22.C=90，OEAC.又OA=OB,CE=EB.OE=EB=12AC=2.OEB=12OEEB=1222=1,扇形OEF=45(2)360=4.阴影=2(OEB-扇形OEF)=2-2.1.如右图所示，已知扇形OAB的半径为2，AOB=90，以AB为直径作半圆，求该半圆与扇形OAB所围成的新月形的面积S.2.如右图所示，设计一个商标图案(即阴影部分).在矩形ABCD中，AB=2BC,且AB=8 cm，以点A为圆心，以AD为半径作半圆，求商标图案的面积.3.如右图所示，在ABC中，AB=AC=2 cm,ABC=75，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.求图中阴影部分的面积.一、选择题1.已知圆的周长为6，那么60的圆心角所对的弧长是()A.3B.2C.6D.2.若半径为5 cm的一段弧长等于半径为2 cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为()A.18B.36C.72D.1443.在半径为12 cm的圆中，150的圆心角所对的弧长等于()A.24 cmB.12 cmC.10 cmD.5 cm4.若正三角形ABC内接于半径为2的圆，则AB所对的弧长为()A.23B.43C.83D.43或835.如下图所示，一块含有30角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ABC的位置.若BC的长为15 cm，则顶点A从开始到结束所经过的路径长为()A.10 cmB.103 cmC.15 cmD.20 cm6.如上图所示，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的任一点，设扇形AOC，BOC的面积分别为S1，S2，则它们之间的关系是（）A.S1=S2B.S1S2C.S1S2D.由AOC的大小决定7.如下图所示，已知圆环的面积为9，大圆的弦AB切小圆于点C，则弦AB的长为()A.9B.18C.3D.68.如上图所示，AB是O的直径，点D，E是半圆的三等分点，AE，BD的延长线相交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是()A.43-3B.23C.23-3D.13二、填空题9.如果圆的半径为15 cm,那么100的圆周角所对的弧长为 cm.10.已知扇形的圆心角为60，半径R=5,则扇形的周长为(结果保留的形式).11.已知扇形的弧长是2 cm，半径是10 cm，则此扇形的面积是cm2.12.如下图所示，点C,D是以AB为直径的半圆的三等分点，OC,OD是半径，且半径长为6，CD为弦，则图中阴影部分的面积是.13.如上图所示，在RtABC中，两直角边AC=4 cm，BC=5 cm,分别以AB，AC，BC为直径的三个半圆所围成的两个新月形(即图中阴影部分)的面积之和为cm2.三、解答题14.如右图所示，已知正三角形ABC的边长为a，分别以点A，B，C为圆心、以a2为半径的圆两两相切于点O1，O2，O3.求O1O2,O2O3,O3O1所围成的图形的面积S（即图中阴影部分）.15.如右图所示，已知O的半径为4 cm，AB是O的弦，AB=43 cm.（1）求扇形OAB的面积；（2）若点C是O上的一个动点（点C不与点A，B重合），请探究ABC的面积有最大值还是有最小值？并求出这个值（计算结果均不取近似值）.16.圆心角都是90的扇形OAB与扇形OCD按右图所示那样叠放在一起，连结AC，BD.(1)求证：AOCBOD；(2)若OA=3 cm,OC=1 cm，求阴影部分的面积.17.在学习扇形的面积公式时，同学们推得S扇形=nR2360，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l=nR180得出扇形面积的另一种计算方法：S扇形=12lR.接着老师让同学们解决两个问题：问题：求弧长为4、圆心角为120的扇形面积.问题：某小区设计的花坛形状为如下图所示的阴影部分，已知AB和CD所在圆的圆心都是点O，AB的长为l1，CD的长为l2，AC=BD=d，求花坛的面积.（1）请你解答问题；（2）在解答完问题后的全班交流中，有位同学发现扇形的面积公式S扇形=12lR类似于三角形的面积公式，类比梯形的面积公式，他猜想花坛的面积S=12（l1+l2）d.他的猜想正确吗？如果正确，请写出推导过程；如果不正确，请说明理由.1.如右图所示，有一个边长为6 cm的正三角形ABC木块，点P是边CA的延长线上的点，在A，P之间拉一条细绳，绳长AP为15 cm.握住点P，拉直细绳，把它全部紧紧缠绕在ABC木块上(缠绕时木块不动)，若圆周率取3.14，求点P运动的路线长度(结果精确到0.1 cm).2.如下图所示，ABCD是边长为1的正方形，其中DE，EF，FG的圆心依次是点A，B，C.（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由.3.如右图所示，ABC内接于O，点D在半径OB的延长线上，BCD=A=30.（1）试判断直线CD与O的位置关系，并说明理由；(2)若O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分的面积（结果保留和根号形式）.1 (2009云南)已知圆上一段弧长为6，它所对的圆心角为120，则该圆的半径为_BCA2.（2009潍坊）如图，已知中，将绕顶点C顺时针旋转至的位置，且三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是（ ）cmA8BCD（第3题）3.