线性插值在金融中的若干应用.docx

存档编号_ 学士学位论文线性插值在金融数学中的若干应用教学学院 数学与计算机科学学院 届 别 2012届 专 业 信息与计算科学 学 号 xxxxxxxxx 姓 名 xxxxxx 指导教师 xxxx 完成日期 2012年5月13日 目录内容摘要2关键词2Abstract2Key words21 引言32线性插值的基本原理32.1基本引理32.2二分法的基本思想42.3 弦截法的基本思想42.4 算法53 应用54 总结11参考文献12附录13内容摘要：线性插值是金融数学中求解高次多项式方程时的一种常用方法，它通过进行反复的求解，逐次的向最优解逼近，从而得到方程在一定误差范围内的最优解。本论文讲重点讲解二分法和弦截法的基本原理和应用比较。关键词： 二分法 弦截法 误差 算法Abstract: Linear interpolation is financial mathematics in high polynomial equation solution of a common method, it through repeated solution of the optimal solution to successive approximation, and get in a certain error equations within the scope of the optimal solution. This paper explained the point dichotomy chord cut the basic principle and application of comparison.Key words: Dichotomy; string section method; error; algorithm1 引言在金融数学中，我们经常遇到对遇到求解代数方程或超越方程。对于不高于四次的代数方程已有求根公式，而高于四次的代数方程则无精确的求根公式，面对这类问题无法或很难求其精确解了。为了解决这类问题，我们可以通过求得方程的一个近似解来代替方程的精确解。线性插值就可以有效的解决这个问题，通过转换成求非线性方程零解的问题而得到方程的一个近似解。二分法和弦截法就是其中的一种。通过一次次的向最优解逼近的思想，得到一定误差范围内的最优解来作为方程的近似解。2线性插值的基本原理2.1基本引理引理1：若函数在点的附近包括本身有定义，并且我们就称在点连续，此时称点是的连续点。引理2：若在连续，和异号，那么在内至少有一点使使函数值为零的自变量，我们称为函数的零点。引理3：如果在连续，,那么方程在内有实数根，通过逐次逼近使得在一定允许的误差内趋近于零。引理4：设方程的根为且则迭代法 (1) 至少是平方收敛，并称上式为Newton迭代法。2.2二分法的基本思想首先取区间的中点,保留有根的半个区间或；再取新的区间的中点，保留有根的半个区间，依此类推，直到区间长度减小到给定的精度。此时，该区间内任意一点可以作为方程根的近似值。2.3 弦截法的基本思想在Newton迭代法中由于要求解的导数，可以用导数的近似值替代.因为 (2)将它代入Newton迭代公式中，得 =则 (3)2.4 算法2.4.1 二分法Step1:首先，我们可以利用Matlab软件画出函数的曲线，从函数曲线可以大概的看出函数的走向，再任意的取两点,使得。Step2:取区间a,b的中点，如果,则为所求的根；Step3:如果且,则取否则，如果,那么取。从而得到新的有解区间,将它看作区间； Step4:再重复执行Step2至Step3；直到区间长度不超过给定的误差.2.4.2 弦截法Step1:确定初始值，精度要求，最大迭代次数；Step2:计算函数值Step3:利用公式(3)计算方程新的近似根Step4:若满足时便可停止迭代，作为方程的近似根，计算结果；否则取，重复利用公式(3)计算，直到满足要求。3 应用例 已知现在投入1000元，在第三年底投入2000元，在第十年低的全部收入为5000元，计算半年换算名利率。解：设半年换算名利率为，令，则价值方程为 这个方程没有分析表达式的解，必须考虑近似解，若定义 则近似解问题变成求满足 首先，我们可以用Matlab软件画出的函数曲线如下：图 1从上图中我们可以清楚的看出在之间是连续的，并且存在和使得,所以我们任意选择满足条件的两个点和分别有：= = 假设选取误差范围首先利用二分法进行求解： = 由于，所以取和继续做二分法， 由于，所以取和继续做二分法， 由于，所以取和继续做二分法， 由于，所以取和继续做二分法， 由于，所以取和继续做二分法， 由于，所以取和继续做二分法， 由于，所以取和继续做二分法， 由于，所以取和继续做二分法， 此时，所以而且的值也已经很接近零了，因此可以取作为方程 的近似解。所以，所求的半年换算名利率为利用Matlab软件可以得到如下结果：表10.03250025.45240.031250-72.55640.031875-23.78620.0321880.77430.032031-11.52060.032109-5.37680.032148-2.30220.032168-0.76420.0321780.0050 利用弦截法求解： 由线性插值公式(3)有 又对和利用公式(3)继续进行计算可以得：对和同样，由线性插值公式(3)求得:当然这个运算过程还可以继续进行下去，但是因为故取所以，所求的半年换算名利率为针对以上的问题，我们可以用Matlab软件来进行求解，得到在不同的精度要求下的解，计算代码见附录，当设定允许误差为时，用附录一的代码运行结果如下：表20.032131-3.6926560.032177-0.0791020.0321780.0000284 总结二分法是求单根行之有效的方法，其优点是算法及相应程序简单，对函数性质要求不高，收敛性可得到保证。它的缺点是在求根过程中只用到函数值的符号，而没有用到所计算出的函数值。参考文献1 欧阳光中.数学分析M. 3版. 北京:高等教育出版社，2007:8089.2 施吉林，刘淑珍，陈桂芝.计算数值方法M.3版.北京：高等教育出版社，2009:227228.3 吴岚，黄海.金融数学引论M.北京：北京大学出版社，2005:1021.4 蔺小林,蒋耀林编著.现代数值分析M.北京：国防工业出版社，2004:7980.5 朱旭.MATLAB软件与基础数学实验M. 西安：西安交通大学出版社，2008:7075.附录二分法：f=inline(1000*(1+x)20+2000*(1+x)14-5000);a=0.0300;b=0.0350;dlt=1.0e-5;while abs(b-a)dlt c=(a+b)/2; i