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用量纲和全微分积分法分析物体自球面顶端滑下问题 摘要：在物理教学中，常见到质点自光滑球面顶端滑下的问题其中它所涉及到的物理知识也比较广，有动量守恒，能量守恒，向心力，摩擦力等等而对于物体与球面间有摩擦的问题，又该如何分析？有什么规律呢？本文将采用量纲分析、全微分积分法和一般方法等进行研究，并分析质点自光滑球面顶端滑下的几种情况以便能够使此类题目的解决方法多样化、以及该从什么地方下手和切入进行分析有一定的了解在增强同学的创新意识和实践能力的同时也能够充分掌握量纲法和全微分积分法的解题思路以及技巧等 关键词：球面顶端；量纲；全微分积分法 量纲及全微分积分法的表述1.1量纲分析物理量的量纲可以用来分析或检核几个物理量之间的关系，这方法称为量纲分析（dimensional analysis）。通常，一个物理量的量纲是由像质量、长度、时间、电荷量、温度。一类的基础物理量纲结合而成。例如，速度的量纲为长度每单位时间，而计量单位为米每秒、英里每小时或其它单位。量纲分析所根据的重要原理是，物理定律必需跟其计量物理量的单位无关。任何有意义的方程式，其左手边与右手边的量纲必需相同。检查有否遵循这规则是做量纲分析最基本的步骤。推导获得的方程式或计算结果是否基本上合理，惯常可以用量纲分析来检察。对于较复杂的物理状况，量纲分析也可以用来构筑合理假定(参见关联模型)，然后，做严格的实验加以测试，或用已发展成功的理论仔细检试。量纲分析能够按照各种物理量的量纲，将它们详细分类。任何物理方程都由物理量组成，任何物理量都有一定的量纲。量纲有两类：一类是基本量纲，它们是彼此独立，不能互相导出的，必须人为地设定；另一类是导出量纲，由基本量纲导出。1.2全微分积分法在常微分方程理论的形成过程中 ,求解一阶微分方程曾出现过许多方法 ,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等。其中尤以积分因子法出现的最晚 ,而作用也最大。在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的 在学习常微分方程理论时，总是对不同类型的方程给出不同的解法。能否有一种普遍的方法能解各种类型的微分方程呢?著名的美国数学史家M.克莱因在所著的古今数学思想中写到：“总的来说，这门学科还是各种类型的孤立技巧的汇编”，然而寻求普片解法的努力从十八世纪就没有停止过。Euler在1734/1735的论文中指出：凡是可用变量分离法的地方都可以用积分因子法。由此笔者对教材中常见类型的一阶常微分方程，包括可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程等，讨论用“积分因子法求解的一般方法。2 物体自球面滑下的常见问题【例1】如图1所示，一个质量为m的物块，在重力作用下自一半径为r的固定球面的最高点无初速度滑下。若质点与球面间的摩擦因数为，求质点离开球面时，它与球心的连线和竖直方向夹角所满足的关系？rO图1 物体从球面顶点滑下Figure 1 block from the spherical vertex slide down 解析：（1）量纲分析法 质点下滑过程中，假定与质量m，半径r，重力加速度g，摩擦因数有关，即 =（m,r,g,）因为是一个无量纲的量，因此与一个参量有关，即 =（）（2）全微分积分法 物体下滑过程中，在球面上受重力、支持力和摩擦力，由于其速率逐渐增加，所以支持力逐渐减小直到脱离球面时减小到零。由牛顿第二定律得法向方程 （1）由动能定理得 ( ) （2）消去N得 （3） 式（3）不是全微分方程。把式（3）记为 由于与无关，故有积分因子 设形成的积分因子 以乘式（3）两端，得全微分方程 （4） 对上式积分得方程的通解为 （5）且当t=0时，将=0，带入上式，可得 （6）所求方程的通解为 （7）质点离开球面时，N=0，由式一得 将上式带入（7）得 （8）即所满足的关系 （9）式（9）满足量纲分析得到的结论即只以有关。讨论：若质点与球面间无摩擦=0时得 （10） （11）即所满足的关系 （12）3 物体从球面顶点下滑的理想化问题关于物体从球面顶点下滑的问题，它不仅知识的覆盖面比较广同时它的出题方式也可以多种多样。对于同一个球面它可以分为有摩擦力和没有摩擦力两种情况。而对于物体从球面顶点下滑，它也可以分为有初速度下滑和从静止开始下滑两种不同的情况。下面就让我们来了解一下物体从光滑球面无初速度滑下的问题也就是物体从球面顶点下滑的理想化问题【例2】小物体自半径为R的光滑球面顶点从静止开始下滑，求：（1） 物体脱离球面时它与球心的连线与竖直方向夹角为；（2） 小物体落到地面时的速度v解析：小物体自光滑球面顶点从静止开始下滑，从运动学角度看，物体先做圆周运动，脱离后做抛体运动。从动力学角度看，物体在球面上受重力和支持力，物体下滑过程中，由于它的速率逐渐增加，所以支持力逐渐减小直到脱离球面减小到零。小物体即将脱离球面的条件是N=0一般方法：（1）小物体自光滑球面顶点从静止开始下滑，到即将脱离球面，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒。以球面顶点为零势能点，设物体即将脱离球面的速度为v1,则 1=0由牛顿第二定律，得 物体脱离球面条件 N=0解得 即 （2）设小物体落到地面时的速度为v,由机械能守恒得 解得 物体脱离后做抛体运动，水平方向分速度不变 设小物体落地时速度与水平方向的夹角为所以 即 4 小球在球面顶端滑行的距离求解 上面我们已经对小球从球面顶端下滑的一般问题以及它的理想化问题进行了分析，通过上面所述我们分别运用了量纲，全微分积分法以及一般方法等解决了当质点离开球面时，它与球心的连线和竖直方向夹角所满足的关系。那下面我们来看看在此类问题中有关距离的求解 【例3】如图所示 ，在光滑水平面上放置一半径为1m,质量为3kg的光滑半球。质量为3kg的小滑块自球面顶端由静止开始下滑，求解当滑块脱离球面时，在球面上滑行的距离S。 解析：滑块脱离半球的瞬间，设相对球面的速度为 半球对地的速度为.小物体即将脱离球面时N=0 .设小滑块质量为m大滑块为M。半径为R.对于小滑块则有 （1） 对于整个系统，m和M也动量守恒即 （2）又因为系统机械能守恒 （3） 由以上三式可得 解得 （舍去） （舍去）得 根据弧长的求解公式可得 即因为R=1m 所以OvR图2 小物块从光滑球面顶点滑下 Figure 2 block from the spherical vertex slide down 5 在理想化问题中当物体离开球面时有关距离的求解【例4】桌面上放有一个半径为1米的光滑半圆（半圆固定在桌面上），半圆弧的顶端放有一个质量为1kg的小木块。某一时刻小物块从半径为1米的光滑球面顶点从静止开始下滑，求:物体脱离球面时它在球面上所滑行的距离。 解析：设球面的半径为R，当物体脱离球面时它在球面上滑行的距离为S，球心连线与竖直方向夹角为 对于球面上运动的质点，运动轨迹的切线方向上有 法线方向上有 由上式可得 其中，为运动路程，亦即半圆柱圆周弧长，即 又因为，即 设质点刚离开圆柱面时速度为，离开点与竖直方向夹角为，对上式两边积分，得 刚离开圆柱面时N=0即 联立上面两式得 根据弧长的求解公式可得 即 因为R=1m 所以 参考文献：1张建强怎样分析滑动摩擦力物理教学探讨, 2003,50552焦善庆 数学、力学、物理学.高新技术研究进展M西南交通大学出版社,2008,1141173张三慧 大学物理学力学、热学M清华大学出版社2008,3135 4苗明川，胡涛物理学全程导学及习题全解M中国时代经济出版社2008,40445梅凤翔，刘端，罗勇高等分析力学M北京：北京理工大学出版社2004,50556张三慧.大学物理学力学、热学M.清华大学出版社,2008, 86897张三慧.大学物理学力学、热学M.清华大学出版社,2008, 1131168张启仁.经典力学.第2版J.北京:高等教育出版社, 2005,1051099汪家华.分析力学J.北京:高等教育出版社,2006, 767910 周雨青.基础物理学M.北京:清华大学出版社,2009,11812111周雨青.基础物理学M.北京：清华大学出版社,2009,17818112冯杰.大学物理专题研究M.北京：北京出版社，2011，767813邓飞帆.普通物理疑难问答M.长沙：湖南科学技术出版社，1984，929314江宪庆，邓新模，陶相国，等.大学物理（上册）M.上海：上海科学技术文献出版社，198815J.herivel.Background to Newtons principia.Oxford.1965 Analysis of objects from spherical sliding down the problem of dimensional and fully differential quadrature method Abstract：In physics teaching, common to the particle from the smooth spherical top to slide down the problem.The physical knowledge what it involves is wide, there is momentum conservation, energy conservation, the centripetal force, friction and so on. But for friction problem between object and spherical, and how to analysis? What are the rules? This paper will study the dimensional analysis method, the differential quadrature method and general method, and analysis of particle from smooth spherical top slide under several conditions. In order to make the solution of such problems, as well as the diversification of hands and carries on the analysis to have certain understanding where can fully grasp the