理论力学 教案.doc

教 案院（系、部） 土木工程与力学学院 课 程 名 称 理 论 力 学 课 程 性 质 专 业 基 础 授 课 专 业 力 学 授 课 教 师 韩 建 平 职 称 职 务 副 教 授 使 用 教 材 理论力学(哈工大理论力学教研室) 2007 年 4 月理论力学课程教学规划课程基本情况总学时108讲课学时108学分6讨论学时0课程类别专业基础必修课开课学期2考试方式闭卷适用专业力学、土木、开课院（系）土木工程与力学学院教学用书教 材 名 称教材编者出 版 社出版年月版次主要教材理论力学哈工大理力教研室高等教育出版社2003.86参考资料理论力学朱照宣，周起钊，殷金生，北京大学出版社，19821理论力学贾书惠高等教育出版社20021理论力学同步辅导李冬华哈尔滨工业大学出版社20041教学内容与进程章号教学内容学时分配教案索引备注绪论21静力学公理和体的受力分析42平面汇交力系和平面力偶系43平面任意力系64空间力系65摩擦6 6点的运动学47刚体的简单运动68点的合成运动89刚体的平面运动12 10质点动力学的基本方程311动量定理512动量矩定理813动能定理 1414达朗贝尔原理 6 15虚位移原理4非惯性系质点动力学，碰撞，变质量10合 计108绪论一、理论力学的研究对象理论力学是研究物体机械运动一般规律的一门学科。所谓机械运动是指物体在空间的位置随时间的变化。例如日、月、星辰的运行，车辆、船只的行驶，大气、河水的流动，建筑物的振动，一切机器的运转等等，都是机械运动。其中平衡，如相对于地球处于静止状态，则是机械运动的一种特殊形式。就最一般的意义来说，运动是物体的存在形式。大家知道，世界上没有绝对静止的物体。运动是物质的固有属性，它包括了在物质世界中所发生的一切变化与过程。因此物质的运动形式是多种多样的。除机械运动外，物质的发声、发光、发热、化学过程、电磁现象，以致人类的思维活动、生命现象（即生老病死）等也都是物质的运动形式。在多种多样的运动形式中，机械运动是人们在日常生活和生产实践中最常见、最普遍、也是最简单的一种运动。而任何比较复杂的，比较高级的物质运动形式都与机械运动存在着或多或少的联系。所以，理论力学的概念、规律和方法在一定程度上也被应用于自然科学的其它领域中，对他们的发展起了积极作用。在力学范围内，通常把机械运动简称为运动。物体的机械运动都服从某些一般规律，这些一般规律就势力伦理学的研究对象。按照循序渐进的认识规律，本书分为静力学、运动学、动力学三部分依次进行研究。首先，静力学是研究物体平衡的科学，是研究动力学的基础。在工程中具有重要的意义。平衡是物体机械运动的特殊形式。在工程上平衡是指物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动的状态。在静力学中主要研究力系的简化和物体的平衡条件。也就是课本上所讲的主要研究受力物体平衡时作用力所应满足的条件，同时也研究物体受力的分析方法，以及力系简化的方法等。运动学是研究物体在空间的位置随时间变化规律的科学，在工程中有其独特的意义。如对一部机器，为了满足生产的需要，首先要求各零部件能正确实现预先规定的运动，这就需要运动学的知识。也就是运动学只从稽核的角度来研究物体的运动（如轨迹、速度和加速度等），而并不研究引起物体运动的物理原因。动力学研究的是物体机械运动的变化和作用在物体上的力之间的关系，他在理论力学中占有主体地位。动力学的知识在工程技术中应用甚广，动力机械设计、结构动力分析等工程问题都需要动力学的知识。简单的讲，动力学研究的就是受力物体的运动与作用力之间的关系。（如动量、动能以及动量定理、动能定理、能量守恒等等都属于动力学的范畴）。近代物理学的发展说明了经典力学的局限性：经典力学仅适用于低速、宏观物体的运动。当物体的速度接近于光速时，其运动应当用相对论力学来研究；当物体的大小接近于微观粒子时，其运动应当用量子力学来研究。而对于速度远低于光速的宏观物体，由经典力学推得的结果具有足够的精确度。工程技术中所处理的对象一般都是宏观物体，而且其速度也远低于光速，所以其力学问题仍以经典力学的定律为依据。因而经典力学至今仍有很大的实用意义，并且还在不断的发展着。理论力学作为一门独立的学科有着其它学科所不能包含了的研究对象，针对这些研究对象，理论力学有着它与其他学科所不同的研究方法。这对于我们今后的学习有着非常重要的作用。下面我们就来介绍一下理论理学的研究方法。二、理论力学的研究方法任何一门学科由于研究对象的不同而有不同的研究方法，但是通过实践而发现真理，这是任何科学技术发展的正确途径。理论力学的发展史也遵循着这一认识规律。