公务员考试数学运算经典例题详解

一、数字特性掌握一些最基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。（下列规律仅限自然数内讨论）（一）奇偶运算基本法则【基础】奇数奇数=偶数；偶数偶数=偶数；偶数奇数=奇数；奇数偶数=奇数。【推论】1任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。2任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。（二）整除判定基本法则1能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或 25）整除；能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数；一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。2能被3、9整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。3能被11整除的数的数字特性能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。（三）倍数关系核心判定特征如果ab=mn（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。如果xmny（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。如果ab=mn（m，n互质），则ab应该是mn的倍数。二、乘法与因式分解公式正向乘法分配律：(a+b)c=ac+bc；逆向乘法分配律：ac+bc=(a+b)c；（又叫“提取公因式法”）平方差：a2-b2=(a-b)(a+b)；完全平方和/差：(ab)2=a22ab+b2；立方和：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方和/差：(ab)3=a33a2b+3ab2b3；等比数列求和公式：S=a1（1-qn）/(1-q) (q1)；等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。三、三角不等式丨a+b丨丨a丨+丨b丨；丨a-b丨丨a丨+丨b丨；丨a-b丨丨a丨-丨b丨；-丨a丨a丨a丨；丨a丨b-bab。四、某些数列的前n项和1+2+3+n=n(n+1)/2；1+3+5+(2n-1)=n2；2+4+6+(2n)=n(n+1)；12+32+52+(2n-1)2=n(4n2-1)/3；13+23+33+n3=(n+1)2*n2/4；13+33+53+(2n-1)3=n2(2n2-1)；12+23+n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3 五、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：（1）1n(n+1)=1n-1n+1（2）1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1)（3）1n(n+1)(n+2)=121n(n+1)-1(n+1)(n+2)（4）1a+b1a-b（a-b）(a0，b0且ab)(5)kn（n-k）1n-k-1n小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。六、小数基本常识(一)需要熟记的一些有限小数1/205，1/4025，3/4075；1/80125，3/80375，5/80625，7/80875；1/502，2/504，3/506，4/508。（二）需要熟记的一些无限循环小数1/3030333，2/3060667，1/60160167，5/60830833，1/9010111，1/1100900909；1/70142857，2/70285714，3/70428571；4/70571428，5/70714285，6/70857142。（三）需要熟记的一些无限不循环小数 314151926，因此在一些情况下210。七、余数相关问题余数基本关系式：被除数除数=商余数（0余数除数）除数：在除法算式中，除号后面的数叫做除数。如：82=4，则2为除数，8为被除数被除数：除法运算中被另一个数所除的数,如248=3,其中24是被除数余数基本恒等式：被除数=除数商余数推论：被除数余数商（利用上面两个式子联合便可得到）常见题型余数问题：利用余数基本恒等式解题同余问题：给出一个数除以几个不同的数的余数，反求这个数，称作同余问题常用解题方法：代入法、试值法注意：对于非特殊形式的同余问题，如果运用代入法和简单的试值法无法得到答案，那么这样的题目基本是不会涉及的，考生无需再做特别准备。八、日历问题平年与闰年判断方法一共天数2月平年年份不能被4整除365天28天闰年年份可以被4整除366天29天大月与小月包括月份共有天数大月一、三、五、七、八、十、腊（十二）月31天小月二、四、六、十一月30天（2月除外）九、平均数问题平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。公式为：总数量和总份数=平均数；平均数总份数=总数量和；总数量和平均数=总份数。