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特征函数的性质及其应用摘要 在一般情况下，数学期望、方差只能粗略地反映分布函数的某些性质，能够完全刻画分布函数的是它的特征函数.特征函数有时比分布函数更便于应用.如：要研究独立随机变量和，就要求出它的分布函数，而独立随机变量和的分布律是各随机变量分布律的卷积，计算起来很复杂。但独立随机变量和的特征函数等于它的各被加项的特征函数的乘积。本文首先讨论了特征函数的一些性质及如何判别一个函数是否为特征函数；然后给出了特征函数与分布函数之间存在一一对应关系，并通过举例说明了特征函数在求数学期望与方差、证明极限定理、证明恒等式等方面的应用.这些都进一步说明了有时用特征函数比用分布函数做随机变量的研究工具更方便.关键词 特征函数 分布函数 数学期望1 引言 除了一些特殊的分布（如二项分布、普哇松分布、正态分布等）被它的数学期望和方差所唯一决定外。在一般情况下，数学期望、方差只能粗略地反映分布函数的某些性质，能够完全刻画分布函数的是它的特征函数.特征函数有时比分布函数更便于应用。例如，研究独立随机变量和的分布时，用分布函数是求卷积，而用特征函数则化为简单的乘法；矩的计算对分布函数是积分而对特征函数则是微分；在极限定理的研究中，特征函数尤其起着重要的工具作用.特征函数既能完全确定分布函数，又在处理独立随机变量和的分布及计算数字特征等方面比分布函数更为方便，这使得有必要进一步讨论特征函数的相关性质及其应用.2 特征函数的定义及性质2.1 定义设是随机变量的分布函数，称函数=（）为随机变量的特征函数.特别，如果为连续性型的，它的密度函数为,则它的特征函数为=如果是离散型的，它的分布列为，则它的特征函数为= 下面给出一些重要分布的特征函数（1） 1. 单点分布的特征函数为 = 2. 二项分布的特征函数为 =. 3. 普哇松分布的特征函数为 =.4. 若服从上的均匀分布，则的特征函数为 =.5.设，则的特征函数为 =.6. 设,则的特征函数为 .2.2 性质（2）性质1. 特征函数在上一致连续且|=1，= （这里表示的共轭）. 性质2. 是非负定的，即对于任意的一组实数及复数，恒有性质3. 设是的特征函数，则的特征函数为： 性质4. 两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积.利用归纳法，不难把上述性质推广到个独立随机变量的场合，若是个相互独立的随机变量，相应的特征函数为，则的特征函数为 . 在这里应当着重指出，正是由于性质4，才使得特征函数在概率中占有重要地位.由于这个性质，独立随机变量和的特征函数可以方便地用各个特征函数相乘来求得，而独立和的分布函数要通过褶积这种复杂的运算才能得到，相比之下，用特征函数来处理独立和问题就有利得多.独立和问题在概率论的古典问题中占有“中心”地位，而这些问题的解决大大有赖于特征函数的引进.性质5. 设随机变量有阶矩存在，则它的特征函数可微分次，且当时： （1）（性质5使我们可以方便地求得随机变量的各阶矩.） 推论： 若随机变量有阶矩存在，则它的特征函数可作如下展开： （2） 性质6. 分布函数对称（即）的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.3 判别特征函数的若干方法3.1 根据命题判别命题1.(3) 若是特征函数，则（1），（2），（3）（为正整数）也是特征数证明：（1）若是随机变量的特征函数，则是随机变量= 的特征函数.（2）若与独立同分布，其特征函数为，则=是随机变量的特征函数.（3）若独立同分布，其特征函数为，则是随机变量的特征函数. 命题2. 函数及都是一个特征函数当且仅当证明： 若及都是特征函数，不妨设和相互独立，且和的特征函数分别是及，由于的特征函数为，所以，故 ， 从而或1.因此必存在常数，使得，所以服从单点分布，即，反之，若，则也是特征函数.所以当且仅当时， 函数及都是特征函数. 3.2 利用特征函数的基本性质判断例1： 判断下列函数是否为某随机变量的特征函数？1) ；2) ； 3) 当时,；当时,.