高考数学讲义 导数——高中数学的一个交汇点(解韪策略).doc

分享智慧泉源 智愛學習 传扬爱心喜乐导数高中数学的一个交汇点以能力为立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。在现行的高中数学教材中，导数处于一种特殊的地位，这决定了与之相联系的知识备受各类考试的关注。导数融数形于一体，既有求导的运算，又有其几何意义，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具，它常与函数、不等式、数列、向量、解析几何等内容交叉渗透、自然交汇，使得以导数为载体的数学问题丰富多彩、新颖别致，且自然流畅。1 导数与函数、方程交汇例1 已知函数的图象如图，则（）x AB CD解：由图象知，a0，不妨设函数在点（x1,f(x1)）、（x2,f(x2)）处取得极值，则x1、x2是方程的两根。根据韦达定理知，故b0，因此正确答案为（A）。点评：可导函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为0且该点两侧的导数值异号。运用此性质可轻松解决非常规的极值或参数范围问题。本题的上述解法将导数与函数、方程交汇，显示了导数应用的多样性。例2函数是R上的奇函数，当x=1时取得极小值-2。 （1）求函数的单调区间和极大值；（2）证明对任意，不等式恒成立。解：（1）由奇函数定义得d=0，因此 f(1)=-2是f(x)的极小值， ， 。 当时，当时，当时，故f(x)在和为增函数，在上为减函数。所以f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2 。 （2）由以上可知，在-1，1上f(x)有最大值M=f(-1)=2,最小值m=f(1)=-2，所以对任意，即不等式成立。点评：本题借助于导数研究函数的单调性，巧妙地把导数知识揉入到函数中。例3用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的体积最大？并求出它的最大容积。解：设容器底面短边长为x（m），则另一边长为x+0.5（m），高为(m)，故容器体积为（0x1.6）令得，或（舍去），经检验，为极大值，而由于定义域内只有一个极值，故为最大值。因此，当m，容器高为1.2m时，容器的体积最大，最大为1.8m3 。点评：在数学建模、函数与导数等的交汇处设计应用问题，是高考新课程的一大特点。2导数与不等式交汇例4已知a0，n为正整数， （）设y=，证明；（）设fn(x)=xn，对任意na，证明f n+1 (n+1)（n+1）f n（n）。 解：（）因为=所以=。 （）对fn(x)=xn（xa）n求导：f n(x)=nxn1n（xa）n1 f n(n)=nnn1（na）n1 当xa0时f n(x)0，当xa时，fn(x)=xn（xa）n是增函数， 因此，当na时，（n+1）n（n+1a）nnn（na）n， f n+1(n+1)=（n+1）（n+1）n（n+1a）n（n+1）nn（na）n点评：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与证明不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力。应该说，本题所用知识并不多，但由于考生对用导数法证明不等式这一思想方法不适应，以致于丢分现象很严重，这反映了学生未能把握现行教材的思想内涵，不能做到学以致用，融汇贯通，这一现象值得深思。3导数与数列知识交汇例5 求和： ；解：由得， 将两边同对x求导，得 令x=1得， 即原式= 。点评：本题若当作数列求和，用传统方法求解则技巧性较高。以上解法通过构造二项式，运用导数工具来求和，显得别具一格。 例6 二次函数y=f(x)图象经过点（0，10），导函数。当（）时，f(x)的函数值为整数的个数记为，求数列的通项公式。解：设f(x)=x2-5x+c(c为常数) 图象经过点（0，10）c=10 f(x)= x2-5x+10= 当（）时，f(x)的函数值为整数的个数是， 当时在的值域是， ； 当时在的值域是， ； ， 时递增， 即当时，在递增，值域为， 。 综上所得， 。点评：本题利用导数给出函数，将函数值域与数列通项紧密结合，显得新颖别致。4导数与向量的交汇例7 已知向量，求的最小值。解：，记之为f(x),则 ， 令得，x=-3或x=1 。列表如下：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4) 4+0-0+递增9递减递增 当时，的最小值是 。点评：本题借助向量的坐标得到了关于x的函数，然后用导数知识研究函数闭区间上的最值问题，交汇的自然流畅。5导数与解析几何交汇例8已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直线同时C1和C2是的切线，称是C1和C2是的公切线。公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。（1）a取什么值时， C1和C2有且只有一条公切线？写出此公切线的方程；（2）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。解：（1）函数y=x2+2x的导数，函数y=-x2+a的导数， C1在点P（x1,x12+2x1）处的切线是 即 C2在点Q(x2,-x22+a)处的切线是 即 如果是C1和C2是的公切线，则和都是的方程，消去x2得， 2x12+2x1+1+a=0，利用得，P、Q重合。 因此时C1和C2有且只有一条公切线，此公切线的方程是 。 （2）有以上可知时C1和C2有两条公切线， 设一条公切线上切点为P1(x1,y1),Q1(x2,y2)，则x1+x2=-1,y1+y2=-1+a ， 公切线段P1Q1的中点为 。 同理，另一条公切线段P2Q2的中点也为。 相应的两条公切线段P1Q1与P2Q2互相平分。点评：导数的几