解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。十、工程问题在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系：工作量=工作效率时间；所需时间=工作量工作效率十一、数字特性法是指不直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果的某种“数字特性”，从而达到排除错误选项的方法。数字特性法在公务员录用考试行政职业能力测验考试数量关系题的解答中非常简便有效，因而掌握数字特性法是提高考生行政职业能力测验考试解题速度有效方法之一。国家公务员网专家在解读奇偶运算基本法则、整除判定基本法则、倍数关系核心判定特征等数字特性法的三大基本内容基础上，以国家公务员录用考试、浙江、江苏、北京、上海等省市公务员录用考试历年真题为例，阐述数字特性法在公务员录用考试行政职业能力测验考试数量关系解题中的运用。掌握数字特性法的关键，是掌握一些最基本的数字特性规律。（下列规律仅限自然数内讨论）（一）奇偶运算基本法则【基础】奇数奇数=偶数；偶数偶数=偶数；偶数奇数=奇数；奇数偶数=奇数。【推论】1任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。2任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。（二）整除判定基本法则1能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或 25）整除；能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数；一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。2能被3、9整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。3能被11整除的数的数字特性能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。（三）倍数关系核心判定特征如果ab=mn（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。如果x y（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。如果ab=mn（m，n互质），则ab应该是mn的倍数。十二、基数法（1）计算：23+20+19+22+18+21解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.23+20+19+22+18+21=206+3+0-1+2-2+1=120+3=1236个加数都按20相加，其和=206=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.（2）计算：102+100+99+101+98解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.102+100+99+101+98=1005+2+0-1+1-2=500方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是把有的加数带有符号搬家）102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=1005=500可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.求22+24+26+42的和A 348B350C352D354题解析：本题所用公式为(首项+末项)2项数，项数=(末项-首项)公差+1，所以，本题的项数=(42-22)2+1=11，答案为(22+42)211=352。故本题的正确答案为C十三、核心提示：所谓“整体消去法”，指在计算中，将相近的数化为相同，从而作为一个整体进行抵消的方法。【例1】191919373737185（ A ）A95 B123 C135 D151【解析】原式1910101(3710101)185191853795，选A。【例2】34343503535034的值是？（ D ）A35 B34 C1 D0【解析】原式341013510-35101034=(34101035)-(35101034)=0【例3】计算：(03424000253 2625 ) 8的值为（）A1768 B812 C1919 D238【解析】原式( 2400 3 3) 8= （3424+315+3105） 8= （3424+3120）13+8=14713+8由14713的尾数为1，故14713+8的尾数为9，因此本题的答案为C。【例4】 十四、凑整法凑整法是公务员录用考试、大学生村官考试、选调生考试等公职考试中的行政职业能力测验考试数量运算题常用解题技巧与方法。在本文中国家公务员网概括了凑整法的常用三种方法，并通过江苏省、河南省公务员考试行政职业能力测验真题进行实例说明。数学运算中的凑整法一般包括以下三种： 加/减法凑整法：通过交换运算次序，把可以通过加/减法得到较整的数先进行运算。 乘/除法凑整法：通过交换运算次序，把可以通过乘/除法得到较整的数先进行运算。 