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弹性力学的任务和发展弹性力学的任务和发展(1)弹性力学的任务弹性体力学，通常称为弹性力学，又称为弹性理论，是固体力学的一个分支。主要研究弹性体由于受到外力作用或温度改变等原因而发生的力学行为，如应力、形变和位移等。从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。弹性力学是人们从长期的生产生活和科学实验的时间中总结出来的。它来源于生产实践，又反过来为生产实践服务，与社会发展有密切的关系。弹性力学作为一门独立的学科已经有一百多年的历史，已逐步形成了一套较完善的经典理论和方法，在工程技术的许多领域得到广泛的应用。当今，近代土木、水利、机械、造船、海洋、航空、航天工程还在不断地向弹性力学提出新课题和新要求，因而弹性力学的任务就是要进一步研究理论和方法，为工程设计提供数据和理论依据，并在实践中总结使理论更臻完善。从研究对象、研究内容和基本任务来看，弹性力学和材料力学有很多相同之处，但是它们在解决问题过程中所采用的假设和方法却不同，因而得到的结果也有亦有所不同。例如，他们同样都研究梁的弯曲问题，在材料力学中除了必要的基本假设之外，为了简化问题，还引用了梁的横截面在弯曲中保持平面的附加假设，从而得出界面上的正应力沿梁高按直线规律变化的结果；而在弹性力学中就不再引用这种附加的假设，从而判明，如果梁的高度与跨度两者属于同阶大小时，也就是梁的高度与梁的跨度可以相比时，横截面上应力并不按直线规律变化。这一结果自然比材料力学得到的更为精确，所以可以用来校核材料力学中平面假设的正确性。又如材料力学中讨论带孔的拉杆时，通常假设拉应力在净截面上均匀分布，而弹性力学由于不采用这样的假设，得出的结论是拉应力在净截面上并不是均匀分布的，在边孔将发生应力集中，最大应力可能比平均应力高几倍之多。两种结果的不同同样是由于材料力学采用了附加假设引起的。此外，还有许对问题中所研究的弹性体的形状，也并非材料力学中的典型杆或梁，例如两个弹性体的接触问题，无限大弹性体中的应力分布问题、板与壳体中的应力分布问题等都不是材料力学中的简单方法所能解决的，而必须用弹性力学的方法才能解决。终上所述可知，与材料力学比较，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法也更加严密，能解决更为复杂的实际问题，同时也对学习和使用者有较高的数学知识水平。(2)弹性力学的产生于发展弹性力学，有时认为开始发展于十七世纪，那是正是欧洲封建社会崩溃，资本主义开始兴起的时期，国际的商业和航海业开始发展，并且采矿冶金工业萌芽的时代，这时在造船和城市建设上开始应用了弹性力学。在十八世纪末期和十九世纪初期，火车和机械发展的时候，就广泛应用了弹性力学；在近代，航空工业和化学工业高度发展的结果更促进了弹性力学的进一步发展。弹性力学的发展过程和一般科学的发展过程是一样的，它是通过了实际经验的积累和科学实验的综合，得到一些基础的原理，然后把这些原理作为应用的根据，在生产实践的过程中推广应用。在应用的过程中，又累积了更广泛更深入的经验，再结合着科学的实验，这样便得到了更广泛的原则。如此而来，弹性力学便发展起来，弹性力学的发展有这样的特点，便是定理愈来愈少，而应用的范围却愈来愈广，需要的计算则愈来愈多。到今天弹性力学的基础原理已经非常简单，但是随着它的应用范围不断地扩大和深入，相应地引进了许多数学问题。在历史上，不少弹性力学的奠基者同时也是数学家，弹性力学在它的发展过程里，和十九世纪数学分析的发展是分不开的。弹性力学的发展大体上可以分成四个时期：发展初期、理论基础建立时期、线性问题大战时期、非线性问题发展时期。发展初期大约自胡克(Robert Hooke，1635.7.18-1703.3.3)实验(1660)开始到纳维及柯西(1820)提出弹性理论的基本问题为止。在这个时期里，力学工作者还没有一套成熟的弹性理论，因此，这个时期主要的工作是实验工作。由这些实验结果的综合，决定了每一种材料的弹性模量。除了实验以外，人们试图用最粗糙的不完备的理论来处理一些简单杆件的力学问题，如J伯努利(Johann Bernoulli)在1705年提出了梁的弯曲理论，和平板的振动理论，D伯努利(Daniel Bernoulli)在1744年提出了有名的弹性细杆(Elastic)问题，欧拉(Leonhard Euler)在1757年提出柱体的稳定和棒的振动问题，这些理论在如今看来都有或多或少的缺点，甚至是完全不对的。