概括地说，理论力学的研究方法是从对事物的观察、实践和科学实验出发，经过分析、综合归纳和抽象化，建立起力学模型，总结出力学的最基本的概念和规律；从基本规律出发，利用数学推理演绎，得出具有物理意义和实用意义的结论和定理，构成力学理论；然后再回到实践中去验证理论的正确性，并在更高的水平上指导实践，同时从这个过程中获得新的材料、新的认识，再进一步完善和发展理论力学。理论力学是伴随着人类生产实践的历史长河发展起来的，现已是一门历史悠久的成熟的学科。整个理论力学已为数不多的几条公理、定律为基础，以统一的观点深刻地揭示了力学诸定理之间的内在联系，形成一定的逻辑系统，便于学习、掌握和应用。但应值得注意的是，因为理论力学的概念、公理和定律是来自实践的，其中有的是在生活和生产实践中与我们形影不离的，因而它们并不是抽象的和难以理解的，但是我们已有的一些感性认识，有的可能是片面的，有的可能甚至是一种错觉。这就要求在学习理论力学的过程中，勤于思考，深刻理解基本概念和基本原理，克服片面，避免主观臆断，不断提高自己的理论水平。 在我国古代，人们通过各种实践对于机械运动已经有了初步的认识，形成了一些力学基本的概念。墨子所著的墨经就是最早记载有关力学理论的著作，书中提到“力，刑之所以奋也”就明确表达了力是物体运动的原因，对于古代的提水工具桔槔的记录就明确表达了杠杆原理。这比欧洲的要早几百年。而理论力学大多数的定理公理都是来源于实践和实验，可以说实验和实践是形成理论的主要基础。一般解决理学问题时所应遵循的方法步骤是：1、将所要研究的问题抽象化为一定的力学模型，这些力学模型既要反映问题的矛盾主体，又要便于求解。2、应用力学原理把有关的力学问题书写成数学形式。3、运用一定的数学工具求解。4、根据具体问题，对数学解进行分析讨论，甚至决定取舍。这是我们在解决具体的力学问题时的步骤。而课本上给出的是我们在解决所有问题时所应把握的思想，以及采用的方法。首先作为解决理论力学问题最基本的方法实验是我们在解决任何问题时都应重视的。理论力学中所要学到的一些基本概念以及一些基本规律，这些都是建立在大量实验基础上的，而由实验得到的结论又是我们解决实际问题的依据。根据这些结论，我们就可以经过抽象化建立起力学模型，这也就接上了我们前面讲的关于一些具体问题的解决方法。最后还要指出的一点是我们解决任何问题都是为了指导实践。所以不管我们得到的结论如何完善，都必须放到实践中去检验，只有通过实践检验的结论才可以称之为真理。前面我们讲了理论力学的研究对象，以及它的研究方法，下面我们来明确一下学习理论力学的目的。三、学习理论力学的目的理论力学是现代工程技术的理论基础，它的定律和结论被广泛应用于各种工程技术中。各种机械、设备和结构的设计，机器的自动调节和振动的研究，航天技术等等，都要以理论力学的理论为基础。另外对于工程实际中出现的各种力学现象，也需要利用理论力学的知识去认识，必要时加以利用或消除。因此一般工程技术人员都必须具备一定的理论力学知识。理论力学是一门理论性较强的技术基础课。通过学习本课程，要掌握物体机械运动的基本规律，初步学会运用这些规律去分析和解决生产实际中的力学问题，并为学习后续的力学与其他机械设计等课程做好准备。另外，随着现代科学技术的发展，力学与其他学科相互渗透，形成了许多边缘学科，它们也都以理论力学为基础的。如生物力学、电磁流体力学、爆炸力学、物理力学等这些新兴学科的建立都必须以坚实的理论力学知识为基础。由此可见，学习理论力学，也有助于学习其它的基础理论，掌握新的科学技术。因为理论力学的研究方法遵循着辩证唯物主义认识论的方法，故通过本课程的学习，有助于培养辩证唯物主义的世界观和正确分析问题和解决问题的能力，为以后参加生产实践和从事科学研究打下良好的基础通过绪论初步了解理论力学的研究对象、研究方法以及学习目的，他也是对本课程的总的思想的概述，对今后的学习起着非常重要的作用。第一章 静力学公理和物体的受力分析第一节 静力学公理重点：静力学公理难点：静力学公理的两个推一、基本概念1平衡：指物体相对于地面保持静止或匀速直线运动的状态，平衡是机械运动的一种特殊形式。2刚体：物体受力作用后大小和形状保持不变的物体，特征是刚体内任意两点的距离始终保持不变。3物体间的相互机械作用，这种作用可使物体的运动状态和形状发生改变。改变物体运动状态的效应叫外效应，也叫运动效应，改变物体形状状态的效应叫内效应，也叫变形效应4力系：作用在物体上的一群力，记为5等效力系：若两个力系对物体的效应完全相同，则称这两个力系为等效力系。记为等效的两个力系可以相互代替，称为力系的等效替换。6力系的简化：用一个简单的力系等效替换一个复杂的力系。合力：一个力的作用效应同一个力系的作用效应相同。平衡力系：二、静力学公理1 二力平衡公理：作用在刚体上的二力使刚体平衡的充要条件是：大小相等、方向相反、作用在一条直线上。 应用此公理，可进行简单的受力分析。