参照凑整法：将一个数看成与之接近的另外一个较整的数来计算，然后进行修正的方法。凑整法不仅仅是一种“运算方法”，更重要的是一种“运算思想”，需要考生灵活应用并学会拓展。下文中国家公务员网将以江苏省、河南省公务员考试行政职业能力测验真题进行实例说明。【例1】2035436023714的值等于（B ）A11B55C110D220【解析】20353755，6024314，所以答案是55，选B。【例2】算式12 8000.50.125900.01的值是（C）A11 B55 C110 D220 【例3】 8383=（ D ）A1B83C2209D6889【解析】8383=8383=8383凑整思想：这里主要提一下凑“7”法、凑“3”法与凑“9”法。【例4】今天是星期一，则天后星期几？（A ）A星期四B星期五C星期六D星期日【解析(158）(34)7(912)10，其中的(158）、(34)、7、(129)四项都可以被7整除，可以不看，只剩下的10这一项，10除以7余3，因此可知天后为星期四。十五、数学计算方法凑政法：就凑整法而言，在看到25和4时将这两者组合起来优先相乘，这是大家对凑整法的最初印象，也是凑整法最基本的应用。但这种考查方式在国家公务员录用考试中很少出现了。国家公务员录用考试中对凑整法的要求提高到考生能够自己想到凑出适当的数来满足凑整法的需求，例如看到25时，不能寄希望于考题中给出一个4，而要想到自己去搭配一个4。凑整法的再一个更高层次的要求是：明白凑整法更本质的是一种思想。这种思想是要求考生能够在考题中凑出任何自己需要的数字，这个数字不一定是25或者125，而是自己需要的数字，例如在星期日期问题中，本质的凑整是凑出7这个常用数字。尾数法：尾数法是数量关系中特别常用的方法，其适用的范围并不局限于计算问题，而是可以广泛的应用到各种数量关系的问题中。应用尾数法的要求就是：选项中出现尾数不同。在计算的时候，要时刻注意是不是可以应用尾数法。分组或消去法：在计算问题中，如果题目项数比较多时，常见的思路有两个，一是分组，二是消去。所谓分组，就是对题目中给出的各个项，在适当的划分后可以保证每一组内都等于同一个数，则分组可以快速得到相应的答案。所谓消去，其实是一种特殊的分组，其特殊在分组后每组内的值都为零，也即相应的项完成一个相消的关系。公式法：公务员考试行政职业能力测验中的数学运算部分常用公式并不多，诸如完全平方和差公式、立方和差公式、平方差公式等，在国家公务员录用考试中考查较少，记住公式即可。估算法是常用方法之一，应用估算法的环境是选项差异较大，而所谓选项之间的差异一般是用除法衡量而不是用减法衡量，例如0.1与0.5属差异比较大的情形，因为后者是前者的5倍，在计算式中做适当的估算不会影响最终的结果，而801与790则属于差异较小的选项，因为两者之间的比例值十分接近于1。十六、多位数【阅读提示】多位数的基本概念是公务员录用考试、大学生村官考试、选调生考试等公职考试中的行政职业能力测验考试数量运算题常用解题技巧与方法。在本文中国家公务员网阐述了如何运用多位数的基本概念通过直接代入法速解数量运算中数字相关问题，并通过江苏省公务员考试行政职业能力测验真题进行实例说明。多位数问题是针对“一个数及其个位、十位、百位等位置上的数字，以及小数点后一位、两位、三位等位置上的数字”的问题。掌握多位数问题首先要掌握多位数的基本概念：1位数从1到9共9个数 9个数字； 2位数从10到99共90 个数 180个数字3位数从100到999共900个 数2700个数字；4位数从1000到9999共9000个数 36000个数字另外一定要学会“ 直接代入法 ”法，这个方法在解决多位数问题时显得非常重要。【例1】在999张牌上分别写上数001，002，003998，999。甲、乙两人分这些纸牌，分配方法是：凡纸牌上写的三位数字的三个数码都不大于5的纸牌属于甲，凡牌上有一个或一个以上的数码大于5的纸牌属于乙。例如，324，501等属于甲，而007，387，923等属于乙，则甲分得牌的张数为（A）？【2008年江苏省公务员录用考试行政职业能力测验A类卷15题】A215B216C214D217【解析】当牌上的数字为00X(X为1、2、3、4、5中任一个)时，共有5张属于甲的；当牌上的数字为0XY(X为1、2、3、4、5中任一个，Y为0、1、2、3、4、5中任一个)时，共有56=30张属于甲的；当牌上的数字为XYZ(X为1、2、3、4、5中任一个，Y为0、1、2、3、4、5中任一个，Z为0、1、2、3、4、5中任一个)时，共有566=180张属于甲的；因此属于甲的牌一共有5+30+180=215张。【例2】编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共有多少页？（B）【2008公务员录用考试行政职业能力测验51题】A117B126C127D189【解析】当书页上的数字为00X(X为1、2、3、4、5、6、7、8、9中任一个)时，共有9个数，9个数字；当书页上的数字为0XX(X为1、2、3、4、5、6、7、8、9中任一个)时，共有90个数，180个数字；由此可知，当书页上的数字为XYZ(X为1、2、3、4、5、6、7、8、9中任一个，Y为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任一个，Z为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任一个)时，只有（270-180-9）=81个数字 27个数故这本书一共有9+90+27=126页十七、余数问题【阅读提示】公务员录用考试行政职业能力测验考试数学运算中余数问题侧重考查考生的逐步分析能力。