乘法积分 (1).doc

乘法的积分在传统教科书上形如的积分一般采用分部积分法，这种方法过于抽象，过于逻辑化，不适合电大学生，这里介绍乘法的表格算法，它直观，机械，易学，是积分学理论的重大贡献。一. 乘法积分的表格形式 乘法积分的表格形式固定为三列，三列的次序固定，不能随便更改，第一列为符号列，第二列为求导列，第三列为积分列。二. 乘法积分的计算步骤1.列表第一步：在中选择f(x)准备求导，选择g(x)准备积分，作表格如下： 符号列 求导列 积分列 f (x) g (x) f (x) 第二步：添箭头：从求导列到积分列添箭头，相邻两行间用左上右下的斜箭头，最后一行用横箭头，形成如下的形状：符号列 求导列 积分列 f (x) g (x) f (x) 第三步：添符号：符号正负相间，第一行添“+”号，第二行添“-”号，如此类推. 形成如下的形状符号列 求导列 积分列 +f (x) g (x) - f (x) 2. 写结果，规律如下： 每个箭头表示一项，所有项相加斜箭头表示积分计算的部分结果，由箭头右端函数，箭头左端函数以及前面的符号三部分相乘得到；横箭头表示积分，被积函数由箭头右端函数，箭头左端函数以及前面的符号三部分相乘得到三. 例题例1. 计算解：第一步 选择x用于求导，用于积分，列表 符号列 求导列 积分列 x 第二步 按横栏提示逐行计算，成如下形状：符号列 求导列 积分列 x 2x 2 0 .（*）第三步，添箭头，添符号成如下形状：符号列 求导列 积分列 + x - 2x + 2 - 0 第四步 写结果 = x+（-2x）+2+ = x+-2x+2+c你不应该像看小说那样看以上过程，而是应该拿起笔和我们一起运算，,边算边想，你也许注意到第二步 （*）处多少让你不踏实，应为0还可以求导，还可以积分，没完没了，奈何？三种刹车机制 乘法积分中出现下列三种情形之一时，第二步 （*）运算停止1. 求导数到0时2. 横乘为基本函数时3. 横乘与原积分同形时。例2. 计算 符号列 求导列 积分列 x sinx 1 -cosx 0 -sinx.(*) 由于求导数为0，所以表格计算结束（因为0还能求导，-sinx还能积分，如此便没完没了.，编程中必须结束，让计算机停止这类运算） 添箭头，添符号成如下形状：符号列 求导列 积分列+ x sinx- 1 -cosx + 0 -sinx 所以= -xcosx + (-)(-sinx) + = -xcosx + sinx)+c 例3. 计算解：注意到这是乘法的积分，故采用列表法计算符号列 求导列 积分列 x lnx 如果像上面这样设置，x求导痛快了，但不容易，这种设置就是失败的。设置时要求求导。积分都要简单易行。故该设置如下： 符号列 求导列 积分列 lnx x (*) 此时表格运算应停下来，因为横乘起来*=是基本函数。 添箭头，添符号成如下形状： 符号列 求导列 积分列 + lnx x - 所以 = lnx + = lnx - +c 同理可计算这类积分例4. 计算 解：注意到这是乘法的积分，故采用列表法计算符号列 求导列 积分列 e cosx e sinx e - cosx.(*)此时表格运算应停下来，因为横乘起来表示积分=与原积分同形，只是系数不同。添箭头，添符号成如下形状： 符号列 求导列 积分列 + e cosx - e sinx + e - cosx所以 = e sinx+