构件AB在A、B各受一力而平衡，则此二力的作用线必定在AB的连线上，像这种受两力而平衡的构件，称为二力构件（二力杆）。2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的已知力系中加上或减去任何平衡力系，并不改变原力系对刚体的效应。推论1 力的可传性：作用于刚体上的力可沿其作用线移至同一刚体内任意一点，并不改变其对于刚体的效应。证明：由推论1可知：对于刚体来说，作用点并不重要，对力的作用线有影响的是力的作用线，因而，对刚体来说，力的三要素是大小、方向和作用线。3力的平行四边形法则：作用于物体上某一点的两力，可以合成为一个合力，合力亦作用于该点上，合力的大小和方向可由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定。力的三角形法则：推论2 三力平衡正交定理：当刚体受三力作用而平衡时，若其中两力作用线相交于一点，则第三力作用线必通过两力作用线的交点，且三力的作用线在同一平面内。证：（图解）由平行四边形法则 二力平衡必共线，过A点。 4作用力与反作用力定律：两物体间的相互作用力总是大小相等、方向相反，沿同一直线，分别作用在两个物体上。5刚化原理：若将处于平衡状态的变形体刚化为刚体，则平衡状态保持不变。（举例）应写出具体的例子来。此公理说明，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件。静力学公理是人类经过长期的缜密观察和经验积累而得到的关于力的基本性质。这些性质是人们在长期的生产实践中，经过实践、认识、再实践、再认识，这样反复的循环，总结、概括、归纳出的基本原理，他不能用更简单的原理去代替，而且无需证明而为大家公认并可作为证明中的论据，是静力学全部理论的基础。第二节 约束和约束力重点：1、约束的概念， 2、柔性约束、光滑接触表面约束、光滑铰链约束的特征及约束反力的画法难点：1、约束的概念， 2、光滑铰链约束的特征1基本概念：自由体：可以在空间不受限制地任意运动的物体。例子！非自由体：运动受到了预先给定条件的限制的物体。例子！约束：事先对物体的运动所加的限制条件。约束力：约束对被约束物体的作用力，它是一种被动力。（主动力：使物体运动或有运动趋势的力。）约束力三要素：作用点：在相互接触处 方向：与约束所能阻止的物体的运动方向相反。 大小：不能事先知道，由主动力确定。2常见约束柔性约束： 概念：像由链条、绳索等柔软的、不可伸长的、不计重量的柔性连接物体构成的约束。限制的运动：限制物体沿着柔性伸长的方向运动。约束力方向：沿着绳索，背离物体，是拉力。其它例子：光滑接触面约束概念：两物体直接接触，不计接触处磨擦而构成的约束。限制的运动：限制了物体沿过接触点的公法线而趋向接触面方向的运动。约束力方向：沿过接触点的公法线而指向物体是压力。更多的例子： 光滑铰链约束 活动铰支座 固定铰支座概念：两个构件钻有同样大小的圆孔，并用与圆孔直径相同的光滑销钉连接而构成的约束。限制的运动：限制物体沿圆柱销的任意径向剀，而不能限制绕圆柱销轴线的转动和平行圆柱销轴线方向的移动。约束力分析图 约束力三要素： 作用点：接触点，但此点不能事先确定。 方向：沿过接触点的公法线方向，垂直于轴线，是压力。但实际上由于接触点不能事先确定，因而约束力的方向也不能预先确定，通常用两个正交未知分力表示。大小：由主动力确定。方向：过轴心，垂直于轴，方向不变，通常用正交合力表示。辊轴支座 概念：铰支座用几个辊轴支承在光滑的支承上，它是光滑接触面约束和光滑铰链约束的复合。限制的运动：限制了沿支承面法线方向的运动。约束力： 约束力方向：垂直于支承面，指向未知。在工程中，主动力常被称为载荷，其大小和方向往往是已知的。约束反力的方向总是与约束所阻碍的物体的位移方向相反，这是确定约束反力方向的原则。约束反力的大小和方向往往是未知的，必须根据主动力来确定。工程实际中约束的形式多种多样，但可把它们归纳成几种典型的约束。静力学研究刚体平衡条件的主要目的是为了求出作用于处于平衡状态下物体上的约束力，并作为工程中按静力设计问题的理论基础。第三节 物体的受力分析和受力图重点：单个物体及物体系的受力分析难点：物体系的受力分析为了根据已知力求出未知力，需要弄清楚物体受哪些力即每个力作用线的位置及方向。这个分析物体受力情况的过程称为物体的受力分析。解决力学问题时，需要分析某个物体或若干物体组合而成的系统的受力情况，这个物体或若干物体组成的系统称为研究对象。为了清晰的表示研究对象的受力情况，需要把研究对象从与它有联系的周围其他物体中分离出来，单独画出研究对象的简图，这称为画分离体图。在分离体的简图上画出它所受的全部力（包括主动力和约束反力），这种表示分离体受力情况的简明图形称为物体的受力图。