在解答余数问题时需要考生充分利用相关知识点排除不可能的情形，这需要考生具备比较高的分析能力。在下文中国家公务员网专家以2009年国家公务员录用考试行政职业能力测验考试真题等两道题为例，说明余数问题的解题思路。【例1】一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。问被除数，除数，商，余数之和是多少（）A98 B107 C114 D125 【解答】余数是8，而除数应该大于余数，结合除数是一位数，知除数为9，商是两位数，结合被除数也是两位数，则可知商只能是10（否则若商不小于11，则被除数大于9*11+8=107）由此出发知被除数为9*10+8=98，于是四个数的和为98+9+10+8=125【点评】公务员录用考试行政职业能力测验考试数学运算中余数问题侧重考查考生的逐步分析能力。在解答余数问题时需要考生充分利用相关知识点排除不可能的情形，这需要考生具备比较高的分析能力。这是一种比较高的能力要求，是公务员录用考试中能力考查的要求之一，例如在2009年国家公务员录用考试行政职业能力测验考试真题中就对这种分析能力有所考查，见下例。【例1】用六位数字表示日期，如980716表示1998年7月16日，如用这种方法表示2009年的日期，则全年中六个数字都不相同的日期有多少个？A12 B29 C0 D1【解答】假设2009年AB月CD日，满足要求，它可以简写成“09ABCD”，由于月份当中不能有0，所以不能是01-10月，而11月有两个1，也应该排除，于是：AB 12，此时：原时刻可以简写成“0912CD”，由于已经出现了0、1、2，所以肯定不是01-30号，而31号里又有1了，排除。综上：无解。故满足题目要求的日期为0个。十八、平均数甲班和乙班，在数学期终考试中，考一样的题目，哪一个班考得好呢？把每一个班所有人的得分加起来，然后除以这个班的人数，就得出这个班的平均分数.哪一个班平均分数高，就算哪一个班考得好。篮球队员的身材都很高，一个队里还是有高有矮，哪个篮球队身材更高呢？把一个队所有队员的身高数加起来，再除以全队人数，就算出这个队的平均身高.通常，用平均身高来衡量一个球队的身材高矮.要衡量“若干个数”的大小，常用的办法就是求它们的平均值.求平均值有两种方法，我们例1一学期中进行了五次数学测验，小明的得分是95，87，94，100，98.那么他的平均成绩是多少？解：方法1把所有分数加起来，除以次数，即（95879410098）594.8.方法2 先设一个基数，通常设其中最小的数，例如本题设87为基数，求其他数与87的差，再求这些差的平均值，最后加上基数，即（95-87）+（87-87）+（94-87）+（100-87）+（98-87）5+87=（8+0+7+13+11）5+87=7.8+87=94.8.对若干个数求平均数，概括成以下两种方法.方法1：各个数的总和数的个数方法2：基数+每一数与基数的差求和数的个数.这两种方法将形成两种解题思路.方法2的好处是使计算的数值减小，减少计算量，特别便于心算.当然，也可以设其他的数为基数.进入中学后，学了负数，我们还可以设中间的那个数作为基数.方法2启示我们，求平均数就是把数之间的“差”扯平.一、一些简单的问题求平均数可以产生许多数学题，这一节将通过一些简单的例子，增加对“平均”这一概念的理解.例2小明4次语文测验的平均成绩是89分，第5次测验得了97分，5次测验的平均成绩是多少？按照例1中的两种思路，有两种计算方法：先算出5次成绩的总和，再求平均成绩，就有（894+97）5=90.6（分）.从算每一次“差”的平均入手，就有89+（97-89）5=90.6（分）.很明显，第二种方法计算简易.例3小强4次语文测验的平均成绩是87分，5次语文测验的平均成绩是88.4分，问第5次测验他得了多少分？解：两种思路，两种计算方法：从总分数（总成绩）来考虑.第5次成绩=5次总成绩-4次总成绩=88.45-874=94（分）.从“差的平均”来考虑，平均成绩要提高88.4-87.因此，第5次得分应是87+（88.4-87）5=94（分）.例4小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这一次是第几次测验？解：平均每次要提高（86-84）分，这一次比原来的平均成绩多了（100-84）分，平均分摊在每一次上，可以分摊多少次呢？（100-84）（86-84）=8（次）.因此这一次测验是第8次.例5寒假中，小明兴致勃勃地读西游记，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数，比五天中平均读的页数还多3.2页，问小明在第五天读了多少页？解：前四天，每天平均读的页数是（83+74+71+64）4=73（页）.很明显，第五天读的页数比73页多，由此平均数就增加了.为了便于思考，画出下面的示意图：图上“73”后面的虚线，表示第五天后增加的平均数，现在要用3.2去补足这些增加的平均数值，3.2共要补足四份，每份是3.54=0.8.由此就知道，第五天读的页数是73+0.8+3.2=77（页）.例6 甲、乙、丙三人，平均体重63千克.甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重2千克.