循环群与置换群.ppt

7 3循环群与置换群 一 循环群定义7 3 1设 G 是一个群 H G 若G的元素均可由H中的若干元素经过有限次的二元运算 而得到 则称子集H生成群 G 并将生成群的子集中最小的称为群 G 的生成元集 注意 生成元集不一定唯一 其最小性是相对于集合的基数而言 定义7 3 2若群 G 的生成元集为 g 则称G为循环群 g称为G的生成元 并记G 同半群时的讨论类似 G gk k Z 其中可能有相同的元素 循环群是可交换的 例7 3 1整数加群 Z 是一个循环群 其生成元为1或 1 即Z 或Z 例7 3 2模n的剩余类加群 Zn n 是一个循环群 p n Zn是Zn的一个生成元当且仅当p与n互素 注意 做为群的生成元集与半群的生成元集之间的差异 定理7 3 1循环群 G 的阶 G的生成元g的阶 证 设群G的阶 m G的生成元g的阶 n 分二种情形 n 在G gk k Z 中 gs gt s t modn 若gs gt 即gs t e 则s t nq 反之 若s t nq 则gs gnq t gt 因此G g0 g g2 gn 1 故m n n 在G gk k Z 中 假若gs gt 则有gs t e因此G没有相同的元素 故G的阶m 循环群是交换群 若 G 为循环群 g为G的生成元 则G的结构在同构的意义下完全由g的阶所确定 1 若g的阶 n 则 G Zn n 2 若g的阶 则 G Z 例如 AF Z3 3 证 1 注意到 在G gk k Z 中 gs gt s t modn 作映射f G Zn f gk k n 则f是双射 又f gs gt f gs t s t n s n n t n即f是同构 故 G Zn n 2 作映射f G Z f gk k 则f是同构 故 G Z 二 置换群 定义7 3 3设S为集合 称映射 S S为S上的一个变换 变换即为集合S到S自身的一个映射 定理7 3 2设G为集合S上全体变换的集合 则 G 是一个含幺元e的半群 其中运算 是复合运算 e为S上的恒等变换 定理7 3 2设T S 为集合S上所有的双射变换 则 T S 是一个群 设S上的若干个双射变换组成的集合G关于 构成一个群 则称G为S上的一个变换群 集合S上双射变换的集合G关于 构成一个群的充要条件是下面二个条件成立 1 G关于运算 是封闭的 2 对 g G 必有g 1 G 例 GF 和 AF 都是平面上的变换群 例7 3 4在已建立平面直角坐标系的平面上 用 p表示平移 p Q Q P 用 表示绕坐标原点的旋转 一般地 p p 比如取P 0 1 则有 故平面上全体一一变换构成的变换群不是交换群 定理7 3 3任意一个群都同构于一个变换群 证 设 G 是群 g G 定义变换Tg G G a g a 压缩或平移变换 下面证明 T G 是群 其中T G Tg g G 若Tg a Tg b 则g a g b 由消去律得a b Tg是单射 对 c G 有d g 1 c G 满足Tg d c Tg是满射 又Tg Th a Tg Th a Tg h a g h a Tg h a T G 而Tg Tg 1 a g g 1 a a g 1 g a Tg 1 Tg a 即Tg 1 Tg 1 综合上述结论可知 T G 是一个变换群 再证明 G T G 作映射f G T G g Tg显然f是一个满射 若Tg Th 则Tg a Th a 即g a h a 由消去律得g h 故f是单射 而Tg h a g h a Tg Th a 故f g h Tg h Tg Th 即f保持运算 综上所述知 G T G 定义7 3 4设S为含n个元素的有限集合 是S上的一个双射 则称 是S上的一个n元置换 S上的若干个置换关于运算 构成的群 称为n元置换群 S上的全体置换构成的群 称为n次对称群 记为Snn次对称群的阶是n 设有限集合S a1 a2 an 上一个置换 S S ai aj i 1 2 则置换 完全由有序整数对 1 j1 2 j2 n jn 所决定 于是可以将置换表示为 通常用第一种方式表示置换 等价于将置换看作 i j i 1 2 或 例7 3 5设有限集合S a1 a2 a3 则S上的每一个置换可以用六种不同的方式来表示 比如 a1 a2 a2 a3 a3 a1 可以表示为 通常还是用 来表示 通常还是用 通常还是用 例 3次对称群S3中有6个元素 分别是 规定两个置换的复合运算 为 i i 例7 3 6设 则 于是 即S3不是交换群 实际上 S3是最小的有限非交换群 以后可以知道一个有限的非交换群至少要含有6个元素 定义7 3 6设 Sn i1 i2 i2 i3 ik i1 并使其余的元素保持不变 则称 为一个k 循环置换 记为 i1i2i3 ik 由于 i1i2i3 ik i2i3 iki1 iki1i2 ik 1 因此一个k 循环置换有k种表示方式 且k 循环置换的阶为k 1 循环置换只有1种表示方式 即恒等置换 2 循环置换又称为对换 注意 并非每一个置换都是循环置换 例7 3 7在S3中 我们有 而 定理7 3 5任意一个置换都等于若干个不含公共元素的循环置换的复合 证 对元素的个数n作归纳法 n 1定理成立 假设对 n 1个元素的置换来说定理成立 考虑n元置换 不妨设 1 j1 j1 j2 jk 1 于是置换 可改写为 而置换 是个 n 1元的置换 根据归纳法假设 她可以分解成若干个不含公共元素的循环置换的乘积 当然 这些循环置换都可以看作n个元素的循环置换 因此 就分解成若干个不含公共元素的循环置换的乘积 注意 不含公共元素的循环置换的乘法是可交换的 例7 3 9利用循环置换的方法 我们有3次对称群S3的元素可以表示为 1 12 13 23 123 132 4次对称群S4的元素可以表示为 1 12 13 14 23 23 34 123 132 124 142 134 143 234 243 1234 1243 1324 1342 1423 1432 12 34 13 24 14 23 注意到 i1i2i3 ik i1i2 i2i3 ik 1ik i1ik i1ik 1 i1i2 即一个循环置换可以分解成若干个对换的乘积 但表示法是不唯一的 例如 推论任一置换都可以分解成若干个对换的乘积 且所含对换个数的奇偶性是确定的 若置换 可以分解成奇数个对换的乘积 则称 为奇置换 否则 称 为偶置换 二个偶置换的乘积是偶置换 二个奇置换的乘积是偶置换 奇置换与偶