1、解除约束原理：当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部的约束除去，代之以相应的约束力，则物体的平衡不受影响。2、画受力图步骤如下：1、根据题意，恰当的选取研究对象，划出研究对象的分离体图；2、在分离体图上，画出它所受的主动力，如重力、风力、已知力等。并标注上各主动力的名称；3、根据约束的类型，画出分离体所受的约束反力，并标注上各约束反力的名称；4、为了计算方便，在受力图上标上有关的尺寸、角度和坐标，并写上各力作用点的名称。画受力图不仅在静力学，而且在动力学中都是进行力学计算的重要步骤。错误的受力图必将导致错误的结果，只有正确的受力图才能得出正确的解答。因此必须正确熟练的掌握受力图的画法。下面举例说明。例：已知：物块重P，小球重G，滑轮不计重量，各杆自重不计，求：各个物块及整体的受力图。 解：1 物块为研究对象，受力分析2 小球为研究对象，受力分析3 KD杆为研究对象，受力分析4 DE杆为研究对象，受力分析5 滑轮为研究对象，受力分析6 整体：受力分析，如图 在取整个系统为研究对象时，由于在B处所受的力互为作用力与反作用力，即FB=-FB，；在D点所受的力也互为作用力与反作用力，即FD=-FD；他们成对的作用在整个系统内，故称为内力。内力对系统的作用互相抵消，并不影响整个系统的平衡。因此，在画整个系统的受力图时，内力不必画出，只需画出系统以外的物体给系统的作用力。系统以外的物体作用给系统的力称为外力。这里已知力P、G、约束反力FA、FE、FG、FK对系统都是外力。通过示例，可以归纳出画受力应注意的事项：1、必须明确研究对象。根据求解需要，可以取单个物体为研究对象，也可以取由几个物体组成的系统为研究对象。不同的研究对象受力图不同。一般题目要求画哪部分的受力图，哪部分就应该为研究对象。2、凡是去掉约束的地方，都要画上约束反力，并要根据约束类型和其他条件定出（或假定）约束反力的方向或作用线方位。3、若有二力构件，一定要根据二力平衡公理，确定其约束的方向或作用线的方位。若研究对象为三个不平行的力作用而平衡，则可根据三力平衡汇交定理，确定某一约束力的指向或作用线的方位。4、每画一力都要追问其他施力物体，既不要多画力，也不要漏画力。在画几个物体组合的受力图时，研究对象内各部分间相互作用的力（内力）不画，研究对象施与周围物体的力也不画。5、若将由几个物体组成的物体系统拆开，画其中某个物体或某些物体组成的新物体的受力图时，拆开出的约束反力都应满足作用与反作用定律。第二章 平面汇交力系与平面力偶系第一、二节 平面汇交力系合成与平衡的几何法、解析法重点：力在坐标轴上的投影、合力投影定理、平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法难点：平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法一、汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。设汇交力系，汇交于O（图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明如图和图所示，其中讨论：1）图2中的中间过程可不必求，去掉的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。2平面汇交力系的平衡 设作用在刚体上的汇交力系为平衡力系，即先将由力多边形法合成为一个力，（）由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：与等值，反向，共线，即， 可得，或结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是，力多边形自行封闭。例1 已知：简支梁AB，在中点作用力，方向如图，求反力解：1。取研究对象AB梁2受力分析如图3作自行封闭的力三角形如图 4求解 例2已知：支架ABC，A、B处为铰支座，在C处用销钉连接，在销上作用，不计杆自重。求：AC和BC杆所受的力。解：1。取研究对象销钉C2受力分析3作自行封闭的力多边形。4解三角形 二、平面汇交力系合成和平衡的解析法1 力在坐标轴上的投影 力矢与各投影有以下关系： 此式称为力的解析式2合力投影定理若某平面汇交力系由几个力组成，则合力于是 结论：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上的投影的代数和，这称为合力投影定理。合力的大小： *合力的方向： 2平衡由几何法知。