05-质心和动量.ppt

1 第三章质点系统的运动规律 3 1牛顿力学 从质点到质点系统一 质心 二 质心运动定理 3 2动量动量定理及动量守恒 一动量动量定理 二动量守恒定律 2 3 1牛顿力学 从质点到质点系统 如何拓展牛顿力学 使之更普遍 研究对象 从质点到质点系统新问题 质点系统有许多质点组成 质点之间存在相互作用 相对位移 如何解决 引入新的参量进行描述 原则 各质点或质元所受的力 写出动力学方程 方程联立 分隔 考虑系统之间的联系 进行约束 系统 3 例3 1质量为m1和m2的两个小球 用长为l 质量和伸缩量都可忽略不计的细杆联接 置于光滑的水平桌面上 开始时m2固定不动 m1绕m2作匀速圆周运动 其线速率为v0 如果突然失去约束 求杆中张力 解 m2失去约束之后 m1和m2组成的系统是孤立系统 只有杆中内力相互作用 属两体问题 在惯性系 L系 分别写出动力学方程 4 当释放m2时 m1相对于m2以速度v0做圆周运动 实际上两体问题化为单体问题是选质心为参考点 它有着普遍性 如地球和卫星 原子核和电子等等 其向心力为 5 两个质点的系统 由于内力总是成对出现的 所以矢量和为零 N个质点的系统 质点系 组 是指由若干个质点组成的系统 质点系统的动力学 6 一 质心 质点系的质量中心 考虑由质量分别为m1 m2 mn的N个质点组成的质点系 每个质点相对于任一点O的位置矢量分别为 其质心相对于O点的定义为 为质点系的总质量 质心的位矢随坐标系的选取而变化 但对一个质点系 质心的位置是固定的 唯一的 质点系统中引入一个新的参考点 质心 分析方法 质点系统的运动可以看成两部分 质心的平动 质点系的各个质点都绕质心在运动 7 直角坐标系中的分量式为 如果物体具有一个对称中心 则质心与对称中心重合 若有一个对称轴 则质心必在该轴上 质量连续分布时 质量离散分布时 8 例3 4一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形 求此半圆形铁丝的质心 解 选如图坐标系 取长为dl的铁丝 质量为dm 以 表示质量线密度 dm dl 分析得质心应在y轴上 注意 质心不在铁丝上 因为在x方向质量对称分布所以xC 0 9 二 质心运动定理 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积 质心运动定理 系统的总质量和质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和 质心的运动 就好象一个质量等于系统的总质量的质点 在施于这系统的外力作用下的运动 10 一质量为m1 50kg的人站在一条质量为m2 200kg 长度为l 4m的船的船头上 开始时船静止 试求 当人走到船尾时船移动的距离 假定水的阻力不计 解 船和人分别作为一个质点组成的质点系统 在水平方向上不受力 所以质心速度不变 初始态质心静止 人在走动过程中质心的坐标值不变 初态 末态 11 以地面为参考系 设船的质心移动的距离为d 即 代入上式可得船移动的距离 人对地移动的距离为 12 大小 mv方向 速度的方向单位 kgm s量纲 MLT 1 一 动量 描述质点运动状态 矢量 大小 方向 速度变化的方向 单位 Ns量纲 MLT 1 二 冲量 力的作用对时间的积累 矢量 三 动量定理将力的作用过程与效果 动量变化 联系在一起 2动量动量定理及动量守恒 2 1动量动量定理 13 F为恒力时 可以得出I F tF作用时间很短时如 碰撞 可用力的平均值来代替 质点所受合外力的冲量 等于该质点动量的增量 这个结论称为动量定理 在坐标下可有分量表达式 注意 动量为状态量 冲量为过程量 14 例3 5质量为2 5g的乒乓球以10m s的速率飞来 被板推挡后 又以20m s的速率飞出 设两速度在垂直于板面的同一平面内 且它们与板面法线的夹角分别为45o和30o 求 1 乒乓球得到的冲量 2 若撞击时间为0 01s 求板施于球的平均冲力的大小和方向 解 取挡板和球为研究对象 由于作用时间很短 忽略重力影响 设挡板对球的冲力为 则有 15 取坐标系 将上式投影 得乒乓球得到的冲量 撞击时间为0 01s 板施于球的平均冲力大小和方向 为I与x方向的夹角 这表明冲力来自于桌面给予小球的正压力和摩擦力之和 16 此题也可用矢量法解 作矢量图用余弦定理和正弦定理 可得 17 例3 6一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着 绳的下端刚好触到水平桌面上 如果把绳的上端放开 绳将落在桌面上 试证明 在绳下落的过程中 任意时刻作用于桌面的压力 等于已落到桌面上的绳重量的三倍 证明 取如图坐标 以落在桌面部分的绳为研究系统 设t时刻已有x长的柔绳落至桌面 考察系统动量增量 随后的dt时间内将有质量为dx Mdx L 的柔绳以dx dt的速率碰到桌面而停止 它的动量变化率为 18 根据动量定理 桌面对柔绳的冲力为 柔绳对桌面的冲力F F 即 而已落到桌面上的柔绳的重量为mg Mgx L所以N F mg 2Mgx L Mgx L 3mg 负号表示动量减少 N mg 19 积分形式 微分形式 以和表示系统的合外力和总动量 则 2 2动量守恒定律 一 质点系的动量定理质点系 内力 外力 20 二 质点系的动量守恒定律 一个质点系所受的合外力为零时 这一质点系的总动量就保持不变 说明 系统动量守恒 但每个质点的动量可能变化 动量守恒可在某一方向上成立 动量守恒定律在微观高速范围仍适用 21 例3 8一个有1 4圆弧滑槽的大物体质量为M 停在光滑的水平面上 另一质量为m的小物体自圆弧顶点由静止下滑 求 当小物体滑到底时 大物体M在水平面上移动的距离 解 选如图坐标系 在m下滑过程中 M和m组成的系统在水平方向上合外力为零 因此水平方向上动量守恒 又因 初态合动量为零 22 例3 7火箭飞行原理 设火箭在自由空间飞行 即不受引力 空气阻力等任何外力的影响 由动量守恒定律 略去二阶无穷小量 设火箭点火时的质量为Mi 初速为vi 燃料烧完后质量为Mf 速度为vf 对上式积分得 以地面为参考系 在t dt时刻总动量 23 火箭在燃料烧完后所增加的速度与喷气速度成正比 也与火箭的始末质量比的自然对数成正比 如果以喷出气体dm为所考虑系统 它在dt时间内的动量变化率为 根据牛顿第二定律它等于喷出气体受火箭的推力 所以喷出气体对火箭的反作用力 如火箭发动机的燃烧速率1 38 104kg s 喷出气体的相对速度2 94 103m s 它受推力的理论值为 相当于4000吨海轮所受的浮力