在1766年库伦提出了现在材料力学中用的梁的弯曲理论，同时也研究了柱的扭转问题，但是后者完全是不对的。这些问题现在已划入了材料力学的范围，因为从弹性力学的观点看来，这些理论都有很粗略的假定，但是结果和实际情况比较起来差别并不多。这些理论的好处是数学简单，结果易于用来为工程师设计制造服务。在这个时期，由于没有统一公认的可靠理论基础，很多问题再各方面都不能取得一致的意见。理论基础的建立期，一般由纳维(Navier)和柯西(Augustin Louis Cauchy)提出弹性理论的基础问题，到格林和汤姆逊确定弹性系数21个为止(1821-1855)。在这个时期的初期，人们对于弹性力学的认识日益加深，纳维(1820)首先根据分子论的观点研究了弹性力学的理论基础，他的结果对于各向同性而言只有一个弹性系数。柯西在同一时期(1820-1822)，用统观的方法研究了各向同性体的弹性理论，他的结果与纳维粗糙的微观方法不同，指出弹性体(各向同性的)应有两个独立的弹性系数。在1822-1828年间，柯西和泊松又根据分子间力的相互作用证明：在最普遍的情况下，独立的弹性系数只有15个；而在各向同性体内只有一个。但是实验证明这是和实际不相符合的。在1838年，格林用能量守恒定律的看法，指出最普遍的弹性体，应该有独立的弹性系数21个；此后汤姆逊由热力学第一和第二定律证明了同样的结果。同时各向同性的弹性体也肯定只有二个独立的弹性系数。到这个时期，弹性力学就有了稳固的基础，弹性力学已经简化为在制定边界条件下求解某些微分方程的数学问题(静力学)；或在指定的边界条件和起始条件下求解运动方程的数学问题(振动或动力学)。这些微分方程一般是线性的，但是由于未知数很多，在一般的问题上求解时非常困难的。第三个时期，是线性问题的发展期(1854-1907)。这个时期的特点是弹性力学大量地运用到工程问题上去，因此，弹性力学在这个时期内对数学分析起到了推动作用。这个时期是从圣维南(1854)发表了关于柱体扭转和弯曲理论的论文开始的，圣维南的论文，开启了半物理半数学的联合解法来解繁冗的弹性力学方程；他的论文和实验完全吻合，给弹性力学的基础理论的正确可靠性带来了崇高的信誉。接着艾力(1862)解决了平面应力问题，赫兹(1882)解决了接触问题，克希霍夫(1850及以后)解决了平板的平衡和振动问题，艾伦(Aron)(1874)提出了薄壳等一系列工作，把弹性力学飞跃地向前推进。弹性力学在这个时期曾是大量力学家和数学家的工作园地。第四个时期，主要是非线性的弹性力学的发展时期，卡门(1907)首先提出了薄板大挠度问题(也就是大位移问题)，摩纳汉和比奥托(1937-1939)提出了大应变问题，卡门和钱学森(1939)提出了薄壳的非线性稳定问题，这些都是最近五十年内非线性弹性力学问题主要的发展。此外，线性理论也同时在发展着。由于工程上如飞机结构、水工结构等的需要，符拉索夫(1936)、乌曼斯基(1939)、亚达杜洛夫(1947)、卡门和钱伟长(1946)发展了薄壁杆件的理论；胡勃(1926)、列赫尼茨基(1940)、胡海昌(1953)发展了各向异性的弹性力学；薄壳问题、热应力问题等在这个时期也有了较多的发展。在这个时期内，由于工程计算的需要，发展了很多的近似计算法，例如李滋(1908)提出了能量法，迦辽金(1915)提出了有名的迦辽金法，万可思(1932)提出了有限差法，万因斯坦(1937)提出了边界松弛法，苏斯威尔(1935)提出了松弛法，辛琪和普拉格(1947)提出了超圆法等，对弹性力学和计算数学的发展起了很大的推动作用。(3)弹性力学在现代工程中的应用弹性力学的发展和工程上的应用时分不开的。工程上，尤其是近代工程，在很多方面都要应用弹性力学。弹性力学在工程上的应用主要有下列几个方面：1.对于塑性固体而言，即对于有明显屈服应力的物体，要研究在怎样的荷载下发生永久变形。2.对于脆性固体要研究在怎样的荷载下，应变达到规定的限度。3.要研究弹性结构在外力作用下，一部或全部的最大弹性位移。4.要研究结构在弹性静力或动力平衡时，发生不稳定情况的条件。5.要研究结构的振动或动力学。6.要研究各种零件或结构的最弱部分，或是应力集中现象。7.要研究弹性波的传播情况。其他如热应力问题等都是研究的对象。总之，弹性力学到目前为止是机械零件设计、结构力学计算得主要依据；尤其在近代飞机结构、船舶设计上，由于要求高度的准确性，这样就使得弹性力学大大地发展，应用更加广泛。(4)弹性力学的基本假设假设是力学研究中不可缺少的部分，不同的学科为了实现不同的目的，经常采用各不相同的假设。在弹性力学中的基本假设如下：1.