求乙的体重.解：甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，也就是甲与乙的体重之和比两个丙的体重多32=6（千克）.已知甲比丙重2千克，就得出乙比丙多32-2=4（千克）.从方法2知道丙的体重+差的平均=三人的平均体重.因此，丙的体重=63-（32）3=61（千克）.乙的体重61+4=65（千克）.例7下面是一串有规律的数5，9，13，17，21，25，29.从小到大排到，后一个数与前一个数的差都是4，求这串数的平均数.解：上面共有7个数，第2个数比第1个数多4，而第6个数比第7个数少4.因此，第1个和第7个的平均数（5+29）2=17，与第2个和第6个的平均数（9+25）2=17是相等的.同样道理，第3个和第5个的平均数也是17.由此，可以得出这串数的平均数，就是头、尾两数的平均值17.当把一些数排列好前后次序，相邻的两个数，后一个减前一个的差都相等，这列数，就称为等差数列.例7中的这串数就是一个等差数列.等差数列可长可短，不论它有多少数，总有一个基本性质：它的所有数的平均数，就是头、尾两数的平均数.很明显，当等差数列有奇数个数时，这一平均数恰好是最中间的这个数.当等差数列有偶数个数时，这一平均数也就是最中间两个数的平均数.利用这一性质，我们很容易求一个等差数列的所有数之和，它等于平均数乘以数的个数.例7中7个数之和是（5+29）27=119.例8小强在前五天平均每天做了3.6道数学题，第四、五两天共做了5题.第六天，为了使后三天的平均数超过六天的平均数，第六天他至少要做多少题？解：（前三天题数3+后三天题数3）2=六天题数6.因此，只要后三天平均数超过前三天平均数，也就是后三天做的题数，比前三天做的题数多，后三天的平均数就超过六天平均数了.前三天做的题数是3.65-5=13（题）.第四、五天已做了5题，13-5=8，小强第六天至少要做9题.答：小强第六天至少要做9题.十九、牛吃草问题序章：问题提出我将“牛吃草”归纳为两大类，用下面两个例题来说明例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？例2.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天问：第三块草地可供19头牛吃多少天？ 分析与解：例1是在同一块草地上，例2是三块面积不同的草地（这就两者本质的区别）第一章：核心思路普通解法请参考上面三位前辈的帖子。我没把链接做好，不好意思现在来说我的核心思路：例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设27头牛中有X头是“剪草工”，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的(27X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。（请慢慢理解，这是关键）例1：解:设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,21牛可吃Y天（后面所有X均为此意）可供27头牛吃6天，列式:（27X）6 注：（27X）头牛6天把草场吃完可供23头牛吃9天，列式:（23X）9 注：（23X）头牛9天把草场吃完可供21头牛吃几天？列式：（21X）Y 注：（21X）头牛Y天把草场吃完因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面1、2、3（27X）6（23X）9（21X）Y（27X）6（23X）9 【1】（23X）9（21X）Y 【2】解这个方程组，得 X15（头） Y12（天）例2：有三块草地，面积分别为5，6和8公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天问：第三块草地可供19头牛吃多少天？解析：现在是三块面积不同的草地为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来（这是面积不同时得解题关键）求【5，6，8】得最小公倍数为1201、因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120524，所以120公顷草地可供11*24264(头)牛吃10天2、因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120620，所以120公顷草地可供12*20240(头)牛吃14天3、120815，问题变为：120公顷草地可供19*15285(头)牛吃几天？这样一来，例2就转化为例1，同理可得：（264X）10（240X）14（285X）Y（264X）10（240X）14 【1】（240X）14（285X）Y 【2】解方程组：X=180（头） Y=8（天）典型例题“牛吃草”已介绍完毕。第二章：“牛吃草”变型例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天照此计算，可供多少头牛吃10天？解析：本题的不同点在草匀速减少，不管它，和前边设X、Y一样来理想化，解出的X为负数（无所谓，因为X是我们理想化的产物，没有实际意义），解出Y为我们所求。