汇交力系平衡 由式（*）知平面汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系中每一轴上的投影的代数和都等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程，两个方程求两个未知量。例3. 已知：在铰拱不计拱重，结构尺寸为a，在D点作用水平力P，不计自重，求支、C的约束反力。解：分析易知OAB是二力杆件，1以BCD为研究对象；2受力分析3列方程，求解 求得 也可在系中。 可知：选择合适的坐标系，可以简化计算。例4已知：，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆AB与BC所受的力。解：1、研究对象：滑轮2受力分析3列方程求解 其中 解得 （压） （拉）从刚才的解题中，我们可以看出，几何法解题直观、简单、容易掌握，力系中各力之间的关系在力多边形中一目了然。但是若力多与三个时，力多边形的几何关系就非常复杂。而且由于按比例尺作图，因此只能反映各量（力、尺寸、角度）的某些特定值之间的关系，不能反映各量之间的函数关系。只要改变一个量，就要重新作图。因此在实际中，我们更多的是采用解析法来解题。第三节 平面力对点之矩的概念及计算重点：力对点之矩的计算难点：力对点之矩的计算平面中力矩的概念oABd（一）、力对点的矩的定义力使刚体绕O点转动的强弱程度的物理量称为力对O点的矩。用MO(F)表示，其定义式为MO(F)=Fd其中：点O称为矩心，d称为力臂。力矩的正负号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取正，反之取负。力矩的单位为：牛顿米（N m）。由图可知：MO(F)=ABC的面积（二）、平面汇交力系的合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。 即利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解析表达式，即例1支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm,F=100N, 。求F对A、B、C三点之矩。解：由定义由合力矩定理例2如图所示，求F对A点的矩。 解一：应用合力矩定理解二：由定义力对刚体的作用效应使刚体的运动状态发生改变（包括移动与转动），其中力对刚体的移动效应可用力矢来度量；而力对刚体的转动效应可用力对点的矩（简称力矩）来度量，即力矩是度量力对刚体转动效应的物理量。第四节 平面力偶重点：力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件难点：力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件一、力偶的概念在力学中，把等值、反向、平行而不共线的两个具有特殊关系的力作为一个整体，称为力偶。以( F,F)表示。两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，两力作用线间的距离称为力偶臂。力偶是具有特殊关系的力组成的力系，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质，但作为一个整体又有它本身的特性，现归纳如下：二、力偶的性质1、力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此：力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。力偶只能与力偶平衡。力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩，用m表示，即正负号表示力偶的转向。规定逆时针取正；顺时针取负。单位同力矩的单位。2、只要保持力偶矩不变，力偶可以改变力的大小和相应的力偶臂的大小，同时力偶可在其作用面内任意移转，而不改变其对刚体的作用。此性质是力偶系合成的基础。 由此可见，两力偶的等效条件是力偶矩相等。 在平面问题中，决定力偶作用效果的因素为：矩的大小和转向。所以力偶矩是代数量。 力偶可表示为：3、力偶在作用面内任一轴上的投影均为零。4、力偶对其作用面内任一点之矩与矩心的位置无关，恒等于力偶矩。三、平面力偶系的合成作用面共面的力偶系称为平面力偶系。 （1） 推广得：结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。四、平面力偶系的平衡平面力偶系总可以简化为图（1）示情形。若R=0，则力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，则或是R=0或是d=0，无论哪种情况，该力偶系均平衡。