解： 1) ； 2) 时,3) 在处不连续.由性质1知，它们都不具有特征函数的性质，所以都不是特征函数.由此可见 ，我们不仅可以利用一些命题还可以利用特征函数的基本性质去判断一个函数是否为特征函数。4 特征函数的应用（1）分布律与特征函数之间存在一一对应关系.因此当求出了随机变量的特征函数，便可知其分布律，由特征函数的某些性质，可以推出分布律的某些性质.不仅如此，在分布律的某种收敛意义下的极限分布与特征函数之间也存在着对应关系.因此，由特征函数的极限函数有时可以推知极限分布律，因而推知随机变量序列的极限分布.（2）特征函数是一种有界连续函数，比分布函数及分布律更易于应用分析的工具.（3）独立随机变量，特别是独立随机变量和以及有关的问题在概率的发展中具有重要的地位，为要研究独立随机变量和，就要求出它的分布函数，而独立随机变量和的分布律是各随机变量分布律的卷积，计算起来很复杂，但独立随机变量和的特征函数等于它的各被加项的特征函数的乘积，计算和研究都很方便.这就是为什么古典极限问题能在引进特征函数之后很快得到解决的原因.4.1 特征函数与分布函数的一一对应由特征函数的定义可知，随机变量的分布函数唯一地确定了它的特征函数.反过来，也能够证明由特征函数可唯一地确定它的分布函数，从而特征函数也就成为刻画随机变量统计规律的数学工具.由特征函数求分布函数的式子，称为“逆转公式”，也称勒维定理.勒维定理（逆转公式）：(4)设随机变量的分布函数为，特征函数为，又与是的任意两个连续点，则有：其中，当时，按连续性延拓定义：唯一性定理：随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定.例2. 设是个相互独立的，且分别服从分布的正态随机变量，试求 的分布.解： 已知的分布为分布，故相应的特征函数为由特征函数的性质4知的特征函数为：由唯一性定理知，服从分布.4.2 利用特征函数求数学期望和方差例3. 设服从几何分布，求，.解： ， ， 于是由性质5知 .4.3 在极限定理中的应用要研究一个分布函数列是否收敛,有时直接判别是比较困难的,而判断相应的特征函数列的收敛性却往往比较容易.在这种情形下,我们要用到特征函数的连续性定理.(特征函数的连续性定理) 设分布函数列弱收敛于某分布函数，则相应于的特征函数列收敛于相应的的特征函数，且在的任一有限区间内收敛是一致的.例 4. 若是服从参数为的普哇松分布的随机变量,证明 (1)证明: 已知的特征函数为,故的特征函数为对任意的有:于是, ，从而对任意的点列,有但是是分布的特征函数.所以由连续性定理有 成立,因为是可以任意选取的,这就意味着(1)式成立.例5. (辛钦大数定律)（2） 设是一列独立同分布的随机变量,且数学期望存在：，则对任意的有:=1 . 证明: 因为有相同分布,所以也有相同的特征函数,记这个特征函数为,又因为存在,从而特征函数有展开式: 再由独立性知的特征函数为: 对任意取定的有: 而是退化分布的特征函数,相应的分布函数为所以，的分布函数弱收敛于所以, ,故辛钦大数定律成立.辛钦大数定律也可以用“截尾”方法证明,但是证明起来显然“吃力”,而在这里用特征函数做工具,证明就显得比较“轻松”，这是因为其中涉及到独立随机变量和的分布.所以，我们说特征函数在求独立和的分布时具有特殊的威力，而上述的特征函数连续性定理“如虎添翼”，更增加了特征函数在解决独立和的分布极限问题时的效能，使之成为无与伦比的锐利工具.由此可见，特征函数这一工具是深入研究极限定理所不可缺少的，一般场合中心极限定理的证明得力于特征函数这一有力的工具的巧妙应用，它在历史上推动了古典极限定理问题的解决.4.4 特征函数在恒等式证明中的应用若有阶（原点）矩，则它的特征函数有阶导数，并且由性质5已有 下面给出特征函数在恒等式证明中的应用.例 6. 试证： 证明： 设有二项分布：则有 于是 而 所以， 取 有： 例7. 试证： 证明：设 有几何分布：，则有， ， 于是： 又因为： 所以： =取，,则有 例8：试证 证明：设有指数分布，则分布密度为则有： 则 而 所以 故 从以上例子，我们不难看出：有些恒等式利用分布函数很难给出证明，或