例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上问：该扶梯共有多少级？解析：总楼梯数即总草量，设略列式（20X）5（15-X）6X=10（级）？（例3已说过，X是理想化的产物，没有实际意义）将X=10代入（20X）5得150级楼梯。例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？解析：原有旅客即原有草量，新来排队得旅客即每天新长出得草量，其它不用我多说了吧。例6现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？解析：原有水量即原有草量，新匀速注入得水即每天新长出得草量，继续。例7一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？解析：（10-X）*3=(5-x)*8=(n-x)*2。例8、牧场有一片青草，每天生成速度相同。现在这片牧场可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？解析：思路，把羊转化为牛4羊1牛，“也可以供80只羊吃12天”相当于“20头牛吃12天”现在是“10头牛与60只羊一起吃这一片草”相当于“1060425头牛吃草”16-x*20=20-x*12=25-x*yx=10 y=8例9.某牧场上长满牧草,每天匀速生长,这片牧草供17头牛吃30天,19头牛吃24天,现有一群牛吃了6天,主人卖掉了4头牛,余下的牛吃了两天后刚好把草吃完,问这群牛原有几头?解：设原有Y头，x还是“剪草的”17-x*30=19-x*24=y-x*6+y-4-x*2注意：剩下的2天已经卖掉了4头牛，要分开计算（y-x-4）*（6+2），这样列式就错了x=9 y=40例10.某市水库水量的增长速度是一定的，可供全市12万人使用20年，在迁入3万人之后，只能供全市人民使用15年，市政府号召大家节约用水，希望将水库的使用寿命延长至30年，那么居民平均需要节约用水量的比例是多少?( )A. 2/5 B. 2/7 C. 1/3 D. 1/4解析：12-x*20=15-x*15=y-x*30x=3 y=915-9=6即多出6万人，这6万人要用15万人的6/15=2/5例11.有一个水池，池底有一个出水口，用3台抽水机24小时可将水抽完，用9台抽水机12小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？解析：（3-X）*24=（9-X）*12 得X=-3(不要理会负数，按正3理解好了)带入X到上式，（3+3）*24）/X=48所以是481、问题提出有这样的问题，如：牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么它可供21头牛吃几周？这类问题统称为牛吃草问题，它们的共同特点是由于每个单位时间草的数量在发生变化，从而导致时间不同，草的总量也不相同。目前小学奥数辅导教材中对此类问题的通用解法是用算术方法求出每个单位时间草的变化量等于多少头牛的吃草量，再求出原有草的量等于多少头牛的吃草量，从而得出答案。这种方法在数量之间的关系换算上较麻烦，一旦题目增加难度，或与工程问题结合，转成进水排水问题，常常使人找不到解题的正确思路。如果用方程思想求解此类问题，思路可以清晰，步骤也可以明确，并形成一个通用的方法。2、方程解题方法用方程思路解决牛吃草问题的步骤可以概括为三步：1、设定原有草的总量和单位时间草的变化量，一般设原有总量为1，单位时间变化量为X；2、列出表格，分别表示牛的数量、时间总量、草的总量（原有总量+一定时间内变化的量）、每头牛单位时间吃草数量3、根据每头牛单位时间吃草数量保持不变这一关系列方程求解X，从而可以求出任意时间的草的总量，也可以求出每头牛单位时间吃草数量。从而针对题目问题设未知数为Y进行求解。下面结合几个例题进行分析：例题1：一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么可供21头牛吃几周？解：第一步：设牧场原有草量为1，每周新长草X； 第二步：列表格如下:牛的数量272321时间69Y草的总量1+6*X1+9*X1+Y*X根据每头牛单位时间吃草数量保持不变这一关系列方程求解X有方程(1+6*X)/(27*6)=(1+9*X)/(23*9)求出X然后代到(1+9*X)/(23*9)=(1+Y*X)/21*Y牛吃草还有多种出题方式,例如题目演变之一(青草减少)例题2：由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？解：第一步，设牧场原有草量为1，每天减少草X；第二步，列表如下：牛的数量201611时间56Y草的总量1-5X1-6X1-YX每头牛单位时间吃草数量（1-5X）/20*5（1-6X）/16*6（1-YX）/11Y第三步：根据表格第四行彼此相等列出方程：(1-5X)/20*5=(1-6X)/16*6(1)(1-5X)/20*5=(1-6X)/16*6(1) (1-5X)/20*5=(1-YX)/11Y(2)由（1）得到X=1/30，代入（2）得到Y=8（天）题目演变之二(排水问题)例题3：有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8时，8台抽水机需抽12时。如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？