因此可得结论：平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即： 上式称为平面力偶系的平衡方程。例、求图示简支梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之得：在工程实践及日常生活中，常遇到物体受力偶作用的情况，例如汽车司机驾驶汽车时用双手转动方向盘，钳工用丝锥攻螺纹，人们用两个手指拧水龙头等。第三章 平面任意力系第一节 平面任意力系向作用面内一点简化重点：1、平面任意力系向作用面内任一点的简化, 2、力系的简化结果难点：主矢和主矩的概念一、概述各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系，简称平面力系。平面力系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。首先，平面力系是工程中常见的一种力系。另外许多工程结构和构件受力作用时，虽然力的作用线不都在同一平面内，但其作用力系往往具有一对称平面，可将其简化为作用在对称平面内的力系。下面介绍的方法是力系向一点简化的方法。这种方法不但简便，易于分析简化结果，而且可以扩展到空间力系中去，力的平移定理是力系向一点简化的理论基础。1、力的平移定理 （3） (2) (1)定理：可以把作用在刚体上点O的力平移到任一点O，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点O的力矩.证明：设一个力作用于刚体上的O点，如图（1）所示在刚体上任取一点O，此点到力作用线的距离为d，在O点加上大小相等、方向相反而且与力平行的两力，并使，根据加减平衡力系公理，显然力系。但在力系中力与构成了力偶，于是原作用在O点的力，被一个作用在O点的力和一个力偶所代替。而且的大小和方向与原力相同，因此可以把作用于O的力平移到O点，但必须同时附加一个力偶。因此力 对O点的力矩。所以附加力偶的力偶矩，又注意到O点的任意性，于是定理得证。2.平面力系向平面内一点简化设在刚体上作用一平面力系，各力的作用点如图所示。称简化中心主矢 主矩结论：平面力系向作用面内任一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，主矢的大小和方向与简化中心无关；该力偶的力偶矩等于力系对简化中心的主矩，主矩的大小和转向与简化中心相关。3固定端约束（插入端约束）概念；物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。实例：电线杆。当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受的力系也是一个平面力系，一般比较复杂，但可向点简化为一力和一力偶，力的大小和方向都是未知的，用如图d所示表示。4平面力系简化的最后结果1）简化结果（1）平面力系平衡（2）平面力系简化为一合力偶，力偶矩的大小和转向由主矩决定，与简化中心无关。（3）平面力系简化为一合力，此合力过简化中心，大小和方向由主矢确定。（4）平面力系简化为一合力，合力的作用线在点的哪一侧，应使得对之矩与主矩的转向相同。图中2）合力矩定理 即平面力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和，称为平面力系的合力矩定理。3）合力作用线方程由平面内力对点之矩的解析表达式可知其中是合力作用线上任一点。例4.1 求如图，所示的作用在梁上的分布载荷的合力的大小和作用线位置。1） 梁上作用一均布载荷，载荷集度为2） 梁上作用一线形分布载荷，左端的载荷集度为零，右端的载荷集度为解：1）“均布载荷”的合力可当作均质杆的重力处理，所以合力的大小为，作用在梁的中心，如图3） 当载荷不均匀分布时，可以通过积分来 计算合力的大小和作用线位置。在梁上离端处取微元，由于载荷线性分布，在处的集度，于是在上作用力的大小为：合力的大小为利用合力矩定理计算合力作用线的位置。设合力的作用线离端的距离为，有 例2 已知：矩形板的四个顶点上分别作用四个力及一个力偶如图所示。其中,力偶矩，转向如图所示，图中长度单位为。试分别求:1)力系向点简化结果2)力系向点简化结果3)力系简化的最后结果解：1 计算力系的主矢：所以 的解析式 2 向点简化的主矩即平面力系向点简化得到一力和一力偶，该力过点，其大小和方向与力系的主矢相同。