连续性假设。认为物体是由连续介质充满该物体所占的空间而没有任何空隙，因此物体中的密度、应力、应变、位移等物理量是连续的，可以用坐标的连续函数来表示，在进行数学推导时可以应用连续和极限的概念。2.均匀性假设。假定所研究的物体是由同一类均匀材料组成的，整个物体的所有各部分具有相同的物理性质，如物体的弹性模量、泊松比等都是常数，不随位置坐标而变化。根据这一假设，我们可以取出物体内的任意部分测定其弹性常数，然后将结果用于整个物体。3.各向同性假设。假设物体在不同的方向上具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数不随坐标方向的改变而改变。4.理想弹性假设。要求物体在产生变形的外加因素(荷载、温度变化等)除去之后能完全恢复原形，没有任何剩余的变形，同时假定在温度不变的条件下，应力、应变服从线性关系。这样，各个弹性常数就不随应力或应变的大小而改变。通常，当钢材受力不超过某一限度时，应力与应变之间存在十分近似于线性的关系，但对塑料和某些有色金属则具有非线性的弹性性质。5.小变形假设。假设物体在外加因素(如荷载温度变化等)作用下，所产生的位移远小于物体原来的尺寸，因而应变分量和转角都远小于1。应用这一假设使问题大为简化。例如，在研究物体受力的平衡状态时，可以不考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化。在研究物体的形变和位移时，可以略去应变、转角的二次幂或二次乘积以上的项。所以在微小应变情况下，弹性力学的基本方程是线性的微分方程组。6.无初应力假设。假定物体初始处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前物体没有应力。也就是说，根据弹性力学方法所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等产生的。若物体内有初应力存在，则由弹性力学求得的应力加上初应力才是物体内实际的应力。上述基本假设中的第五项是属于几何假设，其余的假设都属于物理假设。以上述基本假设为基础建立的弹性力学，称为线弹性理论，亦称为古典弹性力学。(5)弹性体思想弹性体是理想化了的固体，一般固体在静力作用下所发生的力学性质是很复杂的，有弹性变形，有塑性的永久变形，有蠕变等。在固体的载荷不大、应变很小的情况下，永久变形和蠕变等都是很小的，较显著的变形部分只是弹性变形部分；因此我们可以把弹性变形以外的变形部分略去，假定物体在除去载荷后，物体完全恢复到变形前的原来形状，我们叫这种个体为弹性体。塑性固体在达到屈服点以前，是一种近似的弹性体，脆性固体在硬化加工后，在比例极限以下也是很近似的弹性体。同时，若把多晶体固体微观地来看，它们并不是均匀的，不过这种不均匀性所占的空间很小，假如我们取较大的空间平均起来看，仍旧可以算作是均匀的。在研究中我们常常要在弹性体中取出一微圆体来研究它的力学性质，这种微圆体在数学上讲来是一个无穷小量(它不能太大)；但是从物理上看来，这种微圆体也不能太小，它应大于包括很多小晶体的空间，简单的说，我们取出来的单元体是宏观无限小，微观无限大的。这样对于我们提出来的均匀性假定才没有损害。总的来讲，我们所要研究的是均匀的、各向同性的弹性体力学。这种力学对于实际的材料来讲，不论是均匀的条件、各向同性的条件或是弹性的条件都只是近似地适合。(6)一般研究思路在进行一项研究之前，通常都是由于发现一些有意义的现象，于是根据一些已知的知识，配合这些现象建立起一些假设，逐渐经由纯粹推理的方式而发展出暂时性的假说，这个过程叫做归纳。接下来依据假说，用数学演绎出实用的预测，最后用实验来证明这预测是否正确。如果从假说推演出来的预测。与实验或观察所得出的结果不相符，就应该修正假说，然后重新推演和实验，直到理论预测和实际观测相互一致为止，否则就要放弃原来的主张。如果推理和验证终相符合。假说就被提升到一种理论的状态，然后试用这理论来解释比开始时所见更广泛的现象。这理论或许能够经历多年不倒，但是严格说来，我们不能把它看成是唯一适合解释那些现象的理论。好的科学允许引进新的概念，进一步推翻旧的理论，甚或作出激烈的改变。这大体上就是科学的一般研究方法，由一般到特殊，又由特殊到一般的演绎推理方法。力学的发展也大都是在演绎推算和实验的基础上发展而来的。弹性力学的基本方法。在弹性力学中，假想物体是由无数个微小六面体元(在物体内部)和四面体元(在物体表面)所组成的。考虑这些体元的平衡，可写出一组平衡微分方程，但未知应力数总是超出微分方程数，因