解：第一步：设水池原有水量为1，每小时泉水涌出X；第二步：列表格如下：抽水机数量1086时间812Y水的总量1+8X1+12X1+YX每台抽水机单位时间抽水数量（1+8X）/10*8（1+12X）/8*12（1+YX）/6Y第三步：根据表格第四行彼此相等列出议程：（1+8X）/10*8=（1+12X）/8*12（1）（1+8X）/10*8=（1+YX）/6Y（2）由1得到X=1/12，代入（2）得到Y=24（小时）题目演变之三(排队问题)例题5：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。如果要使队伍10分钟消失，那么需同时开几个检票口？解：第一步：设开始检票之前人数为1，每分钟来人X；第二步：列表格如下：检票口数量56Y时间302010人数总量1+30X1+20X1+10X每个检票口单位时间检票数量（1+30X）/50*30（1+20X）/6*20（1+10X）/10Y第三步：根据表格第四行彼此相等列出方程：(1+30X)/5*30=(1+20X)/6*20(1)(1+30X)/5*30=(1+10X)/10Y(2)由（1）得到X=1/20，代入（2）得到Y=9（个）题目演变之四(数量上限问题)题目类似:牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天,要使这片草地上的草永远吃不完，至少可以放几头牛？(晕哦类似可持续发展问题)解答:最多可以供多少牛吃,其实换言之,就是永远不要动原有草量(因为如果每天草的增量不够,只要吃一份的原有草量,就总有一天会吃完),每天的牛刚好吃完草的增量就可以,牛的数量就是牛的最大数值那么从上可以解得x+20y=20*10x+10y=15*10x为原有草量y为每天新增草量解得y=5所以最多只能供5头牛吃,可以永远吃不完草场的草题目演变之五(宇宙超级霹雳无敌简便方法)内容:我做了点小修改,原来的公式也许有人不明白核心公式:草场草量=(牛数-每天长草量)*天数例如:10牛可吃20天,15牛可吃10天,则25牛可吃多少天?解:可用公式,设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,25牛可吃N天则(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N可得X=5,Y=5编者解析:这里设的是一头牛一天吃的草为单位1.而(10-X)*20这个代表的是草场最初始的草量他的意思是X头牛每天负责把新长出来的草吃掉,那么草场相当与没长草.剩下10-X头牛就负责吃草场初始草(类似分工合作性质).那一天就吃10-X单位的草吃了20天吃完15-X头牛吃了10天就可以算出X了不知道大家明白么?题目演变之六(漏水问题)题目:一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人？分析：这道题看起来与“牛吃草”毫不相关，其实题目中也蕴含着两个不变的量：“每小时漏水量”（相当于草的生长速度）与“船内原有的水量”（相当于草地上原有的草量)因此，这道题的解题步骤与“例1”完全一样牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是1) 设定一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；牛吃草3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1.(牛的头数吃草较多的天数-牛头数吃草较少的天数)（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。2.牛的头数吃草天数-每天新长量吃草天数=草地原有的草。解多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。“牛吃草”问题分析华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员姚璐【华图名师姚璐例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？A.3 B.4 C.5 D.6【华图名师姚璐答案】C【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天根据核心公式 代入(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天）璐例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？A.20 B.25 C.30 D.35【华图名师姚璐答案】C【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，根据核心公式代入(2010-1510)=5 1020-520=100 1004+5=30(头）【华图名师姚璐例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？A.50 B.46 C.38 D.35【华图名师姚璐答案】D【华图名师姚璐解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为Y ，24天内