（2009苏州）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm（结果保留）（第4题）4.（2009长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留）. APBO5图5.(2009河池)如图，切O于，两点，若，O的半径为，则阴影部分的面积为 AOBDC（第6题）6.（2009漳州）如图，点在的直径的延长线上，点在上，（1）求证：是的切线；（2）若的半径为3，求的长（结果保留）7.(2009抚顺)如图所示，与相切于点，线段交于点过点作交于点，连接，且交于点若（1）求的半径长；（2）求由弦与弧所围成的阴影部分的面积（结果保留）（第7题图）DBACEO8题8.(2009衡阳)如图8，圆心角都是90的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD（1）求证：AC=BD；（2）若图中阴影部分的面积是，OA=2cm，求OC的长（满分：100分）一、选择题（每题8分，共32分）1.已知圆的半径为r，则该圆中60的圆周角所对的弧长为()A.16rB.13rC.23rD.43r2.在半径为1的O中，若弦AB=1,则AB的长是()A.116B.14C.13D.123.如下图所示，A,B,C两两不相交，且半径都是0.5 cm.则图中三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为()A.112 cmB.18 cmC.16 cmD.14 cm4.如上图所示，一把单面绸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120，AB长为25 cm，绸布部分的宽BD为15 cm，则这把扇子的绸布部分BDEC的面积是()A.175 cm2B.200 cm2C.225 cm2D.350 cm2二、填空题（每题8分，共32分）5.已知钟表的轴心到分针针端的长为5 cm，那么经过40 min，分针针端转过的弧长是cm.6.如下图所示，在矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为（结果保留的形式）.7.如上图所示，已知扇形AOB的半径为12，OAOB，点C为OB上一点，以OA为直径的半圆O1和以BC为直径的半圆O2相切于点D，则图中阴影部分的面积为.8.如右图所示，四边形ABCD为正方形，曲线DEFGHIJ叫做“正方形ABCD的渐开线”，其中DE,EF,FG，GH，HI，IJ，的圆心依次按A，B，C，D循环.当渐开线延伸开时，形成了扇形S1，S2，S3，S4和一系列的扇环S5，S6，.当AB=1时，它们的面积S1=14,S2=,S3=94,S4=4,S5=6，那么扇环的面积S8=.三、解答题（每题18分，共36分）9.如下图所示，在矩形ABCD中，AD=2，以点B为圆心、以BC为半径作弧交AD于点F.（1）若CF长为23，求圆心角CBF的度数；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号及的形式）.10.如右图所示,点P在O外，PA与O相切于点A，OP与圆周相交于点C，点B与点A关于直线PO对称，已知OA=4,PA=43.（1）求POA的度数；（2）求弦AB的长；（3）求阴影部分的面积.第八节弧长及扇形的面积变式训练一1. 6 cm2. 32 cm23. 57变式训练二1. 43 cm22. 40 cm23.4.C变式训练三1.（12-3） cm22.12-933.（3+2） cm2变式训练四1.22.（4+8） cm23.（13-34） cm2轻松过关打基础一、选择题1.D2.D3.C4.D5.D6.C7.D8.A二、填空题9. 25310. 53+1011. 1012. 613. 10三、解答题14.解:S=SABC-3S扇形AO1O3.SABC=12a32a=34a2,S扇形AO1O3=60(a2)2360=a224,S=34a2-324a2=23-8a2.15.解：（1）作ODAB，垂足为点D.在RtAOD中，OA=4,AD=12AB=23,sinAOD=ADAO=234=32.AOD=60.AOB=2AOD=120.S扇形OAB=12042360=163（cm2）.（2）ABC的面积有最大值，无最小值.延长DO交O于点E，当点C与点E重合时，ABC的面积最大.在RtAOD中，OD=OA2-AD2=42-(23)2=2,DE=OD+OE=2+4=6.ABC面积的最大值：12ABDE=12436=123(cm2).16.（1）提示：AOC=BOD.（2）2 cm217.解：（1）把l=4，n=120代入l=nR180，得120R180=4.解得R=6.S扇形=12lR=1246=12.（2）正确.证明：设OA=R1,OC=R2,AOB=n，则COD=n，d=R1-R2.S=12l1R1-12l2R2=12l1d+12R2（l1-l2）.12R2（l1-l2）=12R2（nR1180-nR2180）=12R2n180（R1-R2）=12nR2180d=12l2d,S=12l1d+12l2d=12（l1+l2）d.快乐拓展练能力1.56.5 cm2.解：（1）AD=1,DAE=90,DE的长l1=901180=12.同理，EF的长l2=902180=,FG的长l3=903180=32.点D运动到点G所经过的路线长l=l1+l2+l3=3.(2)直线GBDF.证明：延长GB交DF于点H.CD=CB,DCF=BCG,CF=CG,FDCGBC.F=G.又F+FDC=90,G+FDC=90.G+FDC=90.即GHD