该力偶的力偶矩等于主矩，如图3、向点简化的主矩利用两点之矩的关系计算 平面力系向点简化仍得到一力和一力偶，该力过点，其大小和方向仍与力系的主矢相同，该力偶的力偶矩等于主矩，如图4力系简化的最后结果因为主矢，所以力系简化的最后结果为一合力，其大小和方向与主矢相同，作用线方程为：合力为轴的交点坐标为（-3，0）。关于主矢和主矩，需弄清楚以下几点：1、 主矢不是力，主矩不是力偶。主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。2、 主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果；平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕某点转动的作用效果。3、主矢与简化中心的选择无关。从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。而主矩与简化中心的选择有关。第二节 平面任意力系的平衡条件和平衡方程重点：1、平面任意力系平衡的解析条件 2、平衡方程的各种形式难点：平面任意力系平衡的解析条件1 平面力系的平衡方程1） 基本形式： 平面力系是平面汇交力系和平面力偶系的组合，因而平面力系平衡的必要条件是 ， 解析式为：即平面力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在作用面内两个直角坐标轴上投影的代数和等于零，力系中各力对于平面内任意点之矩的代数和也等于零。2）二力矩式 且轴不垂直于、两点连线。证明：必要性，若平面力系平衡，则，易知成立。充分性：反证法，假定成立，而力系不平衡，则由前两式知力系不能简化为合力偶，所以必为一合力，且此合力必过，两点，由知此合力必垂直于轴，与已知矛盾，所以(4.11)成立，必有力系平衡。3）三力矩式 且、不共线例：平面平行力系的平衡方程。基本形式： 二力矩式：2、应用例1：图所示结构中，三处均为铰链约束。横杆在处承受集中载荷，结构各部分尺寸均示于图中，若已知和，试求撑杆的受力以及处的约束力。解：研究对象： 杆1 受力分析：易知是二力杆，所以点受力如图2 列平衡方程求解：3 研究对象： 杆4 受力分析：易知是二力杆，所以点受力如图5.列平衡方程求解：（1） 基本方程： 可得（2） 三力矩式： 可得例 2：如图所示，水平梁受到一分布载荷和一力偶作用，已知、不计梁自重， 求支座的反力。解：1、研究对象：梁2、受力分析：如图3、列方程求解： 解得例 3：平面钢架的受力及各部分如图所示，端为固定端约束。若图中、等均为已知，试求端的约束力。解：1、研究对象，钢架2、受力分析：如图3、列方程求解： 解得例 4：长凳的几何尺寸和重心位置如图所示，设长凳上的重量为，求重为的人在长凳上的活动范围。解：1、取研究对象：长凳2、受力分析：如图所示3、列平衡方程求解长凳受平行力系作用，但有3个未知量：、的大小和。需要利用翻倒条件补充一个方程。下面分两种情况讨论，当人在长凳的左端时，长凳有向左翻倒的趋势，要保证凳子平衡而不向左翻倒，需满足平衡方程 和限制条件 临界平衡时 解得： 当人在长凳的右端时，长凳有向右翻倒的趋势，要保证凳子平衡而不向右翻倒，需满足平衡方程 和限制条件 临界条件时 解得 所以人在长凳上的活动范围为 对于平面任意力系的三种形式的方程组，都可以求解平面任意力系的平衡问题。但对于单个刚体来说，只能列出三个独立的方程，求解三个未知量。在具体解题时，要通过合理选取矩心和投影轴，合理的选用方程组的形式，尽量避免联立解方程组的麻烦。另外，平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。第三节 物体系的平衡静定和超静定问题重点：物体及物体系平衡问题的解法难点：物体系平衡问题1、静定和静不定问题1） 静定和静不定问题概念。前面例子所讨论的平衡问题，未知力的个数正好等于平衡方程的数目，因而能由平衡方程解出全部未知数。这类问题称为静定问题。相关的结构称为静定结构。工程上为了提高结构的强度常常在静定结构上再附加一个或几个约束，从而使未知约束力的个数大于独立平衡方程的树目。因而，仅仅由平衡方程无法求得全部未知约束力，这时的平衡问题称为超静定问题或静不定问题，相应的结构称为超静定结构或静不定结构。2） 平面内刚体的自由度以坐标平面内运动的刚体为例，说明平面内运动的刚体自由度。若刚体平移(平动)，有两个自由度若刚体定轴转动，有一个自由度。若刚体作平面一般运动，（既有平动又有转动），有3个自由度 。3）刚体的三种约束状态所谓约束状态是指刚体在空间所收的限制状况。约束状态与自由度有关，自由度大于零称为不完全约束，自由度等于零者称为完全约束。 若自由度 未知约束力个数独立平衡方程数目则时，为不完全约束 时 为完全约束，且为静定问题 时 为完全约束，但为超静定问题 图所示为不完全约束，图所示为完全约束，且为静定结构，图所示为完全约束，但为超静定结构。4）超静定次数超静定问题中，未知约束力的个数与独立的平衡方程数目之差，称为超静定次数，与超静定次数对应的约束对于结构保持静定是多余的，故称为多余约束。静不定次数用之表示由式确定2简单物体系平衡问题物体系平衡问题的特点是：仅仅考虑系统的整体或某个局部（单个刚体或局部刚体系统）不能确定全部未知力。为了解决物体系统的平衡问题，需将平衡的概念加以扩展，即：系统若整体是平衡的，则组成系统的每一局部以及每一个刚体也必然是平衡的。如刚体系统由个刚体组成，设其中个刚体受平面力偶系作用，个刚体受平面汇交力系或平面平行力系作用，个刚体受平面力系作用，则，分别考虑每个刚体的平衡，总共可得个独立的平衡方程。若未知的外约束力和内约束力的总数为个，如，则刚体系统是静定的，否则是静不定的，静力学只研究静定平衡问题。例5图示起重机置于组合梁上，各梁的自重不计，已知：，起吊重物，试求支座、的约束力。（设梁与起重机光滑接触） 解：1、判断系统的静定性：，其中，得，而。所以静定。整体不单独静定，而起重机单独静定，故可以研究起重机。2、取研究对象：起重机，受力分析：如图列方程求解： 解得：，3、取研究对象：梁，受力分析如图列方程求解： 解得：4、选择为研究对象，受力分析如图列方程求解： =0 例6、在图示结构中，各杆自重不计，已知 ， ，、处为铰链联接，试求：1） 支座、的约束反力2） 铰链的约束反力 解：1、判断系统的静定性：,静定，单独静定，所以应先研究，然后由于可列两个一元一次方程，所以接着应研究。2，研究对象，受力分析如图列方程求解： 解得： 3、研究对象：，受力分析，如图列方程求解： 解得： 4、研究对象： ，受力分析如图列方程求解： 解得：，例7、不计自重的三杆，用铰链、滑槽、销钉连成如图14.18所示结构，图中围成正方形，为正方形中心点，为杆中点，水平杆的端受铅直向下的力作用。固定在水平杆中点的销钉与滑槽光滑接触，试求各约束处的约束力。解：1判断系统的静定性： ,，所以系统试静定的。系统整体的约束力数4，不单独静定，但有两个一元一次方程，故仍可先研究整体 2取研究对象：整体，分析受力：如图列平衡方程求解： 3取研究对象：杆，分析受力：如图列平衡方程求解： 4取研究对象：杆，分析受力：如图 列方程求解： 将的值代入中，得：解物体系的平衡问题时，可选取系统的整体作为研究对象，由于平衡方程中不包含内力，未知量较少，常常可以由此解出部分未知量，然后再选取系统中的一个物体或部分物体作为研究对象，求解其余未知量。有时，也从系统中的一个物体开始，逐个考虑系统中的其它物体。总之，求解物体系的平衡问题技巧性较强，不同的解法繁简程度不同。需要大家在今后的练习中自己摸索。第四节 平面简单桁架的内力计算重点：简单桁架杆件内力的节点法和截面法难点：简单桁架杆件内力的节点法和截面法一、首先关于上节课物体系的平衡问题还有两个例题先讲一下。例8无重直杆长，长,端用铰链相连，、两端用铰链固定。两杆各与铅垂线的夹角，杆中点作用铅垂力，杆中点作用水平力，试求、两处之约束力。 解：1判断系统的静定性：,，所以静定，但没有单独静定的物体，也无一元平衡方程，需解联立方程组2取为研究对象，受力分析列方程： 3整体为研究对象，受力分析列方程： 联立，可得：，代入，得： ，例9图示结构由曲杆,及直杆铰链组成，各杆自重不计。已知：，试求：曲杆在铰链、处所受的力 解：1判断系统的静定性：,，静定。2研究对象整体，受力分析：如图14.20所示列方程： 3研究杆，受力分析：如图4.20所示列方程： 4研究，受力分析：如图4.20所示列方程： 代入式可得：二、平面简单桁架的内力计算桁架：由一些直杆两端铆接、焊接或榫接而成具有坚固性的杆架结构。若所有杆件的中心线都在一个平面内，称为平面桁架。节点： 桁架中各杆的连接点。在工程设计中，能够达到设计精度要求的近似计算非常重要，过于复杂严密的高精度计算，往往是不必要的。因此，计算桁架中各杆件内力时，为了简化计算，常作如下假定：1、直杆两端都为光滑铰链连接。2、杆件自重不计。3、架所受的外载荷都作用在节点上，其作用线在桁架平面内。根据以上假设，求解静定桁架中各杆件的内力一般采用节点法和截面法，下面把这两种方法分别给以说明。例10图示一平面桁架，试求3、4、5、6杆的内力 解法一（节点法）1 取研究对象：节点，受力分析：如图4.21列方程求解： ，2 取研究对象：节点，受力分析：如图4.21列方程求解： 3取研究对象：节点受力分析：如图4.21列方程求解： ，解法二（截面法）1 用截面将 4、5、6杆截断，取其右半部分为研究对象2 受力分析：如图4.21，其中是零力杆：即3 列方程求解： 在上述各节点的受力图中，经